Lista de Exercícios Resolvidos Calculo 3 - Diferenciabilidade e Aplicações

Universidade Federal de Alagoas Centro de Engenharias e Ciências Agrárias Disciplina Cálculo III 20241 Professor Valter Moitinho EXERCÍCIOS DE DIFERENCIABILIDADE E APLICAÇÕES Questão 1 Determine as derivadas parciais a z x² ln1 x² y² b z arctgxy Questão 2 Determine fx e fy sendo fxy x y⁴x² y² se xy 00 0 se xy 00 Questão 3 Verifique que a função fxy x⁴ y³ é diferenciável Questão 4 Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada no ponto dado a fxy 3x³y xy em 1 1 f11 b fxy arctgx 2y em 2 12 f2 12 Questão 5 Determine o plano que passa pelos pontos 112 e 111 e que seja tangente ao gráfico de fxy xy Questão 6 Determine o plano que seja paralelo ao plano z 2x y e tangente ao gráfico de fxy x² y² Questão 7 A energia consumida num resistor elétrico é dada por P V²R watts Se V 100 volts e R 10 ohms calcule um valor aproximado para a variação ΔP em P quando V decresce 02 volt e R aumenta de 001 ohm Questão 8 Calcule f a fxy x²y b fxy ex² y² c fxyz x² y² z² d fxyz z arcsenxy Questão 9 Calcule dzdt ou dwdt a z 1 x² y² x ln t y cos t b z arctgyx x et y 1 et c w x eyz x t² y 1 t z 1 2t d w ln x² y² z² x sen t y cos t z tg t Questão 10 Calcule zt e zs a z x²y³ x s cos t y s sen t b z arcsenx y x s² t² y 1 2st c z sen θ cos φ θ st² φ s² t d z ex2y x st y ts Questão 11 Mostre que cada uma das equações seguintes define implicitamente pelo menos uma função diferenciável y yx Expresse dydx em termos de x e y a x²y sen y x b y⁴ x²y² x⁴ 3 Questão 12 Determine uma reta que seja tangente à curva x² xy y² 7 e paralela à reta 4x 5y 17 Questão 13 Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície dada no ponto dado a x² 3y² 4z² 8 em 1 1 1 b z exy z³ 2 em 2 2 1 Questão 14 Determine um plano que seja tangente à superfície x² 3y² 2z² 116 e paralelo ao plano x y z 10 Questão 15 Calcule fu x₀ y₀ sendo dados a fxy x² 3y² x₀ y₀ 1 2 e u é o versor de 2i j b fxy ex² y² x₀ y₀ 1 1 e u o versor de 3 4 Questão 16 Seja fxy xy Determine uma parametrização para a trajetória descrita por um ponto P que se desloca a partir do ponto 1 2 sempre na direção e sentido de máximo crescimento de f Questao 17 Seja fx y xy Determine a reta tangente ao grafico de f no ponto 1 2 f1 2 que forma com o plano xy ˆangulo maximo Questao 18 Calcule f u0 0 onde f e a funcao dada por fx y x3 x2 y2 se x y 0 0 e f0 0 0 Questao 19 Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem a fx y x3y2 b fx y ex2y2 Questao 20 Seja fx y xyx2 y2 x2 y2 se x y 0 0 0 sex y 0 0 Calcule 2f xy0 0 e 2f yx0 0 Questao 21 Estude com relacao a maximos e mınimos locais a fx y x2 3xy 4y2 6x 2y b fx y x2 y2 2xy 4x 2y c fx y 1 x2 1 y xy x 0 e y 0 Questao 22 Determine o ponto do plano x 2y z 4 que se encontra mais proximo da origem Questao 23 Estude a funcao dada com relacao a maximo e mınimo no conjunto dado a fx y y2 x2emA x y R2 x2 y2 4 b fx y x2 2xy 2y2emA x y R2x y 1 Questao 24 Determine x y com x2 4y2 1 que maximiza a soma 2x y Questao 25 Suponha que Tx y 4 x2 y2 represente uma distribuicao de temper atura no plano Seja A x y R 2 x 0 y x e 2y x 4 Determine o ponto de A de menor temperatura Questao 26 Estude com relacao a maximos e mınimos a funcao com as suas restricoes a fx y 3x y e x2 y2 1 b fx y x2 4y2 e xy 1 x 0 e y 0 3 Questao 27 Uma caixa de papelao sem tampa deve ter um volume de 32000 cm3 De termine as dimensoes que minimizem a quantidade de papelao utilizado Questao 28 Determine o ponto da reta x 2y 1 cujo produto das coordenadas seja maximo Questao 29 Maximize fx y z x 2y 3z sujeita as restricoes x2 y2 z2 4 e x y z 1 Questao 30 Encontre os pontos da elipse x2 xy y2 3 de centro na origem mais proximos e os mais afastados da origem Desenhe a elipse