Séries Infinitas: Roteiro Completo - Definições, Convergência e Testes

ROTEIRO O6 SERIES INFINITAS 1 Introdução O que significa soma infinita Como somar um número após outro após outro após outro e assim por diante indefinidamente Lidar com somas infinitas da mesma forma como lidamos com somas finitas pode nos deixar em sérias dificuldades Vejamos um exemplo Qual o valor de 𝑆 na soma abaixo 𝑆 1 1 1 1 1 1 Vejamos algumas maneiras de determinar o valor dessa soma 𝑆 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 𝑆 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 𝑆 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 𝑆 𝑆 1 2 Afinal de contas 𝑆 0 𝑆 1 ou 𝑆 1 2 Isso revela que o processo de somas infinitas requer um certo cuidado 2 Como definir uma soma infinita Considere a série 𝑎1 𝑎2 𝑎3 Considere a seguinte sequência de somas parciais 𝑆1 𝑎1 𝑆2 𝑎1 𝑎2 𝑆3 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑆𝑛 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎𝑛 𝑎𝑗 𝑛 𝑗1 Sendo assim podemos definir a soma infinita como limite de uma sequência de somas parciais como verificado a seguir 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑆 lim 𝑛 𝑆𝑛 lim 𝑛 𝑎𝑗 𝑛 𝑗1 𝑎𝑛 𝑛1 Definição Dizemos que a série infinita 𝑎𝑛 é convergente denotaremos por 𝑎𝑛 se a sequência das somas parciais for convergente e diremos que a série 𝑎𝑛 é divergente denotaremos por 𝑎𝑛 se a sequência das somas parciais for divergente Exemplos a Calcule o valor de 1 1 2 1 4 1 8 1 2𝑛1 b Calcule 1 𝑛𝑛1 𝑛1 3 Séries Importantes 31 Série Geométrica São séries da forma 1 𝑎 𝑎2 𝑎3 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑛1 Se 𝑎 1 esta série converge para 1 1𝑎 Se 𝑎 1 esta série diverge 32 𝒑 séries As 𝑝séries são séries da forma 1 𝑛𝑝 𝑛1 Se 𝑝 1 ela converge Se 𝑝 1 ela diverge Em particular quando 𝑝 1 temos a série harmônica que é uma série divergente 1 𝑛 1 1 2 1 3 1 4 𝑛1 4 Resultados Importantes Proposição 1 Se 𝑎𝑛 𝐴 e 𝑏𝑛 𝐵 então 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝐴 𝐵 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝐴 𝐵 𝑘 𝑎𝑛 𝑘 𝑎𝑛 𝑘 𝐴 Proposição 2 Se 𝑎𝑛 for convergente então lim 𝑛 𝑎𝑛 0 Exemplo Calcule as somas a seguir a 3𝑛11 6𝑛1 b 4 2𝑛1 c 3𝑛1 4𝑛5 5 Testes de Convergência 51 Teste da Comparação Sendo 𝑎𝑛e 𝑏𝑛 série de termos não negativos Se 𝑏𝑛 e 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑛 ℕ então 𝑎𝑛 Se 𝑏𝑛 e 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑛 ℕ então 𝑎𝑛 52 Teste da Razão Seja 𝑎𝑛 uma série de termos não negativos e suponha que lim 𝑛 𝑎𝑛1 𝑎𝑛 𝑐 Se 𝑐 1 a série converge Se 𝑐 1 a série diverge Se 𝑐 1 nada podemos concluir 53 Teste da Raiz Seja 𝑎𝑛 uma série de termos não negativos e suponha que lim 𝑛 𝑎𝑛 𝑛 𝑐 Se 𝑐 1 a série converge Se 𝑐 1 a série diverge Se 𝑐 1 nada podemos concluir 54 Séries Absolutamente Convergentes Se 𝑎𝑛 então 𝑎𝑛 55 Teste de Leibniz Se a série alternada 1𝑛1𝑏𝑛 𝑏1 𝑏2 𝑏3 𝑏4 𝑛1 Onde 𝑏𝑛 0 satisfizer 𝑏𝑛1 𝑏𝑛 𝑛 ℕ lim 𝑛 𝑏𝑛 0 Então a série é convergente Exemplos Verifique a convergência das séries abaixo a 1𝑛1 2𝑛1 b 𝑛 𝑛𝑛 c 1𝑛1 𝑛 d 𝑛 2𝑛1 𝑛 e 𝑛2 2𝑛 f 1 2𝑛1 Exercícios de Aprendizagem EA01 Analise se as séries são convergentes ou divergentes a 1 𝑛25 3 b 𝑛 𝑒𝑛 c 𝑛 2𝑛1 𝑛 d 𝑛2 2𝑛 e 1 𝑛 f ln 𝑛 𝑛2 g 1 𝑛1 h 2𝑛2𝑛2 5𝑛33𝑛 i 𝑛 2𝑛 j 2𝑛𝑛1𝑐𝑜𝑠𝑛2 2583𝑛1 k 1𝑛𝑛2 𝑛 𝑠𝑒𝑛 1 3𝑛 i 1𝑛 log 𝑛 𝑛2 EA02 Mostre que 1 𝑛𝑛 1 1 𝑛1 EA03 Considere a série 𝑙𝑜𝑔 1 1 𝑛 𝑛1 Faça o que se pede a Mostre que o limite do termo geral é zero b Mostre que a série é divergente Utilize somas parciais EA04 Mostre que 𝑛 1 𝑛 1 𝑛2 EA05 Se 𝑎𝑛 converge e 𝑎𝑛 0 𝑛 mostre que as séries 𝑎𝑛2 e 𝑎𝑛 1𝑎𝑛 também convergem EA06 Seja 𝑎𝑛 1𝑛 𝑛 Assinale a alternativa FALSA a 𝑎𝑛 é convergente b 𝑎𝑛2 é convergente c lim 𝑛 𝑎𝑛2 log𝑛 0 d 𝑛𝑎𝑛 é divergente e 𝑎𝑛2 log 𝑛 𝑛2 é divergente Exercícios de Aprofundamento ENADE 2017 ENADE 2008