Lista de Exercício

Lista de Exercícios Resolva detalhadamente os problemas abaixo e me entreguem até o dia 29Julho2024 1 Um homem pesa 800N ao nível do mar Calcule sua massa e seu peso a 8000 m acima do nível do mar 2 Duas bolas de ferro cada uma com massa de 10 kg estão em contato Encontre sua atração gravitacional Comparea com a atração gravitacional da Terra sobre cada bola ou seja encontre a razão entre elas Se tentarmos separar as duas bolas sentiremos a atração que elas exercem uma sobre a outra Dica você pode precisar da densidade do ferro 3 Considere um conjunto de partículas ver figura todas de massa m As distâncias horizontais e verticais entre as partículas são todas iguais a d a Calcule qual o módulo da força gravitacional que atua na partícula A b Qual o ângulo que a força faz com relação ao eixo horizontal 4 Duas massas iguais de m 640 kg são mantidas fixas e estão separadas por uma distância de 016 m Uma partícula de massa m é solta em um ponto P equidistante das duas massas e a uma distância de 006 m da linha que as une ver figura a Determine a velocidade dessa terceira massa quando ela passa por Q b Supondo que m 01 kg calcule a aceleração da partícula em P e em Q 5 Encontre a altura e a velocidade de um satélite em órbita circular no plano equatorial que permanece o tempo todo acima do mesmo ponto da Terra geoestacionário 6 Utilize dados sobre os raios e períodos orbitais da Terra Vênus e Júpiter para calcular a massa do Sol em cada um dos casos Faça a média aritmética das massas encontradas e compare com o valor da massa do Sol dada no apêndice do Halliday 7 Um meteorito está a uma distância de 80000 km da superfície da Terra e está se movendo em direção à Terra a uma velocidade v 2000 ms Ignorando o atrito do ar qual será sua velocidade no impacto sugestão use conceitos de energia 8 Calcule a velocidade de escape de uma partícula do sistema solar que está à mesma distância do Sol e da Terra e na mesma linha que liga estes corpos Suponha para isso que apenas o Sol e a Terra exerçam força gravitacional sobre a partícula e utilize considerações de energia 9 Mostre que a aceleração da gravidade a uma altura h acima da Terra pode ser aproximada para h pequeno ou seja h RT por gh 1 2hRTg onde g é a aceleração da gravidade na superfície da Terra e RT é o raio da Terra Qual o valor de gh no topo do Monte Everest cuja altura é 885km Dica use o resultado muito útil para x 1 este resultado é a chamada expansão binomial e vale para n positivo ou negativo Utilize essa mesma expansão binomial para mostrar que a diferença de energia potencial gravitacional para um corpo de massa m que é levado da superfície da Terra a uma altura h com h RT recupera o resultado conhecido 10 Encontre o período da órbita circular do nosso Sol em torno do centro da nossa Galáxia considere que a massa da Galáxia que exerce a força gravitacional sobre o sol é kg e a distância do centro da galáxia ao Sol é anos luz o ano luz é a distância que a luz percorre no intervalo de tempo de um ano 1 xn 1 nx ΔUg mgh mGal 41041 R 3104 Para resolver este problema precisamos primeiro entender as relações entre peso massa e aceleração da gravidade Ao nível do mar o peso P de um homem é dado pela fórmula P m g onde m é a massa e g é a aceleração da gravidade aproximadamente 981 ms² Então a massa m é m Pg 800 N 981 ms² 8155 kg A aceleração da gravidade diminui com a altitude A fórmula aproximada para a aceleração da gravidade a uma altura h acima do nível do mar é gₕ g₀ R R h² onde g₀ é a aceleração da gravidade ao nível do mar 981 ms² R é o raio da Terra aproximadamente 6371 10⁶ m e h é a altitude acima do nível do mar Para h 8000 m g₈₀₀₀ 981 ms² 6371 10⁶ m 6371 10⁶ m 8000 m² Calculando isso g₈₀₀₀ 973 ms² Finalmente o peso P₈₀₀₀ a 8000 m de altura é P₈₀₀₀ m g₈₀₀₀ 8155 kg 973 ms² 79345 N Portanto a massa do homem é aproximadamente 8155 kg e seu peso a 8000 m acima do nível do mar é aproximadamente 79345 N A força gravitacional F entre duas massas m₁ e m₂ separadas por uma distância d é dada pela Lei da Gravitação Universal de Newton F G m₁ m₂ d² onde G é a constante gravitacional G 6674 10¹¹ m³kg¹ s² m₁ e m₂ são as massas das bolas 10 kg cada uma d é a distância entre os centros das bolas Para determinar d precisamos saber o raio das bolas de ferro Podemos obter isso a partir da densidade do ferro A densidade do ferro ρ é aproximadamente 7874 gcm³ ou 7874 kgm³ O volume V de uma bola de ferro com massa m é V m ρ O volume de uma esfera também é dado por V 43 π r³ onde r é o raio da esfera Igualando as duas expressões temos m ρ 43 π r³ Resolvendo para r r 3m 4πρ13 A distância d entre os centros das bolas é 2r Substituindo na fórmula da força gravitacional obtemos F G m₁ m₂ 2r² A força gravitacional da Terra sobre uma bola FT é dada por FT m g onde g é a aceleração devido à gravidade g 98 ms² Razão F FT r 3 10 kg 4π 7874 kgm³13 r 30 31496π13 r 0057 m d 2r 2 0 057 m 0 114 m F G10 kg 10 kg 0 114 m2 F 6 674 1011 100 0 013 F 5 13 108 N FT 10 kg 9 8 ms2 FT 98 N Razao 5 13 108 N 98 N Razao 5 24 1010 A forca gravitacional entre as duas bolas de ferro e extremamente pequena em comparacao com a forca gravitacional da Terra sobre cada bola A razao e de aproximadamente 5 24 1010 o que significa que a forca entre as bolas e cerca de 10 bilhoes de vezes menor que a forca que a Terra exerce sobre uma bola Portanto nao sentimos a atracao gravitacional entre as duas bolas de ferro ao tentar separalas pois essa forca e insignificante em relacao as forcas que normal mente percebemos no dia a dia 3 Dados do Problema Massa de cada partıcula m Distˆancias horizontais e verticais entre as partıculas d Constante gravitacional G As partıculas ao redor da partıcula A estao dispostas como mostrado na figura com trˆes partıculas acima e uma a esquerda Vamos calcular a forca gravitacional exercida por cada uma dessas partıculas na partıcula A Forca pela partıcula a esquerda de A Distˆancia d Forca gravitacional F1 F1 Gm2 d2 Forca pela partıcula diretamente acima de A Distˆancia d Forca gravitacional F2 F2 Gm2 d2 Forca pela segunda partıcula acima de A Distˆancia 2d Forca gravitacional F3 F3 Gm2 2d2 Gm2 4d2 Forca pela terceira partıcula acima de A Distˆancia 3d Forca gravitacional F4 F4 Gm2 3d2 Gm2 9d2 Componentes horizontais Somente a partıcula a esquerda de A contribui para a componente horizontal Fhorizontal F1 Gm2 d2 Componentes verticais Contribuição de cada partícula acima de A Fvertical F2 F3 F4 Fvertical G m² d² G m² 4 d² G m² 9 d² Fvertical G m² d² 1 14 19 Fvertical G m² d² 1 025 0111 Fvertical G m² d² 1361 Módulo da força resultante Ftotal Fhorizontal² Fvertical² Ftotal G m² d²² G m² d² 1361² Ftotal G m² d² 1 1361² Ftotal G m² d² 1 1851 Ftotal G m² d² 2851 Ftotal G m² d² 1688 Ângulo com a horizontal tanθ Fvertical Fhorizontal θ tan¹Fvertical Fhorizontal θ tan¹1361 θ 5359 4 a As duas massas m de 640 kg estão separadas por uma distância de 016 m A terceira massa m é liberada no ponto P que está a 006 m acima do ponto Q que é o ponto médio entre as duas massas m A energia potencial gravitacional no ponto P será convertida em energia cinética no ponto Q A energia potencial gravitacional U de uma massa m devido a duas massas m é dada pela soma das energias potenciais gravitacionais individuais de cada massa m sobre m U U₁ U₂ Gmmr₁ Gmmr₂ Aqui r₁ e r₂ são as distâncias de m para cada uma das massas m A distância r pode ser determinada usando o teorema de Pitágoras onde r é a distância entre m em P e uma das massas m r 008² 006² 00064 00036 001 01 m Portanto r₁ r₂ 01 m A energia potencial total em P é Up 2Gmmr 2G640 kg01 kg01 m 2G6400101 2G06401 128G A energia potencial em Q é zero porque é o ponto de referência A energia potencial em P é convertida totalmente em energia cinética em Q 12 mv² 128G Resolvendo para v v 2 128G m 2 128G 01 256G A força gravitacional total F atuando sobre m em P é F F₁ F₂ Gmmr₁² Gmmr₂² 2Gmmr² A aceleração a em P é dada por a Fm aP 2Gmr² 2G 640 01² 2G 640 001 128G 001 1280G No ponto Q as forças gravitacionais das duas massas m se cancelam resultando em aceleração zero A velocidade v da massa m quando ela passa por Q é v 256G b A aceleração a da partícula em P é aP 1280G e em Q aQ 0 O valor da constante gravitacional G é 667430 10¹¹ m³kg¹s² v 256 667430 10¹¹ 1708 10⁸ 413 10⁴ ms aP 1280 667430 10¹¹ 854 10⁸ ms² Portanto a velocidade da massa m quando passa por Q é aproximadamente 413 10⁴ ms e a aceleração da partícula em P é aproximadamente 854 10⁸ ms² 5 Usamos a fórmula r GMT²4π²13 Substituindo os valores G 667430 10¹¹ m³ kg¹ s² M 5972 10²⁴ kg T 86164 s r 667430 10¹¹ 5972 10²⁴ 86164 10³² 4π²13 Calculando o numerador 667430 10¹¹ 5972 10²⁴ 86164 10³² 7496 10²² Calculando o denominador 4π² 39478 Portanto 7496 10²² 39478 1899 10²¹ r 1899 10²¹13 4216 10⁷ m r 4216374357 m A altura h é a diferença entre o raio da órbita r e o raio da Terra RT h r RT r 4216374357 m RT 6378000 m h 4216374357 m 6378000 m 3578574357 m v GMr G 667430 10¹¹ m³ kg¹ s² M 5972 10²⁴ kg r 4216374357 m v 667430 10¹¹ 5972 10²⁴ 4216374357 Calculando o numerador 667430 10¹¹ 5972 10²⁴ 3986 10¹⁴ Portanto v 3986 10¹⁴ 4216374357 9455 10⁶ v 307463 ms 6 Terra Raio orbital 1 UA 1496 1011 m Perıodo orbital 1 ano 3156 107 s Vˆenus Raio orbital 0723 UA 1082 1011 m Perıodo orbital 0615 anos 1939 107 s Jupiter Raio orbital 5204 UA 7784 1011 m Perıodo orbital 1186 anos 3743 108 s A formula para a massa do Sol M e dada por M 4π2r3 GT 2 onde r e o raio orbital T e o perıodo orbital G e a constante gravitacional 667430 1011 m3kg1s2 Vamos calcular a massa do Sol para cada planeta Terra MTerra 4π21496 1011 m3 667430 1011 m3kg1s2 3156 107 s2 1988 1030 kg Vˆenus MV ˆenus 4π21082 1011 m3 667430 1011 m3kg1s2 1939 107 s2 1993 1030 kg Jupiter MJ upiter 4π27784 1011 m3 667430 1011 m3kg1s2 3743 108 s2 1991 1030 kg A media aritmetica das massas calculadas e M 1991 1030 kg O valor da massa do Sol dado no apˆendice do Halliday e aproximadamente 1989 1030 kg logo esta proximo 7 Para encontrar a velocidade do meteorito no momento do impacto podemos usar o princípio da conservação de energia A energia total do meteorito é a soma da energia cinética e da energia potencial gravitacional No início a energia cinética é 12 mv₀² e a energia potencial é GMm r onde v₀ é a velocidade inicial G é a constante gravitacional M é a massa da Terra m é a massa do meteorito e r é a distância inicial do meteorito ao centro da Terra No impacto a distância r é o raio da Terra e a energia potencial será GMm R onde R é o raio da Terra A energia total inicial é Etotalinicial 12 mv₀² GMm r A energia total final é Etotalfinal 12 mvf² GMm R Como a energia total se conserva 12 mv₀² GMm r 12 mvf² GMm R Simplificando e resolvendo para vf vf² v₀² 2GMm 1R 1r Usando GM 98 10⁷ m²s²kg¹ produto da constante gravitacional e massa da Terra e R 6371 10⁶ m vf² 2000² 2 98 10⁷ 1637110⁶ 180000000 m 1637110⁶ 1568 10⁷ m¹ 180000000 125 10⁸ m¹ 156810⁷ 12510⁸ m 1443 10⁷ 2 98 10⁷ 1443 10⁷ 281 m²s² vf² 2000² 281 4000000 281 400000281 vf 400000281 2000001 ms Assim a velocidade do meteorito no impacto será aproximadamente 2000 ms 8 A energia potencial gravitacional devido ao Sol USol USol GMSolm d onde G é a constante gravitacional MSol é a massa do Sol m é a massa da partícula e d é a distância da partícula ao Sol A energia potencial gravitacional devido à Terra UTerra UTerra GMTerram d onde MTerra é a massa da Terra e d é a distância da partícula à Terra A energia total necessária para a partícula escapar do sistema é a soma da energia potencial gravitacional e da energia cinética A energia total E é a soma da energia potencial gravitacional devido ao Sol e à Terra E USol UTerra GMSolm d GMTerram d A energia cinética K necessária para a partícula escapar é dada por K 12 mv² Para escapar do sistema a energia total deve ser zero ou maior K E 0 12 mv² GMSolm d GMTerram d 0 12 mv² GMSolm d GMTerram d Isolando v 12 v² GMSol d GMTerra d v² 2 GMSol d GMTerra d v 2 GMSol d GMTerra d d é a distância da partícula tanto ao Sol quanto à Terra que é aproximadamente a distância média da Terra ao Sol ou seja cerca de 1496 10¹¹ metros 1 Unidade Astronômica AU G 667430 10¹¹ m³kg¹s² MSol 1989 10³⁰ kg MTerra 5972 10²⁴ kg v 2 667430 10¹¹ 1989 10³⁰ 1496 10¹¹ 667430 10¹¹ 5972 10²⁴ 1496 10¹¹ v 2 1327 10²⁰ 1496 10¹¹ 3986 10¹⁴ 1496 10¹¹ v 2 887 10⁸ 266 10³ v 2 887 108 v 1774 109 v 421 104 ms Portanto a velocidade de escape da partícula é aproximadamente 421 kms 9 Aceleração da gravidade a uma altura h acima da Terra A fórmula dada é gh 1 2hRT g onde g é a aceleração da gravidade na superfície da Terra RT é o raio da Terra Valor de gh no topo do Monte Everest O Monte Everest tem uma altura de h 885 km 8 850 m O raio da Terra é aproximadamente RT 6 371 km 6 371 000 m gh 1 2 8 8506 371 000 g gh 1 17 7006 371 000 g gh 1 000278 g gh 099722g Se considerarmos g 98 ms2 gh 099722 98 975 ms2 Diferença de energia potencial gravitacional A energia potencial gravitacional é dada por ΔUg mgh Considerando a mesma expansão binomial podemos mostrar que ΔUg mg 1 2hRT h Para h RT podemos aproximar ΔUg mgh Portanto os valores e as expressões foram confirmados 10 Para encontrar o período T da órbita circular do Sol em torno do centro da Galáxia podemos usar a terceira lei de Kepler para movimento circular em um campo gravitacional A terceira lei de Kepler relaciona o período orbital com a distância do centro da órbita e a massa central A terceira lei de Kepler para órbitas circulares é dada por T2 4π2 R3 GMGal Onde T é o período orbital R é a distância do Sol ao centro da Galáxia G é a constante gravitacional 667430 1011 m3 kg1 s2 MGal é a massa da Galáxia Primeiro precisamos converter a distância R de anosluz para metros 1 ano luz 9461 1015 m R 3 104 anos luz R 3 104 9461 1015 m R 28383 1020 m A massa da Galáxia é dada por MGal 4 1041 kg Substituindo esses valores na fórmula de Kepler T2 4π2 28383 1020 m3 667430 1011 m3 kg1 s2 4 1041 kg Calculando os valores dentro da fórmula T2 4π2 22835 1061 266972 1031 T2 10737 1032 T 10737 1032 T 10368 1016 s Convertendo o período de segundos para anos 1 ano 3154 107 s T 10368 1016 s 3154 107 sano T 3288 108 anos Portanto o período da órbita circular do Sol em torno do centro da Galáxia é aproximadamente 3288 108 anos