Modelagem com Equações Diferenciais e Crescimento Populacional

1 Modelagem com Equações Diferenciais O modelo matemático frequentemente tem a forma de uma equação diferencial isto é uma equação que contém uma função desconhecida e algumas de suas derivadas Isso não surpreende porque em um problema real normalmente notamos que mudanças ocorrem e queremos predizer o comportamento futuro com base na maneira como os valores presentes variam Vamos começar examinando vários exemplos de como as equações diferenciais aparecem quando modelamos um fenômeno físico 2 Modelos para o Crescimento Populacional 3 Modelos para o Crescimento Populacional Um dos modelos para o crescimento de uma população baseiase na hipótese de que uma população cresce a uma taxa proporcional ao seu tamanho Essa hipótese é razoável para uma população de bactérias ou animais em condições ideais meio ambiente ilimitado nutrição adequada ausência de predadores imunidade a doenças Vamos identificar e dar nomes às variáveis nesse modelo t tempo a variável independente P número de indivíduos da população a variável dependente 4 Modelos para o Crescimento Populacional A taxa de crescimento da população é a derivada dPdt Assim nossa hipótese de que a taxa de crescimento da população é proporcional ao tamanho da população é escrita como a equação onde k é a constante de proporcionalidade A Equação 1 é nosso primeiro modelo para o crescimento populacional é uma equação diferencial porque contém uma função desconhecida P e sua derivada dPdt 5 Modelos para o Crescimento Populacional Tendo formulado um modelo vamos olhar para suas consequências Se desconsiderarmos uma população nula então Pt 0 para todo t Portanto se k 0então Equação 1 mostra que Pt 0 para todo t Isso significa que a população está sempre aumentando De fato quando Pt aumenta a Equação 1 mostra que dPdt tornase maior Em outras palavras a taxa de crescimento aumenta quando a população cresce Não é difícil pensar em uma solução para a Equação 1 Esta equação nos pede para encontrar uma função cuja derivada seja uma constante multiplicada por ela própria 6 Modelos para o Crescimento Populacional Sabemos que as funções exponenciais têm esta propriedade De fato se fizermos Pt Cekt então Pt Ckekt kCekt kPt Portanto qualquer função exponencial da forma Pt Cekt é uma solução da Equação1 Se fizermos C variar em todos os números reais obtemos a família de soluções Pt Cekt cujos gráficos são mostrados na Figura 1 Figura 1 A família de soluções de dPdt kP 7 Modelos para o Crescimento Populacional Mas as populações têm apenas valores positivos e assim estamos interessados somente nas soluções com C 0 E estamos provavelmente preocupados apenas com valores de t maior que o tempo inicial t 0 A Figura 2 mostra as soluções com significado físico Figura 2 A família de soluções de Pt Ce kt com C 0 e t 0 8 Modelos para o Crescimento Populacional Fazendo t 0 temos P0 Cek0 C de modo que a constante C acaba sendo a população inicial P0 A Equação 1 é apropriada para a modelagem do crescimento populacional sob condições ideais mas devemos reconhecer que um modelo mais realista deveria refletir o fato de que um dado ambiente tem recursos limitados Muitas populações começam crescendo exponencialmente porém o nível da população se estabiliza quando ela se aproxima de sua capacidade de suporte M ou diminui em direção a M se ela excede o valor de M 9 Modelos para o Crescimento Populacional Para um modelo considerar ambos os casos fazemos duas hipóteses se P for pequeno inicialmente a taxa de crescimento é proporcional a P se P M P diminui se exceder M Uma expressão simples que incorpora ambas as hipóteses é dada pela equação 10 10 Modelos para o Crescimento Populacional Observe que se P é pequeno quando comparado com M então PM está próximo de 0 e portanto dPdt kP Se P M então 1 PM é negativo e assim dPdt 0 A Equação 2 é chamada equação diferencial logística e foi proposta pelo matemático e biólogo holandês PierreFrançois Verhulst na década de 1840 como um modelo para o crescimento populacional mundial Primeiro observamos que as funções constantes Pt 0 e Pt M são soluções porque em qualquer um dos casos um dos fatores do lado direito da Equação 2 é zero Essas duas soluções constantes são chamadas soluções de equilíbrio 11 11 Modelos para o Crescimento Populacional Se a população inicial P0 estiver entre 0 e M então o lado direito da Equação 2 é positivo assim dPdt 0 e a população aumenta Mas se a população exceder a capacidade de suporte P M então 1 PM é negativo portanto dPdt 0 e a população diminui Observe que em qualquer um dos casos se a população se aproxima da capacidade de suporte P M então dPdt 0 o que significa que a população se estabiliza 12 12 Modelos para o Crescimento Populacional Dessa forma esperamos que as soluções da equação diferencial logística tenham gráficos que se pareçam com aqueles da Figura 3 Observe que os gráficos se distanciam da solução de equilíbrio P 0 e se aproximam da solução de equilíbrio P M Figura 3 Soluções da equação logística 13 13 Modelo para o Movimento de uma Mola 14 14 Modelo para o Movimento de uma Mola Vamos olhar agora para um modelo físico Consideremos o movimento de um objeto com massa m na extremidade de uma mola vertical como na Figura 4 Figura 4 15 15 Modelo para o Movimento de uma Mola Discutimos a Lei de Hooke que diz que se uma mola for esticada ou comprimida x unidades a partir de seu tamanho natural então ela exerce uma força que é proporcional a x força elástica kx onde k é uma constante positiva chamada constante da mola Se ignorarmos qualquer força externa de resistência por causa da resistência do ar ou do atrito então pela segunda Lei de Newton força é igual a massa vezes aceleração temos 16 16 Modelo para o Movimento de uma Mola Esse é um exemplo do que chamamos equação diferencial de segunda ordem porque envolve derivadas segundas Vamos ver o que podemos deduzir da solução diretamente da equação Podemos reescrever a Equação 3 na forma que diz que a derivada segunda de x é proporcional a x mas tem o sinal oposto Equações Diferenciais Gerais 18 18 Equações Diferenciais Gerais Em geral uma equação diferencial é aquela que contém uma função desconhecida e uma ou mais de suas derivadas A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada mais alta que ocorre na equação Dessa maneira as Equações 1 e 2 são de primeira ordem e a Equação 3 é de segunda ordem Em todas as três equações a variável independente é chamada t e representa o tempo mas em geral a variável independente não precisa representar o tempo 19 19 Equações Diferenciais Gerais Por exemplo quando consideramos a equação diferencial y xy entendemos que y seja uma função desconhecida de x Uma função f é denominada solução de uma equação diferencial se a equação é satisfeita quando y fx e suas derivadas são substituídas na equação Assim f é uma solução da Equação 4 se fx xfx para todos os valores de x em algum intervalo 20 20 Equações Diferenciais Gerais Quando nos pedem para resolver uma equação diferencial esperase que encontremos todas as soluções possíveis da equação Já resolvemos algumas equações diferenciais particularmente simples a saber aquelas da forma y fx Por exemplo sabemos que a solução geral da equação diferencial y x3 é dada por onde C é uma constante qualquer 21 21 Exemplo 1 Mostre que todo membro da família de funções é uma solução da equação diferencial 22 22 Exemplo 1 Solução Usamos a Regra do Quociente para derivar a expressão em relação a y 23 23 Exemplo 1 Solução O lado direito da equação diferencial tornase Portanto para todo valor de c a função dada é solução da equação diferencial continuação 24 24 Equações Diferenciais Gerais Quando aplicamos as equações diferenciais geralmente não estamos tão interessados em encontrar uma família de soluções a solução geral quanto em encontrar uma solução que satisfaça algumas condições adicionais Em muitos problemas físicos precisamos encontrar uma solução particular que satisfaça uma condição do tipo yt0 y0 Esta é chamada condição inicial e o problema de achar uma solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial é denominado problema de valor inicial