Lista de Exercícios Resolvidos - Probabilidade e Estatística - Funções de Variáveis Aleatórias

UFCGCCTUAEst Probabilidade e Estatística20162 Prof José IraponiI Costa Lima Lista de ExercíciosFunções de Variáveis AleatóriasCapítulo 5 1 Seja X va discreta que indica a demanda diária por flores em uma floricultura E suponha que X possuí a seguinte distribuição de probabilidade XDemanda 0 1 2 3 PX x i 010 040 030 020 Admita que o florista faça um estoque de 2 flores de curta duração que lhe custou R 050 cada uma delas e que poderá ser vendida ao preço unitário de R 150 no primeiro dia em que a flor está na floricultura Porém a flor que não é vendida no dia em que chega à floricultura não serve mais é jogada fora resultando em desperdício total da mesma Neste caso determine a distribuição de probabilidade da variável aleatória Y que indica o lucro diário do florista 2 Seja X uma vac uniformemente distribuída sobre o intervalo 1 3 determine a função densidade de probabilidadefdp da variável aleatória Y eX 3 Se X Uniforme1 1 determine a fdp das seguintes variáveis aleatórias a Y 4 X² b W X 4 Seja X uma va contínua cuja fdp é ƒx ex x 0 determine as fdp das seguintes variáveis aleatórias a Y X³ b T x³x1 5 Uma corrente elétrica oscilante I pode ser considerada como uma variável aleatória uniformete distribuída sobre o intervalo 9 11 Se essa corrente passa em um resistor de 2 ohms determine é função densidadeg da potência P 2I² 6 Seja X uma variável aleatória que segue uma distribuição uniforme no intervalo ab com a b a Mostre que a variável aleatória Y aX β com a 0 possui distribuição uniforme sobre o intervalo aa β ab β b Se X U01 determine os valores reais de a e β a fim de que Y aX β possua distribuição uniforme sobre o intervalo 1 1 c Se X Uab qual é a variável aleatória Y HX que depende linearmente de X e é uniformemente distribuída sobre o intervalo 01 7 Seja X uma variável aleatória contínua cuja função densidade é ƒx λeλx x 0 e λ 0 Se r é um número real positivo determine a função densidade g da variável aleatória Y rX 8 Seja X uma va contínua cuja função densidade de probabilidade é dada por ƒx 2xex² se x 0 0 caso contrário a Se Y X² determine o conjunto Ry dos possíveis valores de Y b Obtenha a função de distribuição acumulada G da va Y X² c Determine a função densidade g da variável Y 9 Suponha que o raio R de uma esfera seja uma variável aleatória contínua cuja função densidade é dada por ƒr 6r1r para todo 0 r 1 a Determine a densidade do volume V 43πr³ da esfera b Obtenha a densidade da área superficial S 4πr² da esfera 10 A velocidade escalar de uma molécula em um gás ideal e em equilíbrio é uma variável aleatória V cuja função densidade é dada por ƒv av²ebv² v 0 sendo b m2kt e kT e m denotam a constante de Boltzman a temperatura absoluta e a massa da molécula respectivamente a Calcule o valor da constante a em termos de b b Esbeleça a distribuição da variável aleatória W 12mv² a qual representa a energia cinética da molécula 11 A energia radiante em Btuhorapé² é dada pela seguinte função da temperatura T na escala Fahrenheit E 0173 T1004 Se a temperatura é uma va contínua com fdp dada por ƒt 200t² 40 t 50 Determine a função densidade da energia radiante E 12 Para medir a velocidade V de fluidos com o ar em modelos físicos utilizase um instrumento conhecido como tubo estático de Pitot Sabese que a pressão diferencial P é dada por P 12d V² onde d é a densidade do ar e V é a velocidade do ar em milhas por hora Nesses termos determine a fdp da variável P quando V é uma variável aleatória uniformemente distribuída sobre o intervalo 1020 13 Seja X uma variável aleatória contínua com função de distribuição acumulativa F Se a função F possui inversa F¹ e a variável aleatória Y FX mostre que Y é uniformemente distribuída sobre o intervalo 01