Sequências Numéricas - Introdução, Definições e Limites - Roteiro de Estudo

1 ROTEIRO O4 SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS PARTE I 1 Introdução O estudo de sequências numéricas é essencial porque elas fornecem uma base para entender conceitos mais complexos em cálculo álgebra e análise Por exemplo a noção de limite de uma sequência é a base para definir séries infinitas derivadas e integrais que são fundamentais no cálculo diferencial e integral Além disso as sequências permitem a análise do comportamento de funções e são usadas para provar teoremas importantes na matemática As sequências numéricas são usadas na modelagem de fenômenos físicos como no estudo de sistemas caóticos e na análise de processos estocásticos em probabilidade Em finanças sequências são utilizadas para modelar o valor futuro de investimentos considerando juros compostos por exemplo No campo da biologia sequências aparecem na genética onde a ordem dos nucleotídeos em uma sequência de DNA é crucial para a codificação de proteínas Em resumo as sequências numéricas são uma ferramenta poderosa que serve de ponte entre a teoria matemática e suas inúmeras aplicações práticas Compreender o comportamento das sequências é crucial para resolver problemas complexos em diversas áreas demonstrando a importância desse conceito tanto no estudo acadêmico quanto em aplicações práticas 2 O que é uma sequência Uma sequência numérica 𝑥𝑛 é uma lista infinita de números reais 𝑥𝑛 𝑥1 𝑥2 𝑥3 Onde 𝑥1 ℝ 𝑖 ℕ OBS Podemos entender uma sequência como uma função 𝑥𝑛 ℕ ℝ 𝑛 𝑥𝑛 𝑥𝑛 2 Exemplos 1 𝑥𝑛 𝑛 2𝑛1 2 𝑥𝑛 1 𝑠𝑒 𝑛 é í𝑚𝑝𝑎𝑟 2 𝑛2 𝑠𝑒 𝑛 é 𝑝𝑎𝑟 3 𝑥𝑛 𝑛 Definição Subsequência Seja 𝑥𝑛 uma sequência Uma subsequência 𝑥𝑛𝑘 é um subconjunto infinito de índices 𝑛1 𝑛2 𝑛3 de ℕ definidos a partir da sequência dada tal que 𝑥𝑛𝑘 𝑥𝑛1 𝑥𝑛2 𝑥𝑛3 Exemplo Considere 𝑥𝑛 1𝑛 𝑥2𝑛 𝑥2 𝑥4 𝑥6 1 1 1 𝑥2𝑛1 𝑥1 𝑥3 𝑥5 1 1 1 3 Limite de uma sequência Seja 𝑥𝑛 ℝ uma sequência de números reais Dizemos que 𝐿 ℝ é o limite da sequência 𝑥𝑛 quando 𝑛 tender ao infinito e escrevemos lim 𝑛 𝑥𝑛 𝐿 se e somente se para qualquer 𝜖 0 existir um número 𝑛0 ℕ tal que para todo 𝑛 ℕ tal que 𝑛 𝑛0 então 𝑥𝑛 𝐿 𝜖 Simbolicamente escrevemos lim 𝑛 𝑥𝑛 𝐿 𝜖 0 𝑛0 ℕ 𝑛 𝑛0 𝑥𝑛 𝐿 𝜖 OBS Se uma sequência 𝑥𝑛 tiver um limite dizemos que ela é convergente e converge para o limite Se a sequência não for convergente ela é divergente Notação Se lim 𝑛 𝑥𝑛 𝑎 então dizemos que 𝑥𝑛 𝑎 E esse limite é único Exemplos 1 Mostre que lim 𝑛 𝑛 2𝑛1 1 2 2 Mostre que ln 𝑛 𝑛3 0 3 4 Sequência Limitada Dizemos que uma sequência 𝑥𝑛 é limitada se e somente se ela tiver cotas superiores e inferiores ou seja quando ela for limitada superiormente e inferiormente Ou seja dizemos que 𝑥𝑛 é limitada se 𝑎 𝑏 ℝ 𝑎 𝑥𝑛 𝑏 𝑛 ℕ OBS De forma simplificada dizemos que 𝑥𝑛 é limitada se existir 𝑀 0 tal que 𝑥𝑛 𝑀 𝑛 ℕ Exemplo Mostre que a sequência 𝑥𝑛 1 𝑛 é limitada Proposição Se 𝑥𝑛 é convergente então ela é limitada Demonstração SALA DE AULA Exercícios de Aprendizagem EA01 Sejam 𝑎𝑛 e 𝑏𝑛 tais que 𝑎𝑛 𝑎 e 𝑏𝑛 𝑏 Mostre que a 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑎 𝑏 OBS Cuidado com a escolha do 𝒏𝟎 b 𝑘 𝑎𝑛 𝑘 𝑎 onde 𝑘 ℝ c 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑎 𝑏 com 𝑏 0 e 𝑏𝑛 0 para cada 𝑛 EA02 Teorema do Sanduiche Sejam 𝑥𝑛 𝑦𝑛 e 𝑧𝑛 sequências tais que 𝑥𝑛 𝑦𝑛 𝑧𝑛 𝑛 ℕ Se lim 𝑛 𝑥𝑛 lim 𝑛 𝑧𝑛 𝑎 então lim 𝑛 𝑦𝑛 𝑎 EA03 Use o resultado anterior para provar que cos 𝑛 𝑛 0 EA04 Mostre que 𝑥𝑛 1𝑛 𝑛2 é convergente EA05 Prove por indução que 𝑛2 2𝑛 𝑛 4 Em seguida use isto para provar que a sequência 𝑥𝑛 dada por 𝑥𝑛 𝑛2 4𝑛 é convergente E qual o limite dessa sequência EA06 Seja 𝑥𝑛 uma sequência tal que lim 𝑛 𝑥𝑛 𝑎 Prove que lim 𝑛 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥𝑛 𝑛 𝑎