Lista Calculo 3

520 Calcule a integral de superfície 5 s x y z dS S é o paralelogramo com equações paramétricas x u v y u v z 1 2u v 0 u 2 0 v 1 6 s xyz dS S é o cone com equações paramétricas x u cos v y u sen v z u 0 u 1 0 v π2 7 s y dS S é o helicoide com equação vetorial ru v u cos v u sen v v 0 u 1 0 v π 8 s x² y² dS S é o superfície com equação vetorial ru v 2uv u² v² u² v² u² v² 1 9 s x²yz dS S é a parte do plano z 1 2x 3y que está acima do retângulo 0 3 0 2 10 s xz dS S é a parte do plano 2x 2y z 4 que está no primeiro octante 11 s x dS S é a região triangular com vértices 1 0 0 0 2 0 e 0 0 4 12 s y dS S é a superfície z ⅓x³² y³² 0 x 1 0 y 1 13 s x²z dS S é a parte do cone z² x² y² que está entre os planos z 1 e z 3 14 s z dS S é a superfície x y 2z² 0 y 1 0 z 1 15 s y dS S é a parte do paraboloide y x² z² que está dentro do cilindro x² z² 4 16 s y² dS S é a parte da esfera x² y² z² 4 que está dentro do cilindro x² y² 1 e acima do plano xy 17 s x²z y²z dS S é o hemisfério x² y² z² 4 z 0 18 s xz dS S é o limite da região delimitada pelo cilindro y² z² 9 e pelos planos x 0 e x y 5 19 s z x²y dS S é a parte do cilindro y² z² 1 que está entre os planos x 0 e x 3 no primeiro octante 20 s x² y² z² dS S é a parte do cilindro x² y² 9 entre os planos z 0 e z 2 juntamente com os discos inferior e superior 2132 Avalie a integral de superfície s F dS para o campo vetorial dado F e a superfície orientada S Em outras palavras localize o fluxo de F através de S Para superfícies fechadas use a orientação para fora positiva 21 Fx y z zexy i 3zexy j xy k S é o paralelogramo do Exercício 5 com orientaça ascenc 38 ru v 1 u² v² i v j u k 1 1 1 3950 Determine a área da superfície 39 A parte do plano 3x 2y z 6 que está no primeiro octante 40 A parte do plano com equação vetorial ru v u v 2 3u 1 u v que é dada por 0 u 2 1 v 1 41 A parte do plano x 2y 3z 1 que está dentro do cilindro x² y² 3 42 A parte do cone z x² y² que se encontra entre o plano y x e o cilindro y x² 43 A superfície z ⅓x³² y³² 0 x 1 0 y 1 44 A parte da superfície z 1 3x 3y² que está acima do triângulo com vértices 0 0 0 1 e 2 1 45 A parte da superfície z xy que está dentro do cilindro x² y² 1 46 A parte do paraboloide x y² z² que está dentro do cilindro y² z² 9 47 A parte da superfície y 4x z² que se encontra entre os planos x 0 x 1 z 0 e z 1 48 O helicoide ou rampa em espiral com equação vetorial ru v u cos v i u sen v j v k 0 u 1 0 v π 49 A superfície com equações paramétricas x u² y uv z ½ v² 0 u 1 0 v 2 50 A 26 Use o Teorema de Stokes para calcular S curl F dS Fx y z 2y cos z i ex sen z j xey k S é o hemisfério x² y² z² 9 z 0 de orientação ascendente Fx y z x²z² i y²z² j xyz k S é a parte do paraboloide z x² y² que está dentro do cilindro x² y² 4 com orientação ascendente Fx y z tg1x² yz² i x²y j x² z² k S é o cone x y² z² 0 x 2 orientado na direção do eixo positivo x Fx y z xyz i xy j x²yz k S é formada pelo topo e pelos quatro lados mas não pelo fundo do cubo com vértices 1 1 1 com orientação para fora Fx y z exy i exz j x²z k S é a metade do elipsóide 710 Use o Teorema de Stokes para calcular C F dr Em cada caso C é orientado no sentido antihorário quando visto de cima Fx y z x y² i y z² j z x² k C é o triângulo com vértices 1 0 0 0 1 0 e 0 0 1 Fx y z i x yz j xy z k C é o limite da parte do plano 3x 2y z 1 no primeiro octante Fx y z yz i 2xz j ey k C é o círculo x² y² 16 z 5 Fx y z xy i 2z j 3y k C é a curva da interseção do plano x z 5 e o cilindro x² y² 9 11 a Use o Teorema de Stokes para calcular C F dr onde Fx y z x²z i xy² j z²k e C é a curva da interseção do plano x y z 1 com o cilindro x² y² 9 com orientação no sentido antihorário quando visto de cima b Trace o gráfico do plano e do cilindro com domínios escolhidos de forma a ver a curva C e a superfície que você usou na parte a c Determine equações paramétricas para C e useas para traçar o gráfico de C 12 a Use o Teorema de Stokes para calcular C F dr onde Fx y z x²y i ¹3 x² j xy k e C é a curva da interseção do paraboloide hiperbólico z y² x² e o cilindro x² y² 1 com orientação no sentido antihorário quando visto de cima b Trace o gráfico do paraboloide hiperbólico e do cilindro com domínios escolhidos de forma a ver a curva C e a superfície que você usou na parte a c Determine equações paramétricas para C e useas para traçar gráfico de C PARTE 1 1 a xdy ydx 0 Ordem 1 a derivada mais alta é de Primeira Ordem Grau 1 o expoente da derivada de maior ordem é 1 Linearidade Linear b x d³ydx³ 2 dydx⁴ y 0 Ordem 3 a derivada mais alta é de terceira Ordem Grau 1 o expoente da derivada de maior ordem é 1 Linearidade Não linear devido ao termo dydx c 1x y 4xy 5y cos x Ordem 2 a derivada mais alta é de segunda Ordem Grau 1 o expoente da derivada de maior ordem é 1 Linearidade Linear d yy 2y 1 x² Ordem 1 a derivada mais alta é de Primeira Ordem Grau 1 o expoente da derivada de maior ordem é 1 Linearidade Não linear devido ao termo yy e d²ydx² 9y sin y Ordem 2 a derivada mais alta é de segunda Ordem Grau 1 o expoente da derivada de maior ordem é 1 Linearidade Não Linear devido ao termo sin y 2 a 2y y 0 y ex2 y 12 ex2 212 ex2 ex2 ex2 ex2 0 A equação é satisfeita y ex2 é uma solução da EDO 2y y 0 c x2 dydx 2xy 0 y 1x2 y 2x3 x22x3 2x1x2 2x 2x 0 A equação é satisfeita y 1x2 é uma solução da EDO x2 dydx 2xy d y y 12y 0 y c1 e3x c2 e4x y 3c1 e3x 4c2 e4x y 9c1 e3x 16c2 e4x 9c1 e3x 16c2 e4x 3c1 e3x 4c2 e4x A equação é satisfeita y c1 e3x c2 e4x é uma solução da EDO y y 12y 0 PARTE 2 1 a ex dydx ey e2x y dyy e3x dx dyy e3x dx lny 13 e3x c y e13 e3x c Ae13 e3x A ec b 4y yx2 dy 2x xy2 dx 0 4y yx2 dy 2x xy2 dx 4y yx22x xy2 dxdy y4 x2x2 y2 dxdy 4 x2x dx 2 y2y dy 4x x dx 2y y dy 4 lnx x22 2 lny y22 c 2 a x2 y y xy y1 1 y yx2 yx y 1x y 1x2 yy 1x 1x2 yy 1x dx 1x2 dx lny lnx 1x c lnxy 1x c xy e1x c ec e1x xy ke1x y kx e1x 1 k1 e11 1 ke k 1e y 1ex e1x 1x e1 1x y e1x 1x b dydx xy x 2y 2 y0 2 dydx xy1 2 y1 x2y1 dyy1 x2 dx dyy1 x2 dx ln y1 12 x2 2x c y1 e12 x2 2x c ec e12 x2 2x y1 k e12 x2 2x y k e12 x2 2x 1 2 k e12 02 20 1 2 k 1 k 3 y 3 e12 x2 2x 1 c y 2xy x2 y y0 22222 y 2xy1x2 y dy 2x1x2 dx y dy 2x1x2 dx 12 y2 ln 1 x2 c y2 2 ln 1 x2 2c y2 2 ln 1 x2 k y 2 ln 1 02 k 22222 k 22222 k k 222222 493817284 y 2 ln 1 x2 493817284 d 2yy xx2 1612 y5 2 2y dydx xx2 16 2y dy xx2 16 dx xx2 16 dx 12 u du 12 u12 du 12 2u12 c u c x2 16 c y2 x2 16 c 22 52 16 c 4 25 16 c 4 9 c 4 3 c c 1 y2 x2 16 1 y x2 16 1 y x2 16 1 3º dpdt kP Pt P0 ekt 2P0 P0 e5k 2 e5k ln2 5k k ln25 3P0 P0 ekt 3 ekt ln3 kt ln3 ln25 t t 5 ln3ln2 792 4P0 P0 ekt 4 ekt ln4 kt ln4 ln25 t 2 ln2 ln25 t t 5 2 ln2 ln2 10 Para triplicar 792 anos Para quadruplicar 10 anos 4º dTdt K T Ta Tt Ta To Ta ekt Ta 30C T10 0C T20 15C 0 30 To 30 e10k 15 30 To 30 e20k 30 To 30 e10k 15 To 30 e20k 1530 To 30 e20k To 30 e10k 12 e10k ln12 10k k ln12 10 30 To 30 e10 ln1210 30 To 30 eln12 30 To 30 12 60 To 30 To 60 30 To 30C PARTE 3 1º a xxyy y xy y yxy xxy Y vx y v x dvdx v x dvdx vxxvx xxvx v1v 1v x dvdx v1v 1v v v v² v v² 1v 2v² 1v 1v v² dv 2 x dx 1v² 1v dv 2x dx 1v lnv 2 lnx c xy lnyx 2 lnx c xy lny lnx 2 lnx c xy lny lnx c xy lnxy c b xy y 2xy y yx 2xyx yx 2yx v x dvdx v 2v x dvdx 2v dv2v dxx dv2v dxx v lnx c yx lnx c yx lnx c2 y xlnx c2 2 dcdx 2c2 x2cx dcdx 2c2cx x2cx 2cx xc v x dvdx 2v xvx 2v 1v x dvdx 2v 1v v v 1v v2 1v vv2 1 dv 1x dx vv2 1 dv 1x dx vv2 1 dv 12 1u du 12 lnu k1 12 lnv2 1 k2 1x dx lnx k2 12 lnv2 1 lnx k lnv2 1 2 lnx 2k lnx2 2k v2 1 elnx2 2k elnx2 e2k x2 e2k v2 1 Ax2 cx2 1 Ax2 c2x2 1 Ax2 c2 Ax4 x2 32 A24 12 9 A 1 A 8 c2 8x4 x2 c 8x4 x2 PARTE 4 1 a dydx 3y 0 dydx 3y dyy 3 dx dyy 3 dx lny 3x C1 elny e3x C1 y e3x eC1 y C e3x b dydx yx x2 3x 2 μx e Px dx e 1x dx elnx elnx1 1x 1x dydx 1x2 y x 3 2x ddx yx x 3 2x ddx yx dx x 3 2x dx yx x dx 3 dx 2x dx yx x22 3x 2 lnx C y xx22 3x 2 lnx C y x32 3x2 2x lnx Cx 2º R dqdt qc Et 1000 dqdt q5x104 200 dqdt 2q 02 μt e2dt e2t e2t dqdt 2e2t q 02 e2t ddt qte2t 02 e2t qte2t 02 e2t dt 01 e2t K qt 01 ke2t 04 01 ke20 04 01 k e20 04 01 K k 03 qt 01 03 e2t it dqdt ddt 01 03 e2t 06 e2t carga q0005 01 03 e20005 01 03 e001 01 03099005 0397015 corrente i0005 06 e20005 06 e001 06099005 059403 carga quando t lim t qt lim t 01 03 e2t 01 030 01 PARTE 5 1º a dydx 3y 0 dydx 3y dyy 3 dx dyy 3 dx lny 3x c1 elny e3x c1 y e3x ec1 y C e3x b dydx yx x2 3x 2 μx ePxdx e 1x dx elnx elnx1 1x 1x dydx 1x2 y x 3 2x ddx yx x 3 2x ddx yx dx x 3 2x dx yx x 3 2x dx yx x22 3x 2 lnx c y x x22 3x 2 lnx c y x32 3x2 2x lnx cx 2º R dqdt qc V 1000 dqdt q5x104 200 dqdt 2q 02 qt e2t e2t 02 dt qt e2t 01 e2t k qt 01 k e2t 04 01 k e20 04 01 k K 03 qt 01 03 e2t it dqdt 06 e2t q0005 01 03 e20005 q0005 01 03 e001 q0005 01 03 099005 q0005 0397015 i0005 06 e20005 i0005 06 e001 i0005 06 099005 i0005 059403 q lim t 01 03 e2t q 01 03 0 q 01 carga corrente carga quando t PARTE 6 1 a y 4y 13y 0 r² 4r 13 0 r b b² 4ac 2a r 4 4² 4113 21 r 4 16 52 2 r 4 36 2 r 4 6i 2 r 2 3i Yx eαx c₁ cosβx c₂ sin βx Yx e2x c₁ cos 3x c₂ sin 3x b 4y y 0 4r² r 0 r4r 1 0 r₁ 0 r₂ 14 Yx c₁ er₁x c₂ er₂x Yx c₁ e⁰x c₂ e14x Yx c₁ c₂ e14x c y 36y 0 r² 36 0 r² 36 r 36 r 6 Yx c₁ er₁x c₂ er₂x Yx c₁ e6x c₂ e6x 2 a y 16y 0 y0 2 y0 2 r² 16 0 r² 16 r 16 4i Yt c₁ cos 4t c₂ sin 4t Y0 2 2 c₁ cos 0 c₂ sin 0 2 c₁ 1 c₂ 0 c₁ 2 yt 4c₁ sin 4t 4c₂ cos 4t y0 2 2 4c₁ sin 0 4c₂ cos 0 2 4 2 0 4c₂ 1 2 4c₂ c₂ 12 yt 2 cos 4t 12 sin 4t b y 3y 2y 0 y1 0 y1 1 r2 3r 2 0 r 1r 2 0 r1 1 r2 2 yt C1 et C2 e2t y1 0 0 C1 e1 C2 e21 0 C1 e C2 e2 yt yt C1 et 2 C2 e2t y1 1 1 C1 e1 2 C2 e21 1 C1 e 2 C2 e2 C1 e C2 e2 0 C1 e 2 C2 e2 1 C2 e2 1 C2 e2 C1 e e2 e2 0 C1 1 0 C1 1 C1 e1 Yt e2 et e2 e2t Yt et1 e2t2 PARTE 7 1º a 14 y y y x2 2x 14 y y y 0 14 r2 r 1 0 r2 4r 4 0 r 22 0 r 2 Yhx C1e2x C2xe2x Ypx Ax2 Bx C Ypx 2Ax B Ypx 2A 142A 2Ax B Ax2 Bx C x2 2x 12 A 2Ax B Ax2 Bx C x2 Ax2 2A Bx 12 A B C x2 2x A1 2A B 2 21 B 2 B 4 12 A B C 0 121 4 C 0 C 72 Ypx x2 4x 72 Yx Yhx Ypx Yx C1e2x C2xe2x x2 4x 72 b y 2y y sinx 3 cos2x y 2y y 0 r2 2r 1 0 r 12 0 r 1 Yhx C1ex C2xex Ypx A sinx B cosx C sin2x D cos2x Ypx A cosx B sinx 2C cos2x 2D sin2x Ypx A sinx B cosx 4C sin2x 4D cos2x 2B 1 B 12 2A 0 A 0 3C 4D 0 4C 3D 3 C 1225 D 925 Ypx 12 cosx 1225 sin2x 925 cos2x Yx Yhx Ypx Yx C1ex C2xex 12 cosx 1225 sin2x 925 cos2x PARTE 8 1 L d²qdt² R dqdt 1C q Et 025 d²qdt² 20 dqdt 300 q 0 d²qdt² 80 dqdt 1200 q 0 r² 80 r 1200 0 r b b² 4ac2a r 80 80² 411200 21 r 80 6400 4800 2 r 80 1600 2 r 80 40 2 r1 80 40 2 20 r2 80 40 2 60 qt c1 e20t c2 e60t C1 C2 4 C1 3C2 0 2C2 4 C2 2 C1 2 4 C1 6 qt 6 e20t 2 e60t 2 L d²qdt² R dqdt 1C q Et 53 d²qdt² 10 dqdt 30 q 300 d²qdt² 6 dqdt 18 q 180 d²qdt² 6 dqdt 18 q 0 r² 6r 18 0 r 6 6² 4118 21 6 36 72 2 6 36 2 3 3i qht e3t C1 cos3t C2 sin3t qpt A 0 0 18A 180 A 10 qpt 10 qt e3t C1 cos3t C2 sin3t 10 0 e0 C1 cos0 C2 sin0 10 0 C1 10 C1 10