Variáveis Aleatórias Discretas: Teoria e Exemplos

UNIDADE 03 UNIDADE 03 Sabrina Alves de Freitas sabrinaafcearufpbbr VARIÁVEIS ALEATÓRIAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS DISCRETAS Variáveis Aleatória Discretas Valor Esperado Variância e Desvio Padrão Distribuições de Probabilidade Binomial Hipergeométrica Poisson VARIÁVEIS ALEATÓRIAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS DISCRETAS Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Discretas e Experimento aleatório W Espaço amostral associado a e Variável Aleatória X É uma função que associa a cada elemento aÎW um número real Xa Va discreta Valores possíveis constituem um conjunto enumerável X W ℝ Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Discretas Exemplo 031 Considere o experimento em que um número de telefone em determinado código de área é discado por meio de um discador aleatório e defina uma va X como 0 se o número selecionado não estiver na lista telefônica 1 se o número selecionado estiver na lista telefônica X Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Discretas Sejam X uma va discreta e RXx1x2 o contradomínio de X A função distribuição de probabilidade fdp de X é a função P que associa a cada xi a sua probabilidade Pxi PXxi satisfazendo as seguintes condições Pxi³0 para todo i P Σ xi Px1 Px2 1 PXx lêse a probabilidade de a va X assumir o valor x Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Discretas Exemplo 032 Considere um grupo de 5 doadores de sangue potenciais A B C D e E Desses apenas A e B possuem o sangue do tipo O Cinco amostras de sangue uma de cada indivíduo serão testadas em ordem aleatória até que seja identificado um indivíduo O Seja a va Xnúmero de testes necessários para identificar o indivíduo O Então a fdp de X é p1PX1PA ou B identificados no primeiro teste 2504 Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Discretas Exemplo 032 P1PX1PA ou B identificados no primeiro teste 2504 P2PX2PC D ou E no primeiro e A ou B no segundo PC D ou E primeiroPA ou B no segundoC D ou E primeiro 03 P3PX3PC D ou E no primeiro e no segundo e A ou B no terceiro 02 P4PX4PA ou B no quarto teste 01 3 2 5 4 3 2 5 4 2 3 3 2 5 4 1 2 3 2 Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Discretas Exemplo 032 A fdp pode também ser representada na forma tabular A representação da fdp também pode ser feita através de um gráfico de linhas x 1 2 3 4 Px 04 03 02 01 Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Discretas Exemplo 033 Parâmetro da distribuição Iniciando em um horário fixo observamos o sexo de cada criança nascida em um determinado hospital até que nasça um menino B Seja p PB presuma que nascimentos sucessivos sejam independentes e considere a va X como x número de nascimentos observados Então p1 PX 1 PB p p2 PX 2 PGB PG PB 1 pp e p3 PX 3 PGGB PG PG PB 1 p2p Continuando dessa forma definese a fórmula geral Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Discretas Exemplo 033 Parâmetro da distribuição O parâmetro p pode assumir qualquer valor entre 0 e 1 No exemplo do sexo das crianças p 051 pode ser apropriado mas se estivermos buscando a primeira criança com sangue com fator Rh positivo poderíamos ter p 085 Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Discretas Parâmetro é uma quantidade que pode ser atribuída a qualquer um de diversos valores possíveis em que cada valor diferente define uma distribuição de probabilidade diferente A coleção de todas as distribuições dos diferentes valores do parâmetro é denominada uma família de distribuições de probabilidade Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Discretas Va discreta X com fdp px A função de distribuição acumulada FDA Fx é definida para cada valor de x por Para qualquer valor x Fx é a probabilidade de o valor X observado ser no máximo x Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Discretas Exemplo 032 Continuação Considere um grupo de 5 doadores de sangue potenciais A B C D e E Desses apenas A e B possuem o sangue do tipo O Cinco amostras de sangue uma de cada indivíduo serão testadas em ordem aleatória até que seja identificado um indivíduo O Seja a va Xnúmero de testes necessários para identificar o indivíduo O A fdp é dada por Vamos determinar Fx x 1 2 3 4 Px 04 03 02 01 Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Discretas Exemplo 032 Continuação Vamos determinar Fx F1PX1PX1p104 F2PX2PX1 ou 2p1p2040307 F3PX3PX1 ou 2 ou 3p1p2p304030209 F4PX4PX1 ou 2 ou 3 ou 4040302011 x 1 2 3 4 Px 04 03 02 01 Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Discretas Exemplo 032 Continuação Assim a FDA é definida da seguinte forma x 1 2 3 4 Px 04 03 02 01 0 se x1 04 se 1x2 Fx 07 se 2x3 09 se 3x4 1 se 4x x 1 2 3 4 Fx 04 07 09 1 Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Discretas Proposição 31 Para quaisquer dois números a e b com ab PaXbFbFa Onde a representa o maior valor possível de X estritamente menor que a Se os únicos valores possíveis forem inteiros e se a e b forem inteiros então PaXbFbFa1 Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Discretas Exemplo 034 Seja X o número de dias de licença por doença de um funcionário de uma empresa selecionado aleatoriamente em certo ano Se o número máximo de dias permitidos por ano for 14 os valores possíveis de X são 0 1 14 com F0058 F1072 F2076 F3081 F4088 F5094 P2X5PX2 ou 3 ou 4 ou 5 F5F1 094072022 Para calcular PX3 fazemos P3X3F3F2005 Valor Esperado Valor Esperado X va discreta px fdp de X D conjunto de valores possíveis de X O valor esperado ou valor médio de X denotado por EX ou mX é Valor Esperado Valor Esperado Exemplo 035 Considere uma universidade com 15000 alunos e X quantidade de cursos em que um aluno selecionado aleatoriamente estava matriculado A fdp de X é mostrada a seguir x 1 2 3 4 5 6 7 px 001 003 013 025 039 017 002 Alunos matriculados 150 450 1950 3750 5850 2550 300 Valor Esperado Valor Esperado Exemplo 035 O valor médio da população X é x 1 2 3 4 5 6 7 px 001 003 013 025 039 017 002 Alunos matriculados 150 450 1950 3750 5850 2550 300 Valor Esperado Valor Esperado Exemplo 032 Continuação Considere um grupo de 5 doadores de sangue potenciais A B C D e E Desses apenas A e B possuem o sangue do tipo O Cinco amostras de sangue uma de cada indivíduo serão testadas em ordem aleatória até que seja identificado um indivíduo O Seja a va Xnúmero de testes necessários para identificar o indivíduo O A fdp é dada por Vamos determinar EX EX 1p1 2p2 3p3 4p4 104 203 302 401 2 x 1 2 3 4 Px 04 03 02 01 Média da população Valor Esperado de uma Função Valor Esperado de uma Função Exemplo 036 Suponha que uma livraria compre 10 cópias de um livro a R600 cada para vendêlas a R1200 sabendo que ao fim de um período de 3 meses os livros não vendidos podem ser devolvidos por R200 Se X número de cópias vendidas então a receita líquida será hX 12X 210 X 60 10X 40 Nesta situação podemos estar interessados não somente no número esperado de cópias vendidas EX mas também no rendimento líquido esperado isto é o valor esperado de uma determinada função de X Valor Esperado de uma Função Valor Esperado de uma Função Exemplo 036 Seja a fdp de X dada conforme abaixo A quantidade de cópias vendidas esperada é de EX 0001 1002 2006 301 4025 502 6015 701 8005 9004 10002 5 Fazendo YhX temos que Y também é uma va e a fdp de Y é dada por x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 px 001 002 006 01 025 02 015 01 005 004 002 Valor Esperado de uma Função Valor Esperado de uma Função Exemplo 036 Seja a fdp de Y dada conforme abaixo O lucro esperado com as vendas é de EY 40001 30002 20006 1001 0025 1002 20015 3001 40005 50004 60002 10 y 40 30 20 10 0 10 20 30 40 50 60 py 001 002 006 01 025 02 015 01 005 004 002 Valor Esperado de uma Função Valor Esperado de uma Função Exemplo 036 YhX 10X 40 EX 5 EY 10 Observe que EY EhX 10EX 40 105 40 10 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 40 30 20 10 0 10 20 30 40 50 60 px 001 002 006 01 025 02 015 01 005 004 002 Valor Esperado de uma Função Valor Esperado de uma Função X va discreta px fdp de X hX função de X D conjunto de valores possíveis de X Se hX aX b então Demonstração Valor Esperado de uma Função Valor Esperado de uma Função X va discreta px fdp de X hX função de X D conjunto de valores possíveis de X Se hX aX b então Além disso EaX a EX e EX b EX b Variância Variância X va discreta px fdp de X m valor esperado de X D conjunto de valores possíveis de X A variância de X é O desvio padrão de X é Variância Variância Exemplo 037 Uma biblioteca tem um limite máximo de seis DVDs que podem ser emprestados por um indivíduo em uma visita Considere apenas aqueles que têm DVDs emprestados atualmente e considere X a quantidade de DVDs emprestados para indivíduos selecionados aleatoriamente A fdp de X é EX m 285 x 1 2 3 4 5 6 px 03 025 015 005 01 015 Variância Variância Exemplo 037 EX m 285 x 1 2 3 4 5 6 px 03 025 015 005 01 015 Variância Variância Fórmula alternativa para a variância Demonstração V X D xm 2px D x 22 xmm 2p x D x 2px D 2x mpx D m 2px D x 2px2m D xpxm 2 D px EX 22mmm 2EX 2m 2EX 2EX 2 Variância Variância Fórmula alternativa para a variância Exemplo 037 Continuação Uma biblioteca tem um limite máximo de seis DVDs que podem ser emprestados por um indivíduo em uma visita Considere apenas aqueles que têm DVDs emprestados atualmente e considere X a quantidade de DVDs emprestados para indivíduos selecionados aleatoriamente A fdp de X é EX m 285 VX 32275 s 18 Calcular a variância usando a fórmula alternativa x 1 2 3 4 5 6 px 03 025 015 005 01 015 Variância Variância Fórmula alternativa para a variância Exemplo 037 Continuação EX m 285 VX 32275 s 18 Calcular a variância usando a fórmula alternativa EX2 1203 22025 32015 42005 5201 62015 1135 VX EX2 E2X 1135 2852 1135 81225 32275 x 1 2 3 4 5 6 px 03 025 015 005 01 015 Variância Variância Proposição 32 Demonstração V aXbEaXb 2 EaXb 2 Ea 2X 22abXb 2EaXb EaXb a 2EX 22abEXb 2aEXbaEXb a 2EX 22abEXb 2a 2EX 22 abEXb 2 a 2EX 2a 2E X 2a 2EX 2 E X 2a 2V X Variância Variância Exemplo 036 Continuação Suponha que uma livraria compre 10 cópias de um livro a R600 cada para vendêlas a R1200 sabendo que ao fim de um período de 3 meses os livros não vendidos podem ser devolvidos por R200 Se X número de cópias vendidas então a receita líquida será hX 12X 210 X 60 10X 40 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 40 30 20 10 0 10 20 30 40 50 60 px 001 002 006 01 025 02 015 01 005 004 002 Variância Variância Exemplo 036 Continuação Y hX 10X 40 EX 5 EY 10 VX 289 25 39 VY 490 100 390 VY V10X40 102VX 100 39 390 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 40 30 20 10 0 10 20 30 40 50 60 px 001 002 006 01 025 02 015 01 005 004 002 Distribuições de Probabilidade Distribuições de Probabilidade Famílias de distribuições Parâmetros Distribuição de Probabilidade Binomial Distribuição de Probabilidade Hipergeométrica Distribuição de Probabilidade de Poisson Distribuição Binomial Distribuição Binomial Experimento Binomial Sequência de n experimentos ou ensaios SucessoS ou FalhaF arbitrários Ensaios independentes PS p é constante PS p PF 1p q Distribuição Binomial Distribuição Binomial Exemplo 038 A chance de que um bit transmitido através de um canal digital de transmissão seja recebido com erro é de 01 Suponha que as tentativas sejam independentes e faça X o número de bits com erro nos próximos 4 bits transmitidos Determinar PX2 Considere que a letra E designa bit com erro e a letra O designa bit sem erro Representamos os resultado desse experimento como uma lista de quatro letras que indicam os bits que estão com erro e os que não estão Distribuição Binomial Distribuição Binomial Exemplo 038 X2OOEE OEOE OEEO EOOE EOEO EEOO PEEOOPEPEPOPO01010909012092 Como cada um dos seis resultados tem a mesma probabilidade de ocorrer temos PX2601209260008100486 OOOO OOOE OOEO OOEE OEOO OEOE OEEO OEEE EOOO EOOE EOEO EOEE EEOO EEOE EEEO EEEE Tentativas independentes Distribuição Binomial Distribuição Binomial Exemplo 038 Em geral PXxnúmero de resultados que resultam em x erros01x094x ou ainda Distribuição Binomial Distribuição Binomial A va binomial X associada a um experimento binomial formado por n ensaios é definida como X a quantidade de S sucessos entre n ensaios A fdp da va binomial X com parâmetros n e p é denotada por Distribuição Binomial Distribuição Binomial Em uma va binomial X com parâmetros n e p a probabilidade de x sucessos em n provas é dado por Distribuição Binomial Distribuição Binomial Exemplo 039 Cada um de seis consumidores de refrigerante selecionados aleatoriamente recebe um copo com o refrigerante S e um com o refrigerante F Suponha que não haja uma tendência de preferência entre os consumidores Então p Pum indivíduo selecionado prefere S 05 de forma que X número de consumidores entre os seis que preferem S X binx 6 05 Então Distribuição Binomial Distribuição Binomial Exemplo 039 Além disso a probabilidade de pelo menos 3 preferirem S é A probabilidade de no máximo um preferir S é Distribuição Binomial Distribuição Binomial Exemplo 0310 Suponha que 20 de todas as cópias de um livrotexto apresentem falha em um determinado teste de resistência de encadernação Seja X o número de cópias que apresentam falhas entre 15 cópias selecionadas aleatoriamente Então X tem distribuição binomial com n 15 e p 02 1 A probabilidade de no máximo 8 apresentarem falha é 2 A probabilidade de exatamente 8 apresentarem falha é 0003 3 A probabilidade de no mínimo 8 apresentarem falha é 0004 Distribuição Binomial Distribuição Binomial Esperança e Variância Esperança e Variância Se Xbinxnp então Distribuição Binomial Distribuição Binomial Esperança e Variância Esperança e Variância Exemplo 039 Continuação Cada um de seis consumidores de refrigerante selecionados aleatoriamente recebe um copo com o refrigerante S e um com o refrigerante F Suponha que não haja uma tendência de preferência entre os consumidores Então p Pum indivíduo selecionado prefere S 05 de forma que X número de consumidores entre os seis que preferem S X binx 6 05 Então EX np 6 05 3 VX npq 6 05 05 15 s 12247 Distribuição Binomial Distribuição Binomial Esperança e Variância Esperança e Variância Exemplo 0311 Se 75 de todas as compras em uma determinada loja forem feitas com cartão de crédito e X for a quantidade de compras feitas com cartão de crédito entre 10 compras selecionadas aleatoriamente então Xbinx 1O 075 Portanto EX np 10075 75 VarX npq 10075025 1875 sX 13693 Distribuição Binomial Distribuição Binomial Esperança e Variância Esperança e Variância Exercício 031 Uma loja vende pen drives de 1 GB 2 GB 4 GB 8 GB e 16 GB de memória A tabela a seguir mostra a distribuição de X quantidade de memória de um pen drive adquirido Calcule a EX b VX pela definição e pela fórmula alternativa c sX x 1 2 4 8 16 px 005 010 035 040 010 Distribuição Hipergeométrica Distribuição Hipergeométrica A população finita de tamanho N Sucesso S ou Fracasso F e há M sucessos na população Amostra sem reposição de tamanho n Cada amostra igualmente provável Variável de interesse X número de S na amostra Parâmetros n M N PXx hx n M N Distribuição Hipergeométrica Distribuição Hipergeométrica Exemplo 0312 Durante determinado período um escritório de tecnologia da informação de uma universidade recebeu 20 ordens de serviço de problemas com impressoras das quais 8 de impressoras a laser e 12 a jato de tinta Uma amostra de 5 dessas ordens de serviço será selecionada para inclusão em uma pesquisa de satisfação do cliente Suponha que as 5 sejam selecionadas de forma completamente aleatória para que qualquer subconjunto de tamanho 5 tenha a mesma possibilidade de ser selecionado Qual será a probabilidade de exatamente x x O 1 2 3 4 ou 5 das ordens de serviço selecionadas serem de impressoras a jato de tinta Distribuição Hipergeométrica Distribuição Hipergeométrica Exemplo 0312 Temos tamanho da população N20 tamanho da amostra n5 número de jatos de tinta S M12 número de não jatos de tinta F NM 2012 8 Vamos calcular PX2 PX2 h2 5 12 20 número de resultados com x2 número de resultados possíveis Distribuição Hipergeométrica Distribuição Hipergeométrica Exemplo 0312 O número de reusltados possíveis é o número de maneiras de selecionar 5 dos 20 objetos sem se importar com a ordem Para contar o número de resultados tendo X2 temos 2 em 12 impressoras jato de tinta e 3 em 8 impressoras a laser Assim Distribuição Hipergeométrica Distribuição Hipergeométrica Se X for o número de sucessos em uma amostra aleatória de tamanho n tirada de uma população de tamanho N constituída de M sucessos e N M fracassos então a distribuição de probabilidade de X denominada distribuição hipergeométrica será dada por para um inteiro x que satisfaça Distribuição Hipergeométrica Distribuição Hipergeométrica Exemplo 0313 Cinco indivíduos de uma população animal supostamente ameaçada de extinção em certa região foram capturados marcados e liberados para se misturarem à população Após terem uma oportunidade de cruzarem foi selecionada uma amostra aleatória de 10 desses animais Seja X número de animais marcados na segunda amostra Se na verdade houver 25 animais desse tipo na região qual será a probabilidade de a X 2 b X 2 Distribuição Hipergeométrica Distribuição Hipergeométrica Exemplo 0313 Os valores dos parâmetros são n10 M5 e N25 Assim a b Distribuição Hipergeométrica Distribuição Hipergeométrica Esperança e Variância Esperança e Variância Se XhxnMN então Substituindo MN por p temse Fator de correção para população finita Distribuição Hipergeométrica Distribuição Hipergeométrica Esperança e Variância Esperança e Variância Exemplo 0313 Continuação Cinco indivíduos de uma população animal supostamente ameaçada de extinção em certa região foram capturados marcados e liberados para se misturarem à população Após terem uma oportunidade de cruzarem foi selecionada uma amostra aleatória de 10 desses animais Seja X número de animais marcados na segunda amostra Suponha que hajam 25 animais desse tipo na região n10 M5 e N25 de forma que p52502 Vamos calcular a esperança variância e desvio padrão de X Distribuição Hipergeométrica Distribuição Hipergeométrica Esperança e Variância Esperança e Variância Exemplo 0313 Continuação Se a amostragem fosse feita com reposição VX16 Distribuição Hipergeométrica Distribuição Hipergeométrica Esperança e Variância Esperança e Variância Exemplo 0314 Uma listagem das compras de consumidores de um grande corporação contém 1000 consumidores Desses 700 compraram no mínimo um dos produtos da corporação nos últimos três meses Para avaliar um novo projeto de produto 50 consumidores são amostrados ao acaso da lista da corporação Qual é a probabilidade que mais de 45 dos consumidores amostrados tenham comprado da corporação nos últimos três meses Devemos encontrar PX45 Distribuição Hipergeométrica Distribuição Hipergeométrica Esperança e Variância Esperança e Variância Exemplo 0314 Sendo X o número de consumidores na amostra que compraram da corporação nos últimos três meses temos N1000 n50 M700 e p07 Assim Distribuição Hipergeométrica Distribuição Hipergeométrica Esperança e Variância Esperança e Variância Exemplo 0314 Calculando esperança variância e desvio padrão temos Distribuição Hipergeométrica Distribuição Hipergeométrica Esperança e Variância Esperança e Variância Exercício 032 Um geólogo coletou 10 amostras de rocha basáltica e 10 de granito O geólogo instruiu o assistente de laboratório para selecionar aleatoriamente 15 amostras para análise a Qual é a fdp do número de amostras de granito selecionadas para análise b Qual é a probabilidade de todas as amostras de um dos dois tipos de rocha serem selecionadas para análise c Qual é a probabilidade de o número de amostras de granito selecionadas para análise estarem dentro de 1 desvio padrão do valor médio Distribuição de Poisson Distribuição de Poisson Seja X uma va discreta tomando os seguintes valores 01n Se X tem distribuição de Poisson com parâmetro a 0 Para verificar que essa expressão representa uma distribuição de probabilidade basta observar que Distribuição de Poisson Distribuição de Poisson Esperança e Variância Esperança e Variância Se X tiver uma distribuição de Poisson com parâmetro a então EX VX a Distribuição de Poisson Distribuição de Poisson Esperança e Variância Esperança e Variância Exemplo 0315 Seja X o número de certo tipo de animais capturados em uma armadilha durante certo período de tempo Suponha que X tenha uma distribuição de Poisson com a 45 de forma que em média cada armadilha contém 45 animais A probabilidade de uma armadilha conter exatamente cinco animais é A probabilidade de uma armadilha conter no máximo cinco animais é Distribuição de Poisson Distribuição de Poisson Exemplo 0316 Um departamento recebe 8 chamadas por hora Qual a probabilidade que a Em uma hora ocorram 3 chamadas b Em 30 minutos ocorra pelo menos duas chamadas c Em 15 minutos não ocorra nenhuma chamada a b Recalculando o parâmetro para o novo tempo temos a 4 Distribuição de Poisson Distribuição de Poisson Exemplo 0316 c Recalculando o parâmetro para o novo tempo temos a 2 Distribuição de Poisson Distribuição de Poisson Teorema 01 Seja X uma va distribuída binomialmente com parâmetro p baseado em n repetições de um experimento isto é Admitase que quando n p 0 de modo que np a Nessas condições que é a distribuição de Poisson com parâmetro a A distribuição de Poisson como aproximação da distribuição A distribuição de Poisson como aproximação da distribuição binomial binomial Distribuição de Poisson Distribuição de Poisson Exemplo 0316 Se uma editora de livros nãotécnicos se esforça para garantir que seus livros não possuam erros tipográficos de forma que a probabilidade de uma página conter um erro desse tipo é de 0005 e os erros são independentes de página para página qual é a probabilidade de um de seus romances de 400 páginas conter exatamente uma página com erros No máximo três páginas com erros O número X de páginas que contém ao menos um erro é uma va binomial com n400 p0005 de forma que np2 Assim A distribuição de Poisson como aproximação da distribuição A distribuição de Poisson como aproximação da distribuição binomial binomial Distribuição de Poisson Distribuição de Poisson Exemplo 0316 De forma similar A distribuição de Poisson como aproximação da distribuição A distribuição de Poisson como aproximação da distribuição binomial binomial Distribuição de Poisson Distribuição de Poisson Exercício 033 Em testes de placas de circuitos a probabilidade de falha em um diodo é de 001 Suponha que uma placa de circuito contenha 200 diodos a Quantos diodos esperase que apresentem falhas e qual é o desvio padrão desse valor b Qual é a probabilidade aproximada de ao menos quatro diodos apresentarem falha em uma placa selecionada aleatoriamente c Se cinco placas forem enviadas a um determinado cliente qual é a probabilidade de ao menos quatro funcionarem corretamente Uma placa só funciona corretamente se todos os seus diodos funcionarem