Lista de Exercicios - Funcoes de Variaveis Aleatorias - Probabilidade e Estatistica

UFCGCCTUAEst Probabilidade e Estatística20162 Prof José Iraponil Costa Lima Lista de ExercíciosFunções de Variáveis AleatóriasCapítulo 5 1 Seja X a va discreta que indica a demanda diária por ores em uma oricultura E suponha que X possui a seguinte distribuição de probabilidade XDemanda 0 1 2 3 PX xi 010 040 030 020 Admita que o orista faça um estoque de 2 ores de curta duração que lhe custou R 050 cada uma delas e que poderá ser vendida ao preço unitário de R 150 no primeiro dia em que a or está na oricultura Porém a or que não é vendida no dia em que chega à oricultura não serve mais e é jogada fora resultando em desperdício total da mesma Neste caso determine a distribuição de probabilidade da variável aleatóri Y que indica o lucro diário do orista 2 Seja X uma vac uniformemente distribuída sobre o intervalo 1 3 determine a função densidade de probabilidadefdp da variável aleatória Y eX 3 Se X Uniforme1 1 determine a fdp das seguintes variáveis aleatórias a Y 4 X2 b W X 4 Seja X uma va contínua cuja fdp é fx ex x 0 determine as fdp das seguintes variáveis aleatórias a Y X3 b T 3 X12 5 Uma corrente elétrica oscilante I pode ser considerada como uma variável aleatória uniformente distribuída sobre o intervalo 9 11 Se essa corrente passa em um resistor de 2 ohms determine é função densidadeg da potência P 2I2 6 Seja X uma variável aleátoria que segue uma distribuição uniforme no intervalo a b com a b a Mostre que a variável aleatória Y αX β com α 0 possui distribuição uniforme sobre o intervalo αa β αb β b Se X U01 determine os valores reais de α e β a m de que Y αX β possua distribuição uniforme sobre o intervalo 1 1 c Se X Uab qual é a variável aleatória Y HX que depende linearmente de X e é uniformemente distribuída sobre o intervalo 0 1 7 Seja X uma variável aleatória contínua cuja função densidade é fx λeλx x 0 e λ 0 Se r é um número real positivo determine a função densidade g da variável aleatória Y rX 8 Seja X uma va contínua cuja função densidade de probabilidade é dada por fx 2xex2 se x 0 0 caso contrário a Se Y X2 determine o conjunto RY dos possíveis valores de Y b Obtenha a função de distribuição acumulada G da va Y X2 c Determine a função densidade g da variável Y 9 Suponha que o raio R de uma esfera seja uma variável aleatória contínua cuja função densidade é dada por fr 6r1 r para todo 0 r 1 a Determine a densidade do volume V 4 3πr3 da esfera b Obtenha a densidade da área supercial S 4πr2 da esfera 10 A velocidade escalar de uma molécula em um gás ideal e em equilíbrio é uma variável aleatória V cuja função densidade é dada por fv av2ebv2 v 0 sendo b m 2kT e k T e m denotam a constante de Boltzman a temperatura abasoluta e a massa da molécula respectivamente a Calcule o valor da constante a em termos de b b Esbeleça a distribuição da variável aleatória W 12 mV2 a qual representa a energia cinética da molécula 11 A energia radiante em Btuhorape2 é dada pela seguinte função da temperatura T na escala Fahrenheit E 0173 T 1004 Se a temperatura é uma va contínua com fdp dada por ft 200 t2 40 t 50 Determine a função densidade da energia radiante E 12 Para medir a velocidade V de fluidoscom o ar em modelos físicos utilizase um instrumento conhecido como tubo estático de Pitot Sabese que a pressão diferencial P é dada por P 12 d V2 onde d é a densidade do ar e V é a velocidade do ar em milhas por hora Nesses termos determine a fdp da variável P quando V é uma variável aleatória uniformemente distribuída sobre o intervalo 1020 13 Seja X uma variável aleatória contínua com função de distribuição acumulativa F Se a função F possui inversa F1 e a variável aleatória Y FX mostre que Y é uniformemente distribuída sobre o intervalo 0 1 14 Seja X uma variável aleatória cuja distribuição é dada por fx 1 π1 x2 x R Neste caso dizemos que X é uma variável que segue uma distribuição de Cauchy Se X possui distribuição de Cauchy mostre que a variável Y 1 X também segue uma distribuição de Cauchy 15 Se X U02π determine a função densidade da variável aleatória Y senX 16 Seja X uma variável aleatória cuja fdp é dada por fx αeαx 2 x ℝ sendo o parâmetro α 0 Neste caso dizemos que X possui distribuição de Laplace Determine a função de distribuição acumulativa de X Salmos 2111Eu vos fui entregue desde o meu nascer desde o ventre de minha mãe vós sois o meu Deus