$Introdução a Álgebra Linear - Parte 1 Assuntos Espaço Vetorial Subespaço Vetoriais Vetor Nulo Operações Usuais de Adição e Multiplicação por Escal...

subespaços vetoriais\n\nEm muitas situações é necessário trabalhar com uma estrutura menor que o espaço vetorial, ou seja um subconjunto do espaço que também é um espaço vetorial tais como são chamados de subespaço vetorial.\n\nDefinição 2: seja V um espaço vetorial sobre IR e W um subconjunto não vazio de V. O subconjunto W é um subespaço vetorial de V se as seguintes condições são satisfeitas :\n1. u + v ∈ W , ∀u,v ∈ W\n2. au ∈ W , ∀u ∈ W , ∀α ∈ IR\n\nUsar essas condições para quando pedi para provar que W é um subespaço vetorial de v. DIALOGANDO E CONSTRUINDO CONHECIMENTO\n\n1) Todo subespaço vetorial W de V contém pelo menos o vetor nulo 0, pois quando α=0, temos 0 = 0 ∈ W.\n\n2) Um subespaço vetorial W de V é tomado um espaço vetorial com todas as ditas propriedades herdadas de V.\n\n3) Todo espaço vetorial V admite pelo menos dois subespaços; o conjunto {0}, chamado subespaço nulo, e o próprio espaço vetorial V. Os demais subespaços são denominados subespaço não triviais. EXEMPLOS\n\n1) Seja V = R⁴ e W = {(x₁, x₂, x₃, x₄); x₂ = 0} = {(x₁, 0, x₃, x₄); x₁, x₃, x₄ ∈ R}\nEntão W é um subespaço vetorial de V. De fato.\n\na. 0 = (0,0,0,0) ∈ W, visto que W ≠ ∅\n\nb. Dados u,v ∈ W e α ∈ R, então\n\n...\n\ny = (x₁, 0, x₃, x₄) + (y₁, 0, y₃, y₄)\n= (x₁ + y₁, 0, x₃ + y₃, x₄ + y₄) ∈ W\n\n... \n\n= αu = α(x₁, 0, x₃, x₄) = (αx₁, 0, αx₃, αx₄)\n= (αx₁, 0, αx₃, αx₄) ∈ W. O conjunto \\mathbb{R}, em relação às operações usuais de adição e multiplicação por escalar, é também um espaço vetorial. Os vetores, neste caso, são números reais. O conjunto \\mathbb{V} de todas as funções f: \\mathbb{X} \\to \\mathbb{R}, mundos das operações (f + g)(x) = f(x) + g(x) e \\alpha(f)(x) = (\\delta f)(x) é um espaço vetorial, pois tais operações satisfazem as certas propriedades. O conjunto \\mathbb{V} de todos os polinômios, \\mathbb{V} = \\{ f(t) = a_n t^n + \\ldots + a_1 t + a_0; a_i \\in \\mathbb{R} \\} é um espaço vetorial sobre \\mathbb{R} em relação às operações usuais de adição de polinômios e multiplicação por escalar. Ou seja, a propriedade 6, da definição de espaço vetorial não é satisfeita, portanto \\mathbb{R}^2 munido das operações definidas em (5.1) NÃO É UM ESPAÇO VETORIAL.\n\nAssim para ser espaço vetorial as operações são fundamentais, pois as propriedades para das das operações, não de conjunto V.\n\nExercícios\n\n1. Seja V = M(2x2):\n{[ a b ] : a, b, c, d \\in \\mathbb{R}}\n{[ c d ]}\n\n- D mostre que V é um espaço Vetorial com as operações usuais de matrizes. 3) sejam V = M(2,2) = {[ a b ] : a, b, c, d \\in \\mathbb{R}} com munido das operações soma de matrizes e multiplicação por escalares, ou seja, com operações usuais.\n\nDe então que W = {[ 0 0 ]} é W \\neq {0}. \n\nDados \\mu = {[ 0 0 ]}, \\nu = {[ 0 c ]}.\n\n4) Ao contrário do exemplo anterior, uma reta que não passe pela origem, pois exemplo é um conjunto \\displaystyle W = \\{(x,y) | y=3-4x; x \\in \\mathbb{R}\\}, W representa geometricamente uma reta que passa pela origem.\n\nObtemos que (0,0) \\neq (0,4,0) \\in W.