Introdução a Álgebra Linear - Parte 5 Assuntos Determinar um Aplicação Linear Existe uma Única Transformação Linear

Teorema 2.1 - Dados dois espaços vetoriais reais V e W e uma base de V, \{v₁, v₂,...,vn\}. Sejam w₁, w₂,...,wn elementos arbitrários de W. Então existe uma única transformação linear T: V -> W tal que T(v₁) = w₁, T(v₂) = w₂,..., T(vm) = wn Demonstração: Esta aplicação linear é dada por: Se x ∈ V, então x = a₁v₁ + a₂v₂ + ... + aₙvₙ Logo, T(x) = a₁T(v₁) + a₂T(v₂) + ... + aₙT(vₙ) Vejamos que T assim definida é linear e única. Exercício: Qual é a transformação linear T: ℝ² -> ℝ³ tal que T(1,0) = (2,-1,0) e T(0,1) = (0,0,1)? Solução: Já que β = \{(1,0), (0,1)\} é a base canônica de ℝ² e w₂ = (2,-1,0) e w₂ = (0,0,1). Dado x = (x,y) qualquer x = x(1,0) + y(0,1) T(x) = xT(1,0) + yT(0,1) T(x) = x(2,-1,0) + y(0,0,1) T(x) = (2x,-x,y) OBSERVAÇÃO Nesta situação, parecemos que podemos determinar uma aplicação linear T: V -> W quando conhecemos uma a decisão sobre os vetores de uma base do espaço vetor U! Dialogando e construindo conhecimento A aplicação nula T: V -> W. T(u) = 0 é linear. OBSERVAÇÃO Para monstrar que uma determinada aplicação é linear, geralmente, na defição básica, é que as condições (1,0) + (0,1) devem ser satisfeitas para quaisquer vetores u e v de V e para todos α ∈ ℝ. NUNCA PARTICULARIZE! \(3)\ Consideremos no conjunto dos polinômios do grau menor ou igual a m.Pm. A aplicação T: Pm -> Pm-1 P(t) -> T(P(t)) = P'(t) também é linear. \(4)\ Consideremos T: ℝ² -> ℝ² a aplicação definida por T(x,y) = (-9x,y,z) T é linear? Dados (x,α) vetor de ℝ² e α ∈ ℝ, temos T(αu) = T(x,x,y) T(αu) = α(-9x, αy,αz) ≠ α(-9x,0,y) OBSERVEM que, embora T(0,0) = (0,0), T não é linear, pois a 2ª condição da definição não é satisfeita neste caso. \(5)\ Encontramos uma aplicação linear T: ℝ² -> ℝ², com as seguintes propriedades: T(2,1) = (1,1) e T(0,1) = (4,0) Tal problema tem solução pois escrevemos a aplicação T sobre os vetores da uma base de de ℝ², no caso, \{(2,1), (0,1)\} para isto, dado um vetor (x,y) qualquer de ℝ², isto pode ser escrito sem combinação linear dos na base acima, (x,y) = a(2,1) + b(0,1) = (2a,a) + b(0,1) Assim, a = x/2 e b = y - (x/2). E, substituindo em (4) temos (x,y) = (x/2)(2,1) + (y - (x/2))(1,0) Aplicando a T, ambos os lados da equação no intervalo acima, e usando a linearidade, juntamente com as propriedade, obtemos T(x,y) = (x/2)T(2,1) + (y-( x/2))T(0,1) T(x,y) = (x/2)(1,1) + (y -(x/2))(1,0), x, portanto, T(x,y) = (y, x/2) Generalizando, podemos sempre construir uma transformação linear sempre que conhecemos para aplicações uma base do espaço vetorial.