Resolver as Funções

Exemplo 4 Postar no Moodle Usando o GeoGebra explore a função exponencial fx ax b Descreva o que você observou nesta atividade e responda as questões a Fixe b 0 Nesta situação o que acontece com curva quando a 1 E quando a 1 E quando a 0 b Descreva quando se pode afirmar que uma função exponencial é crescente e quando ela é decrescente observando os gráficos e as representações algébricas c Fixe a 2 O que acontece com a curva quando o coeficiente linear b é positivo E quando b é negativo Exemplo 1 Postar no Moodle Usando o GeoGebra explore a função exponencial fx loga x b Descreva o que você observou nesta atividade e responda as questões a Fixe b 0 O que acontece com curva quando a 1 E quando a 1 E quando a 0 b Descreva quando se pode afirmar que uma função logarítmica é crescente e quando ela é decrescente observando os gráficos e as representações algébricas c Fixe a 2 O que acontece com a curva quando o coeficiente linear b é positivo E quando b é negativo d Esboce o gráfico de fx ax e gx loga x Em seguida esboce a reta hx x O que você observa ao modificar nas duas funções os valores da base a Estas funções são inversas entre si Podemos dizer que a reta é um eixo de simetria Justifique Exemplo 1Postar no Moodle Usando o GeoGebra explore a função exponencial fx sen ax b c Descreva o que você observou nesta atividade e responda as questões a Atribua valores nulos para b e c Neste caso o que acontece com curva quando a 0 E quando a 0 b Fixe a 1 e c 0 Neste caso o que acontece com curva quando b 0 E quando b 0 c Fixe a 1 e b 0 Neste caso o que acontece com curva quando c 0 E quando c 0 MATEMÁTICA Exemplo 1 a Seja a função f x sen axb c Utilizando o software GeoGebra determinamos a função e atribuímos valores nulos para os parâmetros b e c Utilizando o controle deslizante para alterar o parâmetro a podemos observar que para a1 a função f x senx é uma função periódica com período 2π quanto maior o valor em módulo de a menor é o período da função e consequentemente maior é a frequência de oscilação valores negativos de a ocasionam reflexão do gráfico da função em relação ao eixo y Logo valores positivos de a mantém a orientação usual das ondas senoidais enquanto valores negativos invertem a orientação b Fixamos a1 e c0 Utilizando o controle deslizante para alterar o parâmetro b podemos observar que aumentar o valor de b ocasiona translação horizontal do gráfico da função para a esquerda diminuir o valor de b ocasiona translação horizontal do gráfico da função para a direita Logo considerando o estado inicial da função f x sen x valores positivos de b deslocam o gráfico para a esquerda enquanto valores negativos deslocam o gráfico para a direita c Fixamos a1 e b0 Utilizando o controle deslizante para alterar o parâmetro c podemos observar que aumentar o valor de c ocasiona translação vertical do gráfico da função para cima diminuir o valor de c ocasiona translação vertical do gráfico da função para baixo Logo considerando o estado inicial da função f x senx valores positivos de c deslocam o gráfico para cima enquanto valores negativos deslocam o gráfico para baixo Exemplo 4 a Seja a função f x a xb Utilizando o software GeoGebra determinamos a função e atribuímos valor nulo para o parâmetro b Utilizando o controle deslizante para alterar o parâmetro a podemos observar que para a1 a função f x a x é uma função exponencial crescente sendo que quanto maior o valor de a mais acentuado é o crescimento para 0a1 a função f x a x é uma função exponencial decrescente sendo que quanto maior o valor de a menos acentuado é o decrescimento para a0 a função f x a x não é definida Logo valores de a1 ocasionam crescimento exponencial enquanto valores de 0a1 ocasionam decrescimento exponencial b Uma função é crescente quando para quaisquer x1 e x2 pertencentes ao domínio da função se x1 x2 então f x1f x2 De forma análoga uma função é decrescente quando para quaisquer x1 e x2 pertencentes ao domínio da função se x1 x2 então f x1f x2 No caso da função exponencial f x a x esta é crescente quando a base a é maior que 1 e decrescente quando a base a está no intervalo 01 c Fixamos a2 Utilizando o controle deslizante para alterar o parâmetro b podemos observar que aumentar o valor de b ocasiona translação vertical do gráfico da função para cima diminuir o valor de b ocasiona translação vertical do gráfico da função para baixo Logo considerando o estado inicial da função f x 2 x valores positivos de b deslocam o gráfico para cima enquanto valores negativos deslocam o gráfico para baixo Exemplo 1 a Seja a função f x loga x b Utilizando o software GeoGebra determinamos a função e atribuímos valor nulo para o parâmetro b Utilizando o controle deslizante para alterar o parâmetro a podemos observar que para a1 a função f x loga x é uma função logarítmica crescente sendo que quanto maior o valor de a menos acentuado é o crescimento para 0a1 a função f x loga x é uma função logarítmica decrescente sendo que quanto maior o valor de a mais acentuado é o decrescimento para a0 a função f x loga x não é definida Logo valores de a1 ocasionam crescimento logarítmico enquanto valores de 0a1 ocasionam decrescimento logarítmico b Uma função é crescente quando para quaisquer x1 e x2 pertencentes ao domínio da função se x1 x2 então f x1f x2 De forma análoga uma função é decrescente quando para quaisquer x1 e x2 pertencentes ao domínio da função se x1 x2 então f x1f x2 No caso da função logarítmica f x loga x esta é crescente quando a base a é maior que 1 e decrescente quando a base a está no intervalo 01 c Fixamos a2 Utilizando o controle deslizante para alterar o parâmetro b podemos observar que aumentar o valor de b ocasiona translação vertical do gráfico da função para cima diminuir o valor de b ocasiona translação vertical do gráfico da função para baixo Logo considerando o estado inicial da função f x log2 x valores positivos de b deslocam o gráfico para cima enquanto valores negativos deslocam o gráfico para baixo d Sejam as funções f x a x g x loga x hx x Utilizando o software GeoGebra determinamos as funções Utilizando o controle deslizante para alterar o parâmetro a podemos observar que Para qualquer valor de 0a1 as funções são ambas crescentes ou decrescentes As taxas de variação das funções f x e g x são inversamente proporcionais ou seja quanto maior a taxa de variação de uma função menor é a taxa de variação da outra Observamos que a função exponencial f x a x e a função logarítmica g x log ax são inversas uma da outra pois f g x a loga xx g f x loga a xx Relacionando os gráficos das funções f x g x e h x podemos observar que a função identidade h x x é uma reta que serve como eixo de simetria para as funções f x e g x Matemática Exemplo 1 a Seja a função 𝑓 𝑥 sen𝑎𝑥 𝑏 𝑐 Utilizando o software GeoGebra determinamos a função e atribuímos valores nulos para os parâmetros 𝑏 e 𝑐 Utilizando o controle deslizante para alterar o parâmetro 𝑎 podemos observar que para 𝑎 1 a função 𝑓 𝑥 sen𝑥 é uma função periódica com período 2𝜋 quanto maior o valor em módulo de 𝑎 menor é o período da função e consequentemente maior é a frequência de oscilação valores negativos de 𝑎 ocasionam reflexão do gráfico da função em relação ao eixo 𝑦 Logo valores positivos de 𝑎 mantém a orientação usual das ondas senoidais enquanto valores negativos invertem a orientação b Fixamos 𝑎 1 e 𝑐 0 Utilizando o controle deslizante para alterar o parâmetro 𝑏 podemos observar que aumentar o valor de 𝑏 ocasiona translação horizontal do gráfico da função para a esquerda diminuir o valor de 𝑏 ocasiona translação horizontal do gráfico da função para a direita Logo considerando o estado inicial da função 𝑓 𝑥 sen𝑥 valores positivos de 𝑏 deslocam o gráfico para a esquerda enquanto valores negativos deslocam o gráfico para a direita c Fixamos 𝑎 1 e 𝑏 0 Utilizando o controle deslizante para alterar o parâmetro 𝑐 podemos observar que aumentar o valor de 𝑐 ocasiona translação vertical do gráfico da função para cima diminuir o valor de 𝑐 ocasiona translação vertical do gráfico da função para baixo Logo considerando o estado inicial da função 𝑓 𝑥 sen𝑥 valores positivos de 𝑐 deslocam o gráfico para cima enquanto valores negativos deslocam o gráfico para baixo Exemplo 4 a Seja a função 𝑓 𝑥 𝑎𝑥 𝑏 Utilizando o software GeoGebra determinamos a função e atribuímos valor nulo para o parâmetro 𝑏 Utilizando o controle deslizante para alterar o parâmetro 𝑎 podemos observar que para 𝑎 1 a função 𝑓 𝑥 𝑎𝑥 é uma função exponencial crescente sendo que quanto maior o valor de 𝑎 mais acentuado é o crescimento para 0 𝑎 1 a função 𝑓 𝑥 𝑎𝑥 é uma função exponencial decrescente sendo que quanto maior o valor de 𝑎 menos acentuado é o decrescimento para 𝑎 0 a função 𝑓 𝑥 𝑎𝑥 não é definida Logo valores de 𝑎 1 ocasionam crescimento exponencial enquanto valores de 0 𝑎 1 ocasionam decrescimento exponencial b Uma função é crescente quando para quaisquer 𝑥1 e 𝑥2 pertencentes ao domínio da função se 𝑥1 𝑥2 então 𝑓 𝑥1 𝑓 𝑥2 De forma análoga uma função é decrescente quando para quaisquer 𝑥1 e 𝑥2 pertencentes ao domínio da função se 𝑥1 𝑥2 então 𝑓 𝑥1 𝑓 𝑥2 No caso da função exponencial 𝑓 𝑥 𝑎𝑥 esta é crescente quando a base 𝑎 é maior que 1 e decrescente quando a base 𝑎 está no intervalo 0 1 c Fixamos 𝑎 2 Utilizando o controle deslizante para alterar o parâmetro 𝑏 podemos observar que aumentar o valor de 𝑏 ocasiona translação vertical do gráfico da função para cima diminuir o valor de 𝑏 ocasiona translação vertical do gráfico da função para baixo Logo considerando o estado inicial da função 𝑓 𝑥 2𝑥 valores positivos de 𝑏 deslocam o gráfico para cima enquanto valores negativos deslocam o gráfico para baixo Exemplo 1 a Seja a função 𝑓 𝑥 log𝑎𝑥 𝑏 Utilizando o software GeoGebra determinamos a função e atribuímos valor nulo para o parâmetro 𝑏 Utilizando o controle deslizante para alterar o parâmetro 𝑎 podemos observar que para 𝑎 1 a função 𝑓 𝑥 log𝑎𝑥 é uma função logarítmica crescente sendo que quanto maior o valor de 𝑎 menos acentuado é o crescimento para 0 𝑎 1 a função 𝑓 𝑥 log𝑎𝑥 é uma função logarítmica decrescente sendo que quanto maior o valor de 𝑎 mais acentuado é o decrescimento para 𝑎 0 a função 𝑓 𝑥 log𝑎𝑥 não é definida Logo valores de 𝑎 1 ocasionam crescimento logarítmico enquanto valores de 0 𝑎 1 ocasionam decrescimento logarítmico b Uma função é crescente quando para quaisquer 𝑥1 e 𝑥2 pertencentes ao domínio da função se 𝑥1 𝑥2 então 𝑓 𝑥1 𝑓 𝑥2 De forma análoga uma função é decrescente quando para quaisquer 𝑥1 e 𝑥2 pertencentes ao domínio da função se 𝑥1 𝑥2 então 𝑓 𝑥1 𝑓 𝑥2 No caso da função logarítmica 𝑓 𝑥 log𝑎𝑥 esta é crescente quando a base 𝑎 é maior que 1 e decrescente quando a base 𝑎 está no intervalo 0 1 c Fixamos 𝑎 2 Utilizando o controle deslizante para alterar o parâmetro 𝑏 podemos observar que aumentar o valor de 𝑏 ocasiona translação vertical do gráfico da função para cima diminuir o valor de 𝑏 ocasiona translação vertical do gráfico da função para baixo Logo considerando o estado inicial da função 𝑓 𝑥 log2𝑥 valores positivos de 𝑏 deslocam o gráfico para cima enquanto valores negativos deslocam o gráfico para baixo d Sejam as funções 𝑓 𝑥 𝑎𝑥 𝑔𝑥 log𝑎𝑥 ℎ𝑥 𝑥 Utilizando o software GeoGebra determinamos as funções Utilizando o controle deslizante para alterar o parâmetro 𝑎 podemos observar que Para qualquer valor de 0 𝑎 1 as funções são ambas crescentes ou decrescentes As taxas de variação das funções 𝑓 𝑥 e 𝑔𝑥 são inversamente proporcionais ou seja quanto maior a taxa de variação de uma função menor é a taxa de variação da outra Observamos que a função exponencial 𝑓 𝑥 𝑎𝑥 e a função logarítmica 𝑔𝑥 log𝑎𝑥 são inversas uma da outra pois 𝑓 𝑔𝑥 𝑎log𝑎 𝑥 𝑥 𝑔 𝑓 𝑥 log𝑎 𝑎𝑥 𝑥 Relacionando os gráficos das funções 𝑓 𝑥 𝑔𝑥 e ℎ𝑥 podemos observar que a função identidade ℎ𝑥 𝑥 é uma reta que serve como eixo de simetria para as funções 𝑓 𝑥 e 𝑔𝑥