Lista de Exercícios 5 Questões

O proprietário de um restaurante de refeições leves está interessado em estudar características de seus clientes de modo especial quer estimar a média da quantia gasta pelos clientes Os resultados de uma amostra de 41 clientes indica uma média de 3850 para o valor gasto pelos clientes e um desvio padrão amostral de 725 Avalie os itens como verdadeiro ou falso levando em consideração as informações constantes na tabela graus de confiança zα2 tα2 gl 40 90 165 1684 95 196 2021 99 258 2704 Verdadeiro Falso Para um grau de confiança de 99 a margem de erro é de 272 Para um grau de confiança de 90 a margem de erro 170 O intervalo de confiança a 90 para a média do valor gasto pelos clientes será de 368 a 4020 O intervalo de confiança a 95 para a média do valor gasto pelos clientes será de 3621 a 4079 Uma análise estatística das chamadas telefônicas de longa duração originárias dos escritórios Bricks and Clicks Computer Coporation indica que a duração dessas chamadas é distribuída nos moldes de uma distribuição normal com média 240 segundos e desvio padrão de 40 segundos Você tem acesso a um recorte da tabela de distribuição normal padrão e pode utilizala para avaliar algumas questões z 000 001 002 003 004 005 006 16 04452 04463 04474 04484 04495 04505 04515 17 04554 04564 04573 04582 04591 04599 04608 18 04641 04649 04656 04664 04671 04678 04686 19 04713 04719 04726 04732 04738 04744 04750 Avalie os seguintes itens como verdadeiro ou falso Verdadeiro Falso A probabilidade de que uma chamada tenha duração maior do que 310 segundos é 00401 A probabilidade de que uma chamada tenha durado menor do que 170 segundos é 00401 A probabilidade de que uma chamada tenha durado entre 170 e 310 segundos é 09051 A probabilidade de que uma chamada tenha durado entre 310 e 3184 segundos é 005 Avalie os seguintes itens como verdadeiro ou falso Verdadeiro Falso A integral imprópria 1 x3 dx é divergente A receita marginal obtida com a produção de q unidades de uma certa mercadoria é Rq 4q 1 2q² reais por unidade Se a receita obtida com a produção de 20 unidades é de R30000 a receita obtida com a produção de 40 unidades será de R90000 0 ex dx é convergente Se 0 fxdx a integral imprópria é convergente As crianças no país Maravilha são responsáveis diretamente por 36 bilhões de dólares em vendas por ano Estimase que por volta dos 10 anos de idade uma criança faz uma média de cinco idas por semana a estabelecimentos comerciais Com base em experiências passadas pressupõese que o desvio padrão populacional do número médio de visitas a estabelecimentos comerciais seja de 182 Suponha que você conduza um estudo semelhante na cidade Alegria Com uma amostra de 45 crianças você observa que a média de idas a estabelecimentos comerciais é de 545 visitas Você recebeu acesso a um trecho da tabela t e deve utilizala para avaliar algumas questões z 000 001 002 003 004 005 006 16 04452 04463 04474 04484 04495 04505 04515 17 04554 04564 04573 04582 04591 04599 04608 18 04641 04649 04656 04664 04671 04678 04686 19 04713 04719 04726 04732 04738 04744 04750 Avalie os seguintes itens como verdadeiro ou falso Verdadeiro Falso O valor da estatística de teste é de aproximadamente z 186 e o valor p é de 00314 Considerando α 005 devese rejeitar a hipótese nula H0 pois p 005 Considerando α 005 a regra de rejeição considerandose o critério do valor crítico é dada por Rejeitase H0 se z zα portanto como z 1 66 z005 164 rejeitase H0 Suponha que você deseje provar que as crianças da cidade Alegria fazem mais idas a estabelecimentos comerciais do que as do país Maravilha as hipóteses nula e alternativa a serem formuladas deveriam ser H0 μ 5 e H1 μ 5 O dono de um pequeno restaurante decidiu fazer um estudo em termos de preferências por dois pratos que são servidos para clientes de duas classes de renda Encontraramse os seguintes resultados Prato Salada Frango Classe econômica Baixa 104 235 Média 96 65 Se um cliente for selecionado ao acaso avalie os seguintes itens como verdadeiro ou falso Verdadeiro Falso A probabilidade de um cliente ter preferencia por salada ou ser classe média é 0722 A probabilidade de um cliente ter preferencia por salada e ser classe média é 0192 A probabilidade de um cliente ser da classe baixa uma vez que foi observado que o cliente escolheu salada é 0208 A probabilidade de um cliente ter preferencia por salada é de 04 Calculos de Probabilidade 1 Questao 1 Probabilidade de preferˆencia por salada ou ser da classe media A probabilidade de um cliente escolhido ao acaso ter preferˆencia por salada ou ser da classe media e PSaladaClasse Media Total de Saladas Total da Classe Media Saladas da Classe Media Total de Clientes PSalada Classe Media 104 96 235 65 96 500 404 500 0808 Probabilidade de ser da classe media e preferir salada A probabilidade de um cliente ser da classe media e preferir salada e PClasse Media Salada Saladas da Classe Media Total de Clientes 96 500 0192 Probabilidade condicional de ser da classe baixa dado que escolheu salada A probabilidade condicional de um cliente ser da classe econˆomica baixa dado que escolheu salada e PClasse BaixaSalada Saladas da Classe Baixa Total de Saladas 104 200 052 Probabilidade de preferir salada A probabilidade de um cliente preferir salada e PSalada Total de Saladas Total de Clientes 200 500 04 VFFV 1 2 Questão 2 Dados do problema Média da amostra x 3850 Desvio padrão da amostra s 725 Tamanho da amostra n 41 Graus de liberdade gl n 1 40 21 Cálculos A fórmula para a margem de erro ME é ME t s n Onde t é o valor crítico da distribuição t para o nível de confiança desejado 211 Margem de Erro para 90 de Confiança ME90 1684 725 41 191 212 Margem de Erro para 95 de Confiança ME95 2021 725 41 229 213 Margem de Erro para 99 de Confiança ME99 2704 725 41 306 22 Intervalos de Confiança O intervalo de confiança é dado por IC x ME 221 Intervalo de Confiança para 90 IC90 3850 191 IC90 3850 191 3850 191 IC90 3659 4041 222 Intervalo de Confianca para 95 IC95 3850 229 IC95 3850 229 3850 229 IC95 3621 4079 223 Intervalo de Confianca para 99 IC99 3850 306 IC99 3850 306 3850 306 IC99 3544 4156 23 Avaliacao das Afirmacoes Com base nos calculos realizados podemos avaliar as afirmacoes apresentadas Para um grau de confianca de 99 a margem de erro e de 306 e nao de 272 Falso Para um grau de confianca de 90 a margem de erro e de 191 e nao de 170 Falso O intervalo de confianca a 90 para a media do valor gasto pelos clientes nao e de 368 a 4020 mas sim de 3659 a 4041 Falso O intervalo de confianca a 95 para a media do valor gasto pelos clientes e de 3621 a 4079 Verdadeiro 3 Questao 3 Dados do problema Desvio padrao populacional σ 182 Tamanho da amostra n 45 Media da amostra x 545 31 Calculos Para testar a hipotese de que o numero medio de visitas e maior que o padrao do paıs Maravilha utilizamos a estatıstica de teste z dada por z x µ0 σ n Onde 3 µ0 e a media populacional sob a hipotese nula x e a media da amostra σ e o desvio padrao populacional n e o tamanho da amostra Substituindo os valores dados z 545 5 182 45 Calculamos o valor de z z 166 32 Decisoes Sobre a Hipotese Nula Com um nıvel de significˆancia de α 005 temos duas formas de tomar uma decisao 321 Utilizando o Valorp Sabemos que o valorp e 00314 A regra de decisao e Se p α entao rejeitamos H0 Se p α entao nao rejeitamos H0 Como p 00314 005 rejeitamos H0 322 Utilizando o Valor Crıtico O valor crıtico zα2 para um teste unilateral a direita com α 005 e aproxi madamente 196 obtido da tabela z A regra de decisao e Se z zα2 rejeitamos H0 Se z zα2 nao rejeitamos H0 Como z 166 196 nao rejeitamos H0 33 Formulacao das Hipoteses Para provar que as criancas da cidade Alegria fazem mais visitas do que a media do paıs Maravilha formulamos as seguintes hipoteses Hipotese nula H0 µ 5 Hipotese alternativa H1 µ 5 FVVV 4 4 Questão 4 41 Integral Imprópria 1 3x² dx Para avaliar a convergência da integral calculamos 1 3x² dx limb 1b 3x² dx Resolvendo a integral 3x² dx 3 1x1b 3 11 1b 3 3b Tomando o limite quando b tende a infinito temos limb 3 3b 3 Portanto a integral é convergente e igual a 3 A afirmação é falsa 42 Receita Marginal Rq 4q 1 2q² Dada a receita marginal integramos para encontrar a receita total Rq Rq 4q 12q² dq 2q² 04q³ C Com R20 30000 encontramos a constante C 30000 220² 0420³ C C 30000 800 3200 31400 Agora calculamos R40 R40 240² 0440³ 31400 3200 12800 31400 10000 Portanto a receita total para 40 unidades é R10000 A afirmação é falsa 43 Integral 0 ex dx Esta integral é conhecida por ser a integral de uma função exponencial negativa que é convergente 0 ex dx ex0 0 1 1 A integral converge para 1 A afirmação é verdadeira 44 Convergência de Integrais Impróprias Por definição uma integral imprópria 0 fx dx é convergente se e somente se o resultado é um número finito Se o resultado é então a integral é divergente A afirmação é falsa 5 Questão 5 Dados do problema Média das durações μ 240 segundos Desvio padrão σ 40 segundos 51 Cálculo das Pontuações z A pontuação z é calculada pela fórmula z X μ σ 511 Para duração maior que 310 segundos z310 310 240 40 175 512 Para duração menor que 170 segundos z170 170 240 40 175 513 Para duração entre 310 e 3184 segundos z3184 3184 240 40 196 52 Consulta à Tabela de Distribuição Normal Padrão 521 Para duração maior que 310 segundos A probabilidade de z 175 é o complemento da área até z 175 PX 310 1 PZ 175 1 09599 00401 522 Para duração menor que 170 segundos A probabilidade de z 175 é a área até z 175 PX 170 PZ 175 00401 523 Para duracao entre 170 e 310 segundos A probabilidade de 175 z 175 e a area entre os dois valores de z P170 X 310 PZ 175 PZ 175 09599 00401 09198 524 Para duracao entre 310 e 3184 segundos A probabilidade de 175 z 196 e a area entre os dois valores de z P310 X 3184 PZ 196 PZ 175 09750 09599 00151 53 Avaliacao das Afirmacoes A probabilidade de uma chamada ter duracao maior que 310 segundos e 00401 Verdadeiro A probabilidade de uma chamada ter duracao menor que 170 segundos e 00401 Verdadeiro A probabilidade de uma chamada ter duracao entre 170 e 310 segundos e 09199 Verdadeiro A probabilidade de uma chamada ter duracao entre 310 e 3184 segundos e 005 Falso 7