Problemas de Valor Inicial e de Contorno em Equações Diferenciais

PROBLEMAS DE VALOR INICIAL E PROBLEMAS DE CONTORNO TEOREMA 411 Existência de uma solução única 41 TEORIA PRELIMINAR EQUAÇÕES LINEARES Você deve verificar que a função y 3e2x e2x 3x é uma solução do problema de valor inicial y 4y 12x y0 4 y0 1 A equação diferencial é linear os coeficientes e gx são contínuos e a2x 1 0 sobre todo intervalo I contendo x 0 Concluímos com base no Teorema 411 que a função dada é a única solução em I As exigências no Teorema 411 de que aix i 0 1 2 3 n seja contínua e anx 0 para todo x em I são ambas importantes Especificamente se anx 0 para algum x no intervalo então a solução de um problema de valor inicial linear pode não ser única ou até mesmo não existir Por exemplo você deve observar que a função y cx2 x 3 é uma solução do problema de valor inicial x2y 2xy 2y 6 y0 3 y0 1 no intervalo para qualquer escolha do valor do parâmetro c Em outras palavras não há uma única solução do problema Embora a maior parte das condições do Teorema 411 estejam satisfeitas as dificuldades óbvias são que a2x x2 é zero em x 0 e que as condições iniciais também são todas dadas em x 0 PROBLEMA DE VALOR DE CONTORNO Outro tipo de problema consiste em resolver uma equação diferencial linear de segunda ordem ou superior no qual a variável dependente y e suas derivadas são especificadas em pontos diferentes Um problema tal como Resolver a2xd2ydx2 a1xdydx a0xy gx Sujeita a ya y0 yb y1 é chamado de problema de valor de contorno PVC Os valores prescritos ya y0 e yb y1 são chamados de condições de contorno Uma solução desse problema é uma função que satisfaz a equação diferencial em algum intervalo I contendo α e β cujo gráfico passe pelos dois pontos a y0 e b y1 Veja a Figura 411 Para uma equação diferencial de segunda ordem outros pares de condições de contorno poderiam ser ya y0 yb y1 ya y0 yb y1 ya y0 yb y1 onde y0 e y1 denotam constantes arbitrárias Esses três pares de condições são somente casos particulares de condições de contorno gerais α1ya β1ya y1 α2yb β2yb y2 O exemplo seguinte mostra que mesmo quando as condições do Teorema 411 estiverem satisfeitas um problema de valor de contorno pode ter várias soluções como sugere a Figura 411 uma única solução ou nenhuma solução EXEMPLO 3 Um PVC pode ter muitas uma ou nenhuma solução No Exemplo 4 da Seção 11 vimos que a família de soluções a dois parâmetros da equação diferencial x 16x 0 é x c1 cos 4t c2 sen 4t onde y₀ e y₁ denotam constantes arbitrárias Esses três pares de condições são somente casos particulares de condições de contorno gerais α₁ya β₁ya γ₁ α₂yb β₂yb γ₂ O exemplo seguinte mostra que mesmo quando as condições do Teorema 411 estiverem satisfeitas um problema de valor de contorno pode ter várias soluções como sugere a Figura 411 uma única solução ou nenhuma solução EXEMPLO 3 Um PVC pode ter muitas uma ou nenhuma solução No Exemplo 4 da Seção 11 vimos que a família de soluções a dois parâmetros da equação diferencial x 16x 0 é x c₁ cos 4t c₂ sen 4t 412 EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS Uma equação diferencial linear de ordem n da forma aₙxdⁿydxⁿ aₙ₁xdⁿ¹ydxⁿ¹ a₁xdydx a₀xy 0 é chamada de homogênea enquanto uma equação aₙxdⁿydxⁿ aₙ₁xdⁿ¹ydxⁿ¹ a₁xdydx a₀xy gx com gx não identicamente zero é chamada de não homogênea onde y representa uma função suficientemente diferenciável Expressões polinomiais envolvendo D como D 3 D² 3D 4 e 5x³D³ 6x²D² 4xD 9 são também operadores diferenciais Em geral definimos um operador diferencial de ordem n como L anxDn an1xDn1 a1xD a0x 8 Como consequência das duas propriedades básicas da diferenciação Dαfx βgx αDfx βDgx O operador diferencial L tem a propriedade da linearidade isto é L operando sobre uma combinação linear de duas funções diferenciáveis é o mesmo que uma combinação linear de L operando sobre cada função Em símbolos isso significa que Lαfx βgx αLfx βLgx 9 onde α e β são constantes Por causa de 9 dizemos que o operador diferencial L de ordem n é um operador linear EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Toda equação diferencial linear pode ser expressa em termos da notação D Por exemplo a equação diferencial y 5y 6y 5x 3 pode ser escrita como D²y 5Dy 6y 5x 3 ou D² 5D 6y 5x 3 Usando 8 podemos escrever as equações diferenciais de ordem n 6 e 7 de forma compacta como Ly 0 e Ly gx respectivamente PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO No teorema seguinte veremos que a soma ou superposição de duas ou mais soluções de uma equação diferencial linear homogênea é também uma solução onde y representa uma função suficientemente diferenciável Expressões polinomiais envolvendo D como D 3 D² 3D 4 e 5x³D³ 6x²D² 4xD 9 são também operadores diferenciais Em geral definimos um operador diferencial de ordem n como L anxDn an1xDn1 a1xD a0x 8 Como consequência das duas propriedades básicas da diferenciação Dαfx βgx αDfx βDgx O operador diferencial L tem a propriedade da linearidade isto é L operando sobre uma combinação linear de duas funções diferenciáveis é o mesmo que uma combinação linear de L operando sobre cada função Em símbolos isso significa que Lαfx βgx αLfx βLgx 9 onde α e β são constantes Por causa de 9 dizemos que o operador diferencial L de ordem n é um operador linear EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Toda equação diferencial linear pode ser expressa em termos da notação D Por exemplo a equação diferencial y 5y 6y 5x 3 pode ser escrita como D²y 5Dy 6y 5x 3 ou D² 5D 6y 5x 3 Usando 8 podemos escrever as equações diferenciais de ordem n 6 e 7 de forma compacta como Ly 0 e Ly gx respectivamente PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO No teorema seguinte veremos que a soma ou superposição de duas ou mais soluções de uma equação diferencial linear homogênea é também uma solução THEOREMA 412 Princípio da superposição equações homogêneas Sejam y₁ y₂ yₖ soluções da equação diferencial homogênea de ordem n 6 em um intervalo I Então a combinação linear y c₁y₁x c₂y₂x cₖyₖx onde cᵢ i 1 2 3 k são constantes arbitrárias é também uma solução no intervalo PROVA Vamos provar o caso k 2 Seja L o operador diferencial definido em 8 e sejam y₁x e y₂x soluções da equação homogênea Ly 0 Se definirmos y c₁y₁x c₂y₂x então pela linearidade de L temos Ly Lc₁y₁x c₂y₂x c₁Ly₁ c₂Ly₂ c₁0 c₂0 0 COROLÁRIOS DO THEOREMA 412 A Um múltiplo constante y c₁y₁x de uma solução y₁x de uma equação diferencial homogênea é também uma solução B Uma equação diferencial linear homogênea sempre tem a solução trivial y 0 EXEMPLO 4 Superposição ED homogênea As funções y₁ x² e y₂ x² ln x são ambas soluções da equação linear homogênea x³y 2xy 4y 0 no intervalo 0 Pelo princípio da superposição a combinação linear y c₁x² c₂x² ln x é também uma solução da equação no intervalo TEOREMA 412 Princípio da superposição equações homogêneas Sejam y1 y2 yk soluções da equação diferencial homogênea de ordem n 6 em um intervalo I Então a combinação linear y c1y1x c2y2x ckykx onde ci i 1 2 3 k são constantes arbitrárias é também uma solução no intervalo PROVA Vamos provar o caso k 2 Seja L o operador diferencial definido em 8 e sejam y1x e y2x soluções da equação homogênea Ly 0 Se definirmos y c1y1x c2y2x então pela linearidade de L temos Ly Lc1y1x c2y2x c1Ly1 c2Ly2 c1 0 c2 0 0 COROLÁRIOS DO TEOREMA 412 A Um múltiplo constante y c1y1x de uma solução y1x de uma equação diferencial homogênea é também uma solução B Uma equação diferencial linear homogênea sempre tem a solução trivial y 0 EXEMPLO 4 Superposição ED homogênea As funções y1 x2 e y2 x2ln x são ambas soluções da equação linear homogênea x3y 2xy 4y 0 no intervalo 0 Pelo princípio da superposição a combinação linear y c1x2 c2x2ln x é também uma solução da equação no intervalo A função y e7x é uma solução de y 9y 14y 0 Como a equação diferencial é linear e homogênea o múltiplo constante y ce7x é também uma solução Para vários valores de c vemos que y 9e7x y 0 y 5e7x são todas soluções da equação DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR Os dois conceitos a seguir são básicos no estudo de equações diferenciais lineares DEFINIÇÃO 411 DependênciaIndependência linear Um conjunto de funções f1x f2x fnx será chamado de linearmente dependente em um intervalo I se houver constantes c1 c2 cn não todas nulas de forma que c1f1x c2f2x cnfnx 0 para todo x no intervalo Se o conjunto de funções não for linearmente dependente no intervalo será chamado de linearmente independente Em outras palavras um conjunto de funções é linearmente independente em um intervalo I se as únicas constantes para as quais c1f1x c2f2x cnfnx 0 para todo x no intervalo forem c1 c2 cn 0 É fácil entender essas definições para um conjunto que consiste em duas funções f1x e f2x Se o conjunto de funções for linearmente dependente em um intervalo há constantes c1 e c2 que não são ambas nulas de forma que para todo x no intervalo c1f1x c2f2x 0 Portanto se supormos que c1 0 segue que f1x c2c1f2x isto é se um conjunto de duas funções for linearmente dependente então uma função será simplesmente um múltiplo constante da outra Inversamente se f1x c2f2x para alguma constante c2 então 1f1x c2f2x 0 para todo x no intervalo Logo o conjunto de funções é linearmente dependente pois pelo menos uma das constantes isto é c1 1 não é zero Concluímos que um conjunto de funções f1x e f2x é linearmente independente em um intervalo uma vez que f1x sen 2x f2x sen x cos x é linearmente dependente em uma vez que f1x é um múltiplo constante de f2x Lembrese da fórmula do dobro para o seno 2x 2 sen x cos x Entretanto o conjunto de funções f1x x f2x x é linearmente independente em Uma análise da Figura 413 deve convencêlo de que nenhuma das funções é um múltiplo constante da outra no intervalo FIGURA 413 Conjunto de f1 e f2 é linearmente independente no intervalo EXEMPLO 5 Conjunto de funções linearmente dependentes O conjunto de funções f1x cos² x f2x sen² x f3x sec² x e f4x tg² x é linearmente dependente no intervalo π2 π2 pois c1 cos² x c2 sen² x c3 sec² x c4 tg² x 0 onde c1 c2 1 c3 1 e c4 1 Usamos aqui cos² x sen² x 1 e tg² x sec² x Um conjunto de funções f1x f2x fnx será linearmente dependente em um intervalo se pelo menos uma função puder ser expressa como uma combinação linear das funções remanescentes EXEMPLO 6 Conjunto de funções linearmente dependentes O conjunto de funções f1x x 5 f2x x 5x f3x x 1 f4x x² é linearmente dependente no intervalo 0 pois f2 pode ser escrito como uma combinação linear de f1 f3 e f4 Observe que f2x 1 f1x 5 f3x 0 f4x para todo x no intervalo 0 SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Estamos interessados primordialmente em funções linearmente independentes ou mais propriamente em soluções linearmente independentes de uma equação diferencial linear Embora pudéssemos sempre apelar diretamente para a Definição 411 a questão de se o conjunto de n soluções y1 y2 yn de uma equação diferencial linear homogênea 6 de ordem n é linearmente independente pode ser resolvida de uma forma mais ou menos mecânica usando um determinante Da mesma forma que todo vetor no espaço tridimensional pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores linearmente independentes i j k toda solução de uma equação diferencial linear homogênea de ordem n em um intervalo I pode ser expressa como uma combinação linear de n soluções linearmente independentes em I Em outras palavras n soluções linearmente independentes y₁ y₂ yₙ constituem os tijolos para a construção da solução geral da equação PROVA Seja Y uma solução e y₁ e y₂ soluções linearmente independentes de a₂y a₁y a₀y 0 em um intervalo I Suponha que x t seja um ponto em I para o qual Wy₁t y₂t 0 Suponha também que Yt k₁ e Yt k₂ Se examinarmos agora as equações C₁y₁t C₂y₂t k₁ C₁y₁t C₂y₂t k₂ poderemos determinar unicamente C₁ e C₂ desde que o determinante dos coeficientes satisfaça y₁t y₂t y₁t y₂t 0 EXEMPLO 7 Solução geral de uma ED homogênea As funções y₁ e³ˣ e y₂ e³ˣ são ambas soluções da equação linear homogênea y 9y 0 no intervalo Por inspeção vemos que as soluções são linearmente independentes sobre o eixo x Esse fato pode ser corroborado observando que o wronskiano We³ˣ e³ˣ e³ˣ e³ˣ 6 0 para todo x Concluímos que y₁ e y₂ formam um conjunto fundamental de soluções e consequentemente y c₁e³ˣ c₂e³ˣ é a solução geral da equação no intervalo EXEMPLO 8 Solução obtida com base na solução geral A função y 4 sinh 3x 5e3x é uma solução da equação diferencial do Exemplo 7 Verifique isso Em vista do Teorema 415 devemos ser capazes de obter essa solução com base na solução geral y c1e3x c2e3x Observe que se escolhermos c1 2 e c2 7 então y 2e3x 7e3x poderá ser reescrita como y 2e3x 7e3x 4 e3x e3x2 5e3x Essa última expressão é reconhecida como y 4 sinh 3x 5e3x EXEMPLO 9 Solução geral de uma ED homogênea As funções y1 ex y2 e2x e y3 e3x satisfazem a equação de terceira ordem y 6y 11y 6y 0 Como Wex e2x e3x ex e2x e3x ex e2x 2ex 3e2x e2x 4ex 9e2x 2e6x 0 para todo valor real de x as funções y1 y2 e y3 formam um conjunto fundamental de soluções em Concluímos que y c1ex c2e2x c3e3x é a solução geral da equação no intervalo 413 EQUAÇÕES NÃO HOMOGÊNEAS Toda função yp livre de parâmetros arbitrários que satisfaz 7 é chamada de solução particular ou integral particular da equação Por exemplo uma tarefa simples mostrar que a função constante yp 3 é uma solução particular da equação não homogênea y 9y 27 Se y1 y2 yk forem soluções de 6 em um intervalo I e se yp for uma solução particular de 7 em I então a combinação linear y c1y1x c2y2x ck ykx yp é também uma solução da equação não homogênea 7 Se você pensar um pouco isso faz sentido pois a combinação linear c1y1x c2y2x ck ykx é transformada em zero pelo operador L an Dn an1 Dn1 a1 D a0 enquanto yp é transformada em gx Se usamos k n soluções linearmente independentes da equação de ordem n 6 então a expressão em 10 tornase a solução geral de 7 TEOREMA 416 Solução geral Equações não homogêneas Seja yp uma solução particular qualgar da equação diferencial linear não homogênea de ordem n 7 em um intervalo I e seja y1y2 yn um conjunto fundamental de soluções da equação diferencial homogênea associada a 6 em I Então a solução geral da equação no intervalo é y c1y1x c2y2x cnynx yp onde ci i 12 n são constantes arbitrárias PROVA Seja L o operador diferencial definido em 8 e sejam Yx e ypx soluções particulares da equação não homogênea Ly gx Se definirmos ux Yx ypx então pela linearidade de L temos Lu LYx yp LYx Lyp gx gx 0 Isso mostra que ux é uma solução da equação homogênea Ly 0 Logo pelo Teorema 415 ux c1y1x c2y2x cnynx e portanto Yx ypx c1y1x c2y2x cnynx ou Yx c1y1x c2y2x cnynx ypx FUNÇÃO COMPLEMENTAR Vimos no Teorema 416 que a solução geral de uma equação linear não homogênea consiste na soma de duas funções y c1y1x c2y2x cnynx ypx ycx ypx A combinação linear ycx c1y1x c2y2x cnynx que é a solução geral de 6 é chamada de função complementar da Equação 7 Em outras palavras para resolver uma equação diferencial linear não homogênea primeiramente resolvemos a equação homogênea correspondente e então encontramos uma solução particular da equação não homogênea A solução da equação não homogênea é então y função complementar qualquer solução particular yc yp EXEMPLO 10 Solução geral de uma ED não homogênea Por substituição mostramos prontamente que a função yp frac1112 frac12x é uma solução particular da equação y 6y 11y 6y 3x Para escrever a solução geral de 11 precisamos também resolver a equação homogênea associada y 6y 11y 6y 0 Porém no Exemplo 9 vimos que a solução geral dessa última equação no intervalo infty infty era yc c1ex c2e2x c3e3x Logo a solução de 11 nesse intervalo é y yc yp c1ex c2e2x c3e3x frac1112 frac12x OUTRO PRINCÍPIO DE SUPERPOSIÇÃO O último teorema dessa discussão será útil na Seção 44 quando consideramos um método para encontrar soluções particulares de equações não homogêneas TEOREMA 417 Princípio de superposição Equações não homogêneas Sejam yp1 yp2 ldots ypk k soluções particulares da equação diferencial linear não homogênea de ordem n 7 em um intervalo I correspondente por sua vez a k funções distintas g1 g2 ldots gk Isto é suponha que ypi denote uma solução particular da equação diferencial correspondente anxyn an1xyn1 ldots a1xy a0xy gix onde i 1 2 ldots k Então yp yp1x yp2x ldots ypkx é uma solução particular de anxyn an1xyn1 ldots a1xy a0xy g1x g2x ldots gkx PROVA Vamos provar no caso k 2 Seja L o operador diferencial definido em 8 e sejam yp1x e yp2x soluções particulares da equação não homogênea Ly g1x e Ly g2x respectivamente Se definirmos yp yp1x yp2x vamos querer mostrar que yp é uma solução particular de Ly g1x g2x O resultado segue novamente pela linearidade do operador L Lyp Lyp1x yp2x Lyp1x Lyp2x g1x g2x EXEMPLO 11 Superposição ED não homogênea Você deve verificar que yp1 4x2 é uma solução particular de y 3y 4y 16x2 24x 8 yp2 e2x é uma solução particular de y 3y 4y 2e2x yp3 xex é uma solução particular de y 3y 4y 2xex ex Segue de 13 do Teorema 417 que a superposição de yp1 yp2 e yp3 y yp1 yp2 yp3 4x2 e2x xex é uma solução de y 3y 4y 16x2 24x 8 2e2x ex NOTA Se os ypi forem soluções particulares de 12 para i 1 2 k então a combinação linear yp c1yp1 c2yp2 ckypk onde os ci são constantes será também uma solução particular de 14 quando o segundo membro da equação for a combinação linear c1g1x c2g2x ckgkx Antes de realmente começarmos a resolver equações diferenciais lineares homogêneas e não homogêneas precisamos de um pouco mais da teoria que será apresentada na próxima seção 42 REDUÇÃO DE ORDEM ASSUNTOS ANALISADOS Seção 25 Soluções por substituição Seção 41 INTRODUÇÃO Na seção anterior vimos que a solução geral de uma equação diferencial linear de segunda ordem homogênea a2xy a1xy a0xy 0 1 é uma combinação linear y c1y1 c2y2 em que y1 e y2 são soluções que constituem um conjunto linearmente independente em algum intervalo I REDUÇÃO DE ORDEM Suponha que y1 denote uma solução não trivial da equação 1 e que esteja definida em um intervalo I Procuramos uma segunda solução y2 de tal forma que o conjunto y1 y2 seja linearmente independente em I Lembrese da Seção 41 de que se y1 e y2 forem linearmente independentes seu quociente y2y1 não será constante em I isto é y2xy1x ux ou y2x uxy1x A função ux pode ser encontrada substituindose y2x uxy1x na equação diferencial dada Esse método é denominado redução de ordem pois precisamos resolver uma equação diferencial linear de primeira ordem para encontrar u EXEMPLO 1 Uma segunda solução por redução de ordem Dado que y1 ex é uma solução de y y 0 no intervalo reduz a ordem para encontrar uma segunda solução y2 SOLUÇÃO Se y uxy1x uxex então a fórmula de derivação do produto nos dá y uex exu y uex 2exu exu y y exu 2u 0 Como ex 0 a última equação requer u 2u 0 Se fizermos a substituição w u a equação linear de segunda ordem em u vai tornarse w 2w 0 que é uma equação linear de primeira ordem em w Usando o fator integrante e2x podemos escrever ddxe2xw 0 Depois de integrar obtemos w c1e2x c2 Assim y uxex fracc12ex c2ex Tomando c2 0 e c1 2 obtemos a segunda solução desejada y2 ex Como Wex ex 0 para todo x as soluções são linearmente independentes em Uma vez que mostramos que y1 ex e y2 ex são soluções linearmente independentes de uma equação linear de segunda ordem a expressão em 2 é na realidade a solução geral de y y 0 em CASO GERAL Vamos supor que dividamos por a2x a fim de colocar a equação 1 na forma padrão y Pxy Qxy 0 onde Px e Qx são contínuas em algum intervalo I Vamos supor além disso que y1x seja uma solução conhecida de 3 em I e que y1x 0 para todo x no intervalo Se definirmos y uxy1x segue que y uy1 y1u y uy1 2y1u y1u Isso implica que devemos ter y1u 2y1 Py1u 0 ou y1w 2y1 Py1w 0 onde fizemos w u Observe que a última equação em 4 é tanto linear quanto separável Separando variáveis e integrando obtemos ln w y12 Pdx c ou w y12 c1e Pdx Vamos resolver a última equação para obter w usar w u e integrar novamente u c1 e P dxy12 dx c2 Escolhendo c1 1 e c2 0 encontramos com base em y uxy1x que uma segunda solução da Equação 3 é y2 y1x e Px dxy12x dx Verificar que a função y2x definida em 5 satisfaz a Equação 3 e que y1 e y2 são linearmente independentes em todo intervalo no qual y1x não é zero é uma boa revisão de diferenciação EXEMPLO 2 Uma segunda solução por meio da Fórmula 5 A função y1 x2 é uma solução de x2y 3xy 4y 0 Ache a solução geral da equação diferencial no intervalo 0 SOLUÇÃO Da forma padrão da equação encontramos de 5 que A solução geral em 0 é dada por y c₁y₁ c₂y₂ isto é y c₁x² c₂x² ln x OBSERVAÇÕES i A dedução e o uso da fórmula 5 foram ilustrados aqui pois essa fórmula aparece novamente na próxima seção e nas Seções 47 e 63 Usamos 5 simplesmente para poupar tempo na obtenção do resultado desejado Seu professor vai instruílo se é necessário memorizar ou saber os princípios de redução de ordem ii A redução de ordem pode ser usada para encontrar a solução geral de uma equação não homogênea a₂xy a₁xy a₀xy gx sempre que uma solução y₁ da equação homogênea associada for conhecida Veja os Problemas 17 a 20 nos Exercícios 42 43 EQUAÇÕES LINEARES HOMOGÊNEAS COM COEFICIENTES CONSTANTES ASSUNTOS ANALISADOS Reveja o Problema 27 nos Exercícios 11 e o Teorema 415 Revise a álgebra de resolução de equações polinomiais INTRODUÇÃO Como forma de motivar a discussão nesta seção vamos retornar às equações diferenciais de primeira ordem mais especificamente equações lineares homogêneas ay by 0 em que os coeficientes a 0 e b são constantes Esse tipo de equação pode ser resolvida por separação de variáveis ou com auxílio de um fator de integração mas há outro método de solução um que utiliza apenas álgebra Antes de ilustrar esse método alternativo fazemos uma observação resolver ay by 0 para y resulta em y ky em que k é uma constante Essa observação revela a natureza da solução desconhecida y a única função não trivial elemento cuja derivada é um múltiplo constante de si mesmo é uma função exponencial emx Agora o novo método de solução se substituirmos y emx em ay by 0 obtemos amemx bemx 0 ou emxam b 0 Como emx nunca é zero para valores reais de x a última equação é satisfeita somente quando m é uma solução ou raiz da equação polinomial de primeiro grau am b 0 Para esse valor único de m y emx é uma solução da ED Para ilustrar considere a equação 2y 5y 0 de coeficientes constantes Não é necessário realizar a diferenciação e substituição do y emx na ED temos somente que resolver a equação 2m 5 0 e resolvêla para m De m 52 concluímos que y c₁e52x Nesta seção veremos que o procedimento acima pode produzir soluções EDs lineares homogêneas de ordens altas aₙyⁿ aₙ₁yⁿ¹ a₂y² a₁y a₀y 0 1 onde os coeficientes aᵢ i 0 1 n são constantes reais e aₙ 0 EQUAÇÃO AUXILIAR Primeiramente consideremos o caso particular da equação de segunda ordem ay by cy 0 2 onde a b e c são constantes Se tentarmos encontrar uma solução da forma y emx então após a substituição de y memx e y m²emx a equação 2 tornase am²emx bmemx cemx 0 ou emxam² bm c 0 Como na introdução argumentamos que devido a emx 0 para qualquer x é evidente que a única maneira de y emx poder satisfazer a equação diferencial 2 é quando m é escolhido como uma raiz da equação quadrática am² bm c 0 3 Essa última equação é chamada de equação auxiliar da equação diferencial 2 Uma vez que as duas raízes de 3 são m₁ b b² 4ac2a e m₂ b b² 4ac2a temos três formas da solução geral de 2 cada uma correspondente a um dos três casos m₁ e m₂ são reais e distintas b² 4ac 0 m₁ e m₂ são reais e iguais b² 4ac 0 e m₁ e m₂ são números complexos conjugados b² 4ac 0 Vamos discutir cada um desses casos CASO I RAÍZES REAIS E DISTINTAS Sob a hipótese de que a equação auxiliar 3 tenha duas raízes distintas m1 e m2 encontramos duas soluções y1 em1x e y2 em2x Vemos que essas funções são linearmente independentes em e portanto formam um conjunto fundamental Segue então que a solução geral de 2 nesse intervalo é y c1e m1x c2e m2x 4 CASO II RAÍZES REAIS REPETIDAS Quando m1 m2 temos necessariamente uma única solução exponencial y1 em1x Da fórmula de resolução da equação quadrática obtemos que m1 b2a já que a única maneira de termos m1 m2 é b2 4ac 0 De 5 na Seção 42 segue que uma segunda solução da equação é y2 em1x e2m1x e2m1x dx em1x dx xem1x Em 5 usamos o fato de que ba 2m1 A solução geral é então y c1e m1x c2xe m1x 6 Mas e Logo do Corolário A do Teorema 412 os dois últimos resultados mostram que eαx cos βx e eαx sen βx são soluções reais de 2 Além disso essas soluções formam um sistema fundamental em Consequentemente a solução geral é y c1e αx cos βx c2e αx sen βx eαxc1 cos βx c2 sen βx 8 EXEMPLO 1 EDs de segunda ord em Resolva as seguintes equações diferenciais a 2y 5y 3y 0 b y 10y 25y 0 c y 4y 7y 0 SOLUÇÃO Vamos dar as equações auxiliares as raízes e as soluções gerais correspondentes a 2m² 5m 3 2m 1m 3 m₁ 12 m₂ 3 De 4 y c₁ex2 c₂e3x b m² 10m 25 m 5² m₁ m₂ 5 De 6 y c₁e5x c₂xe5x c m² 4m 7 0 m₁ 2 3i m₂ 2 3i De 8 com α 2 β 3 y e2xc₁ cos 3x c₂ sen 3x EXEMPLO 2 Um problema de valor inicial Resolva 4y 4y 17y 0 y0 1 y0 2 SOLUÇÃO Pela fórmula de resolução da equação quadrática encontramos que as raízes da equação auxiliar 4m² 4m 17 0 são m₁ 12 2i e m₂ 12 2i Assim de 8 temos y ex2c₁ cos 2x c₂ sen 2x Aplicando a condição y0 1 vemos de e0c₁ cos 0 c₂ sen 0 1 que c₁ 1 Diferenciando y ex2cos 2x c₂ sen 2x obtemos 2c₂ 12 0 ou c₂ 14 Logo a solução do PVI é y ex2cos 2x 14sen 2x Na Figura 431 vemos que a solução é oscilatória mas y 0 quando x θ EQUAÇÕES DE ORDEM SUPERIOR Em geral para resolver uma equação diferencial de ordem n1 onde os ai i 01 n são constantes reais precisamos resolver uma equação polinomial de grau n a₀mⁿ a₁mⁿ¹ an 0 Se todas as raízes de 12 forem reais e distintas então a solução geral de 1 será y c₁em₁x c₂em₂x cₖemₖx É um pouco mais difícil resumir os análogos dos casos II e III pois as raízes de uma equação auxiliar de grau superior a 2 podem ocorrer de várias formas Por exemplo uma equação de quinto grau pode ter cinco raízes reais distintas três raízes reais distintas e duas raízes complexas uma raiz real e quatro raízes complexas cinco raízes reais iguais ou cinco raízes reais mas duas das quais iguais e assim por diante Quando m₁ é uma raiz de multiplicidade k de uma equação auxiliar de grau n isto é k raízes são iguais a m₁ podemos mostrar que as soluções linearmente independentes são e a solução geral deve conter a combinação linear C₁em₁x C₂em₂x Cₖemₖx Finalmente deve ser lembrado que se os coeficientes forem reais raízes complexas da equação auxiliar aparecerão sempre em pares conjugados Assim uma equação polinomial cúbica por exemplo pode ter no máximo duas raízes complexas EXEMPLO 3 ED de terceira ordem EXEMPLO 4 ED de quarta ordem concluímos com a ajuda da fórmula de Euler que a solução geral da equação diferencial correspondente deve conter uma combinação linear de 2k soluções reais linearmente independentes USO DE COMPUTADORES Achar raízes ou aproximações de raízes de equações auxiliares tornase uma tarefa fácil quando uma calculadora apropriada ou software é utilizada Equações polinomiais de uma variável de grau inferior a cinco podem ser resolvidas por meio de fórmulas algébricas usando comandos dos programas Mathematica e Maple Para equações auxiliares de grau cinco ou superior pode ser necessário recorrer a comandos numéricos como NSolve e FindRoot no Mathematica Devido à sua capacidade de resolver equações polinomiais não é de se estranhar que esses sistemas de álgebra computacional também são capazes por meio de seus comandos solve de fornecer soluções explícitas de equações diferenciais lineares homogêneas de coeficientes constantes No texto clássico de Equações Diferenciais de Ralph Palmer Agnew usado pelo autor quando era estudante a declaração feita é a seguinte Não é razoável esperar que os alunos deste curso tenham habilidades em informática e equipamentos necessários para resolver eficientemente equações como 4317 d4ydx4 2179 d3ydx3 1416 d2ydx2 1295 dydx 3169y 0 13 Embora seja duvidoso que a habilidade em computação tenha melhorado nos últimos anos é certo que a tecnologia o fez Para alguém que tenha acesso a um SAC a Equação 13 poderia ser considerada razoável Depois de simplificar e renomear os resultados o Mathematica fornece a solução geral aproximada y c1e0728852x cos0618605x c2e0728852x sen0618605x c3e0476478x cos0759081x c4e0476478x sen0759081x Finalmente se tivermos de encarar um problema de valor inicial consistindo em digamos uma equação de quarta ordem e depois ajustar a solução geral da ED a quatro condições iniciais precisamos resolver um sistema de quatro equações lineares em quatro incógnitas c1 c2 c3 c4 na solução geral Usando um SAC para resolver esse sistema podemos ganhar muito tempo Veja os Problemas 69 e 70 nos Exercícios 43 e o Problema 41 na Revisão do Capítulo 4