Análise de Variância Clássica em Delineamentos Básicos

ANÁLISE DE VARIÂNCIA CLÁSSICA PARA DELINEAMENTOS BÁSICOS Prof João Batista Duarte EAUFG Introdução Decomposição da variação total variância observada num conjunto de dados experimentais em componentes atribuídos a CAUSAS CONTROLADAS tratamentos blocos linhas colunas etc e a CAUSAS NÃO CONTROLADAS erro experimental ou resíduo resumo no Quadro de ANOVA Teste F Notas 1 A ANOVA clássica Fisheriana está apoiada nos seguintes pressupostos ou restrições aditividade independência homocedasticidade e normalidade 2 A verificação por análise de resíduos e testes e o atendimento mínimo destes pressupostos são necessários para garantir a validade da análise H0 Trat Erro H0 T1 T2 TI H1 Trat Erro H1 Ti Ti qualquer i i a ANOVA Delineamento Inteiramente Casualizado Yij i ij i 12 I tratamentos j 12 J repetições Fontes de variação FV Graus de liberdade GL Soma de quadrados SQ Quadrado médio QM Teste F Probabilidade Pr F2 Tratamentos T I1 1JiY²i FC1 SQT GLT QMT QME DISTFFT GLT GLE Erro ou Resíduo E IJ1 SQTotal SQT SQE GLE TOTAL IJ 1 ijY²ij FC 1 FC Y²IJ ijYij2IJ G²n sendo G o total geral e n o número total de dados 2 Cálculo da probabilidade pelo aplicativo Microsoft Excel Independentemente do delineamento experimental não significativo ns As médias dos tratamentos não diferem estatisticamente entre si no nível de significância ANOVA FTrat significativo ou As médias dos tratamentos diferem estatisticamente entre si p E daí Qual o melhor Conforme os tipos de fatores e interesses Contrastes de médias eou Testes de comparações múltiplas Tukey Duncan Dunnett Schefeé etc eou Análise de Regressão Exemplo de Teste de Médias Teste Tukey define uma diferença mínima significativa dms entre pares de médias de tratamentos J QM q E αIGLE q é o valor da estatística de Tukey amplitude total estudentizada que é função do nível de significância do número de médias em comparação I e do número de graus de liberdade do erro ou resíduo GLE APLICAÇÃO Tomandose duas médias m1 e m2 estimativas de T1 e T2 para dois tratamentos quaisquer temse se m1 m2 os tratamentos 1 e 2 não diferem estatisticamente em suas médias sob o nível de significância ie não se rejeita H0 T1 T2 se m1 m2 os tratamentos 1 e 2 diferem estatisticamente ie significativamente sob o nível de probabilidade ie rejeitase H0 T1 T2 em favor de H1 T1 T2 Resultado Ex médias seguidas de mesma letra não diferem estatisticamente entre si pelo teste Tukey a 5 de probabilidade b ANOVA Delineamento Blocos Completos Casualizados Yij i j ij i12 I trats j12 J blocos Fontes de variação FV Graus de liberdade GL Soma de quadrados SQ Quadrado médio QM Teste F Probabilidade Pr F2 Tratamentos T I1 1JiY²i FC1 SQT GLT QMT QME DISTFFT GLT GLE Blocos B J1 1IjY²j FC SQB GLB QMB QME DISTFFB GLB GLE Erro ou Resíduo E I1J1 SQTot SQT SQB SQEGLE TOTAL Tot IJ 1 ijY²ij FC 1 FC Y²IJ ijYij2IJ G²n sendo G o total geral e n o número total de dados 2 Cálculo da probabilidade pelo aplicativo Microsoft Excel não significativo ns As médias dos tratamentos não diferem estatisticamente entre si no nível de significância ANOVA FTrat significativo ou As médias dos tratamentos diferem estatisticamente entre si p E daí Qual o melhor Conforme os tipos de fatores e interesses Contrastes de médias eou Testes de comparações múltiplas Tukey Duncan Dunnett Schefeé etc eou Análise de Regressão c ANOVA Delineamento Quadrado Latino Yijk i lj ck ij i12 I trats jk 12 J linhas ou colunas Fontes de variação FV Graus de liberdade GL Soma de quadrados SQ Quadrado médio QM Teste F Probabilidade Pr F 2 Tratamentos T I1 1JiY²i FC 1 SQT GLT QMT QME DISTFFT GLT GLE Linhas L J1 1IjY²j FC SQL GLL QML QME DISTFFL GLL GLE Colunas C J1 1IkY²k FC SQC GLC QMC QME DISTFFC GLC GLE Erro ou Resíduo E I1I2 SQTot SQT SQLSQC SQEGLE TOTAL Tot IJ1I21 ijY²ij FC 1 FC Y²IJ ijYij2IJ G²n sendo G o total geral e n o número total de dados 2 Cálculo da probabilidade pelo aplicativo Microsoft Excel não significativo ns As médias dos tratamentos não diferem estatisticamente entre si no nível de significância ANOVA FTrat significativo ou As médias dos tratamentos diferem estatisticamente entre si p E daí Qual o melhor Conforme os tipos de fatores e interesses Contrastes de médias eou Testes de comparações múltiplas Tukey Duncan Dunnett Schefeé etc eou Análise de Regressão Exemplo 1 Dados de peso de capulhos de algodão g de quatro variedades avaliadas em casa de vegetação delineamento inteiramente casualizado Variedades Repetições 1 2 3 4 5 6 Totais Yi Médias iY Alguns outros resultados 1Allen 33357 78 90 90 75 70 88 491 818 ijYij Y 2069 2 AFC 655236 100 65 78 92 85 90 510 850 ijY²ij 180811 3IAC 131 102 95 102 85 80 98 562 935 iY²i 1073061 4IpeaneSU 01 98 70 85 85 88 80 506 843 FCY²24 1783650417 Análise estatística Objetivo comparar as variedades em termos de peso médio de capulhos teste estatístico 1º Formular as hipóteses adequadas as hipóteses relacionamse aos objetivos do estudo H0 T1 T2 T3 T4 H0 Trat Erro vs H1 Ti Ti qualquer i i H1 Trat Erro 2º Especificar o nível de significância do teste isto é a probabilidade admissível de erro tipo I declarar diferenças que verdadeiramente não existem Em geral na área agronômica e biológica adotase 005 isto é admitese 5 de erro ao se tomar a decisão por rejeitar H0 Por conseguinte o nível de confiança associado a essa decisão é de 95 Reitera se que na inferência estatística tomada de decisão sobre populações a partir de amostras não se pode assegurar 100 de confiança em quaisquer decisões sob pena de não ser possível decidir 3º Escolha do teste estatístico apropriado às hipóteses formuladas e aos dados amostrais disponíveis Dada a hipótese relacionada à avaliação da uniformidade de várias médias mais que duas de dados quantitativos contínuos medições em geral a análise de variância associada ao teste F Snedecor é uma técnica estatística útil para responder ao objetivo proposto Logo terseia ANOVA e Teste F aplicados a n IJ 46 24 observações GLTot 23 GLT 3 GLE 20 4º Definição da região crítica na distribuição teórica da estatística de teste F além do valor F053 20 310 na figura ao lado Isso significa que valores F310 ocorrem sob H0 verdadeira ie por acaso com probabilidade igual a 005 ou seja em 5 dos casos Em razão disso se os dados amostrais resultarem valor de F igual ou maior do que este é razoável rejeitar H0 pois esta hipótese é muito pouco provável e então aceitase H1 Por outro lado sob H0 verdadeira existe uma probabilidade de 095 de ocorrerem valores F menores do que este ou seja se os dados resultarem F310 então não há evidências suficientes contra H0 e não se pode rejeitála com esse nível de confiança 95 5º Cálculo do valor da estatística de teste F com base nos dados amostrais experimentais F s2 1 s2 2 razão de variâncias No caso de ANOVA F QMTrat QMErro FV GL SQ QM F Pr F 1 Tratamentos T 41 3 161073061 178365 4785 47853 1595 162 02163 Resíduo E 461 20 SQTotal SQT 196750 1967520 984 TOTAL 46 1 23 180811178365 24460 1 O valor da probabilidade foi obtido a partir da instrução DISTF162320 no aplicativo Microsoft Excel 6º Decisão estatística consiste na verificação da probabilidade da estatística obtida dos dados F 162 na distribuição teórica desta mesma estatística sob H0 verdadeira Para se avaliar a grandeza desta probabilidade basta observar onde ocorre o valor F obtido dos dados na distribuição teórica apresentada anteriormente Verificase pois que o valor F 162 ocorre na região de alta probabilidade da distribuição sob H0 verdadeira isto é esse valor é bastante provável p nesta distribuição o que conforme discutido no passo 5º valores F310 indicam que não há evidências suficientes contra H0 sob o nível de significância assumido contraindica a rejeição de H0 Com o apoio de um aplicativo computacional como o Excel verificase que o valor exato desta probabilidade é 02163 valor que de fato é maior que 005 e leva à não rejeição de H0 Portanto neste caso o teste é não significativo ns em nível de 5 de probabilidade 7º Conclusão Não há diferenças significativas p005 entre os pesos médios de capulhos das variedades de algodoeiro avaliadas ou seja as diferenças observadas nos pesos médios de capulhos devem ser atribuídas ao acaso e não a quaisquer diferenças intrínsecas entre as variedades O coeficiente de variação deste experimento foi CV QME 100Y 115 o que indica precisão relativamente boa Exemplo 2 Dados de altura média cm de plântulas de Pinus oocarpa aos sessenta dias após a semeadura num experimento de adubação delineado em blocos completos casualizados Tratamentos Blocos 1 2 3 4 Totais Yi Médias iY Alguns outros resultados Testemunha 46 51 58 55 210 5250 ijYij Y 1224 Esterco 60 71 72 68 271 6775 ijY²ij 7606 Adubo mineral 58 72 69 67 266 6650 iY²i 302674 Vermiculita 56 49 59 57 221 5525 jY² j 375734 Composto orgânico 58 64 66 68 256 6400 FCY²n 749088 Totais Yj 278 307 324 315 1224 n 20 Média geral Y 6120 Análise estatística Objetivo avaliar os efeitos dos diferentes tipos de adubação sobre o crescimento inicial de plântulas em pinheiro Pinus oocarpa teste estatístico 1º Formular as hipóteses apropriadas ao problema hipóteses relacionadas a médias objetivo do estudo H0 T1 T2 T3 T4 T5 H0 Trat Erro vs H1 Ti Ti qualquer i i H1 Trat Erro 2º Especificar o nível de significância do teste probabilidade admissível de erro tipo I Adotaremos o nível usual na área agronômica 005 admitese 5 de erro ao se tomar a decisão por rejeitar H0 Logo o nível de confiança associado à decisão será de 95 3º Escolha do teste estatístico apropriado às hipóteses formuladas e aos dados disponíveis Como as hipóteses relacionam à avaliação da uniformidade de várias médias mais que duas de dados quantitativos contínuos medições a análise de variância associada ao teste F é uma técnica estatística aplicável Logo ANOVA e Teste F com nIJ 54 20 obs GLTot 19 GLT 4 GLB 3 GLE 12 4º Definição das regiões críticas nas distribuições teóricas da estatística de teste F F054 12 326 para tratamentos ilustrado na figura ao lado e F053 12 349 para blocos não ilustrado Logo valores F326 ocorrem sob H0 verdadeira ie por acaso com probabilidade igual a 005 ou seja em 5 dos casos Em razão disso se os dados resultarem num valor de F para tratamentos igual ou maior do que este é razoável rejeitar H0 pois esta hipótese é muito pouco provável e daí aceitase H1 Caso contrário não há evidências suficientes contra H0 de modo que não se pode rejeitála a esse nível de significância do teste O mesmo vale para o teste de blocos 5º Cálculo dos valores da estatística de teste F com base nos dados experimentais F s2 1 s2 2 razão de variâncias Neste caso FTrat QMT QME e FB QMB QME Quadro de ANOVA FV GL SQ QM F Pr F 1 Tratamentos T 51 4 14302674 749088 7597 75974 1899 1485 00001 Blocos B 41 3 15375734 749088 2380 23803 0793 620 00087 Resíduo E 5141 12 SQTotal SQT SQB 1535 153512 0128 TOTAL 54 1 19 7606749088 11512 1 Os valores das probabilidades foram obtidos a partir do aplicativo Microsoft Excel DISTFFGL1GL2 6º Decisões estatísticas a probabilidade da estatística obtida dos dados na distribuição teórica sob H0 verdadeira desta mesma estatística no caso de tratamentos F 1485 é muito baixa p isto é 00001 Logo não é razoável aceitar com H0 mas sim rejeitála em favor de H1 isto é há fortes evidências contra a hipótese de que as médias de tratamentos em altura de plântulas não diferem entre si Por conseguinte dizse que o teste que avalia a diferenciação entre as médias dos tratamentos é significativo no nível de 5 de probabilidade F 1485 Neste caso podese até mesmo dizer que o teste é altamente significativo pois p 001 o que se poderia ressaltar com o uso de dois asteriscos F 1485 No caso de blocos a conclusão é a mesma haja vista o valor calculado dos dados F 620 também ser superior ocorrer em região de baixa probabilidade da distribuição teórica sob H0 verdadeira ao valor crítico F053 12 349 Logo para a variável altura de plântulas a estratificação das parcelas em blocos uso do controle local isolou uma parcela significativa de variação residual aos tratamentos reduzindo com isso a magnitude do erro experimental 7º Conclusão Há diferenças significativas p001 nas alturas médias das plântulas quando crescidas nos diferentes tratamentos de adubação avaliados Assim justificase a aplicação de um teste de comparações múltiplas para identificar entre quais tratamentos estas diferenças ocorrem O coeficiente de variação foi CV 0128 100612 584 o que indica boa precisão experimental Teste de Comparações Múltiplas Teste Tukey J QM q E αIGLE Para um nível de significância de 5 comparação de cinco médias I 5 e variância residual QME com doze graus de liberdade temse q05512 451 tabela de amplitude total estudentizada de Tukey Logo 08065 cm 4 451 0128 Este é o valor da diferença mínima significativa dms entre duas médias para a comparação entre si pelo teste Tukey Isso significa dizer que pares de tratamentos cujas médias difiram entre si em 08065 cm ou mais são estatisticamente distintos em suas médias de altura de plântulas no nível de 5 de probabilidade Caso contrário isto é pares de tratamentos cujas diferenças de médias forem inferiores a 08065 cm não diferem estatisticamente entre si nesse mesmo nível de significância do teste Para facilitar a aplicação do teste é conveniente ordenar as médias dos tratamentos Yi Yi J Neste caso o mais racional é ordenálas decrescentemente colocando no topo da tabela de médias os tratamentos com as maiores médias isto é aqueles que proporcionaram os maiores crescimentos de plântulas Em seguida atribuise uma letra a ao primeiro tratamento e calculase a diferença absoluta entre a sua média e a seguinte se m1 m2 concluise que os tratamentos 1 e 2 não diferem estatisticamente em suas médias sob o nível de significância ie não se rejeita a hipótese nula H0 T1 T2 caso contrário se m1 m2 decidese que os tratamentos 1 e 2 diferem estatisticamente entre si em termos de médias ie rejeitase H0 T1 T2 em favor de H1 T1 T2 Sequência de cálculos Nota 08065 cm é aplicável à comparação de médias não de TOTAIS m1 m2 0125 os tratamentos 1 Esterco e 2 Adubo mineral não diferem estatisticamente entre si o que implica em que receberão letras iguais isto é a letra a Tabela 1 Continuase então a comparar o tratamento 1 com aqueles de médias imediatamente inferiores ao tratamento 2 até encontrar uma diferença significativa m1 m3 0375 os tratamentos 1 Esterco e 3 Composto orgânico também não diferem estatisticamente entre si o que implica em que o tratamento 3 também receba a letra a Tabela 1 seguindose na comparação m1 m4 1250 os tratamentos 1 Esterco e 4 Vermiculita diferem estatisticamente entre si o que implica que não podem receber letras iguais assim o tratamento 4 recebe a letra b Tabela 1 Por conseguinte o tratamento 1 também difere do tratamento 5 pois as médias estão ordenadas daí não ser necessário sequer calcular a diferença entre suas médias Então retornamse as comparações para cima verificandose até onde podemos associar a letra b às médias de tratamentos m4 m3 0875 os tratamentos 4 Vermiculita e 3 Composto orgânico diferem estatisticamente entre si o que implica não receberem letras iguais Tabela 1 Por conseguinte não é também necessário comparar o tratamento 4 com o tratamento 2 pois obviamente diferem estatisticamente Assim não se pode colocar a letra b acima do tratamento 3 isso porém ainda é possível para baixo Então na sequência comparamse as médias dos tratamentos 4 e 5 m4 m5 0275 os tratamentos 4 Vermiculita e 5 Testemunha não diferem estatisticamente entre si o que implica receberem letras iguais isto é a letra b Tabela 1 Assim as comparações múltiplas estão finalizadas e o teste concluído o que resulta na Tabela a seguir comumente apresentada em trabalhos científicos publicados e oriundos de experimentação agrícola Tabela 1 Médias de altura de plântulas de pinheiro Pinus oocarpa em centímetros submetidas a cinco tratamentos de adubação num experimento delineado em blocos casualizados Tratamentos Totais Yi Médias1 iY 1 Esterco 271 6775 a 2 Adubo mineral 266 6650 a 3 Composto orgânico 256 6400 a 4 Vermiculita 221 5525 b 5 Testemunha 210 5250 b 1 Médias seguidas da mesma letra não diferem entre si pelo teste Tukey a 5 de probabilidade Exemplo 3 Dados de altura média cm de plântulas de Pinus oocarpa aos sessenta dias após a semeadura num experimento de adubação delineado em quadrado latino linhas são identificadas como L1 a L5 Tratamentos Colunas 1 2 3 4 Totais Yi Médias iY Alguns outros resultados Testemunha 46 L1 51 L2 58 L3 55 L4 210 5250 Y 968 ijY²ij 59620 Esterco 60 L2 71 L3 72 L4 68 L1 271 6775 iY²i 237138 Adubo mineral 58 L3 72 L4 69 L1 67 L2 266 6650 jY² j 234554 kY² k 235022 Vermiculita 56 L4 49 L1 59 L2 57 L3 221 5525 FCY2n 58564 Totais Yk 220 243 258 247 9680 n 16 Média geral Y 605 Os totais de linhas Y j são L1 232 L2 237 L3 244 L4 255 Análise estatística Objetivo avaliar o efeito de tipos de adubação sobre o crescimento inicial de plântulas de Pinus oocarpa 1º Formular as hipóteses apropriadas ao problema hipóteses relacionadas a médias objetivo do estudo H0 Tr1 Tr2 Tr3 Tr4 H0 Trat Erro vs H1 Ti Ti qualquer i i H1 Trat Erro 2º Especificar o nível de significância do teste probabilidade admissível de erro tipo I Nível usual na área agronômica 005 admitese 5 de erro ao se tomar a decisão por rejeitar H0 Logo o nível de confiança associado à decisão será de 95 3º Escolha do teste estatístico apropriado às hipóteses formuladas e aos dados disponíveis Como as hipóteses relacionam à avaliação da uniformidade de várias médias mais que duas de dados quantitativos contínuos medições a análise de variância associada ao teste F é uma técnica estatística aplicável Logo ANOVATeste F com nIJ4416 obs GLTot 15 GLT 3 GLL 3 GLC 3GLE 6 4º Definição das regiões críticas nas distribuições teóricas da estatística de teste F F053 6476 para tratamentos linhas e colunas conforme ilustrado ao lado Logo valores F326 ocorrem sob H0 verdadeira ie por acaso com probabilidade igual a 005 ou seja em 5 dos casos Em razão disso se os dados resultarem num valor de F para tratamentos igual ou maior do que este é razoável rejeitar H0 pois esta hipótese é muito pouco provável e daí aceitase H1 Caso contrário não há evidências suficientes contra H0 de modo que não se pode rejeitála a esse nível de significância do teste O mesmo vale para o teste de blocos 5º Cálculo dos valores da estatística de teste F com base nos dados experimentais F s2 1 s2 2 razão de variâncias Neste caso FTrat QMTrat QMErro e FBl QMBl QMErro Quadro de ANOVA FV GL SQ QM F Pr F 1 Tratamentos T 41 3 14237138 58564 7205 72053 2402 2073 00014 Linhas L 41 3 14234554 58564 0745 07453 0248 214 01959 Colunas C 41 3 14235022 58564 1915 19153 0638 551 00369 Resíduo E 4142 6 SQTotal SQT SQL SQC 0695 06956 0116 TOTAL 44 1 15 59620 58564 10560 1 Os valores das probabilidades foram obtidos a partir do aplicativo Microsoft Excel DISTFFGL1GL2 6º Decisões estatísticas a probabilidade da estatística obtida dos dados na distribuição teórica sob H0 verdadeira da mesma estatística no caso de tratamentos F 721 é muito baixa p isto é 00014 Logo não é razoável aceitar com H0 mas sim rejeitála em favor de H1 isto é há fortes evidências contra a hipótese de que as médias de tratamentos em altura de plântulas não diferem entre si Por conseguinte dizse que o teste que avalia a diferenciação entre as médias dos tratamentos é significativo no nível de 5 de probabilidade F 721 Neste caso podese até mesmo dizer que o teste é altamente significativo pois p 001 o que se poderia ressaltar com o uso de dois asteriscos F 721 No caso de linhas a conclusão é diferente p005 indicando não ter havido diferenciação entre as linhas o que sugere um controle local desnecessário para linhas ao menos para avaliar esta variável resposta Já para colunas o controle local foi efetivo pois as colunas se diferenciaram p005 ou seja para altura de plântulas a estratificação das parcelas em colunas uso do controle local isolou parte significativa de variação residual aos tratamentos reduzindo com isso a magnitude do erro experimental 7º Conclusão Há diferenças significativas p001 nas alturas médias das plântulas quando crescidas nos diferentes tratamentos de adubação avaliados Assim justificase a aplicação de um teste de comparações múltiplas para identificar entre quais tratamentos estas diferenças ocorrem O coeficiente de variação foi CV 0116 100605 563 o que indica boa precisão experimental Teste de Comparações Múltiplas Teste Tukey J QM q E αIGLE Para um nível de significância de 5 comparação de cinco médias I 4 e variância residual QME com seis graus de liberdade temse q0546 4896 amplitude total estudentizada de Tukey Logo 0833 cm 4 4896 0116 Este é o valor da diferença mínima significativa dms entre duas médias para a comparação entre si pelo teste Tukey Isso significa dizer que pares de tratamentos cujas médias difiram entre si em 083 cm ou mais são estatisticamente distintos em suas médias de altura de plântulas no nível de 5 de probabilidade Caso contrário isto é pares de tratamentos cujas diferenças de médias forem inferiores a 083 cm não diferem estatisticamente entre si nesse mesmo nível de significância do teste Para facilitar a aplicação do teste é conveniente ordenar as médias dos tratamentos Yi Yi J Neste caso o mais racional é ordenálas decrescentemente colocando no topo da tabela de médias os tratamentos com as maiores médias isto é aqueles que proporcionaram os maiores crescimentos de plântulas Em seguida atribuise uma letra a ao primeiro tratamento e calculase a diferença absoluta entre a sua média e a seguinte se m1 m2 concluise que os tratamentos 1 e 2 não diferem estatisticamente em suas médias sob o nível de significância ie não se rejeita a hipótese nula H0 T1 T2 caso contrário se m1 m2 decidese que os tratamentos 1 e 2 diferem estatisticamente entre si em termos de médias ie rejeitase H0 T1 T2 em favor de H1 T1 T2 Sequência de cálculos Nota 0833 cm é aplicável à comparação de médias não de TOTAIS m1 m2 0125 os tratamentos 1 Esterco e 2 Adubo mineral não diferem estatisticamente entre si o que implica em que receberão letras iguais isto é a letra a Tabela 2 Continuase então a comparar o tratamento 1 com aqueles de médias imediatamente inferiores ao tratamento 2 até encontrar uma diferença significativa m1 m3 1250 os tratamentos 1 Esterco e 3 Vermiculita diferem estatisticamente entre si o que implica que não podem receber letras iguais assim o tratamento 3 recebe a letra b Tabela 2 Por conseguinte o tratamento 1 também difere do tratamento 4 Testemunha pois as médias estão ordenadas daí não ser necessário sequer calcular a diferença entre suas médias Então retornamse as comparações para cima verificandose até onde podemos associar a letra b às médias de tratamentos m3 m2 1125 os tratamentos 3 Vermiculita e 2 Adubo mineral diferem estatisticamente entre si o que implica não receberem letras iguais Tabela21 Assim não se pode colocar a letra b acima do tratamento 2 isso porém ainda é possível para baixo Então na sequência comparamse as médias dos tratamentos 3 e 4 m3 m4 0275 os tratamentos 3 Vermiculita e 4 Testemunha não diferem estatisticamente entre si o que implica receberem letras iguais isto é a letra b Assim as comparações múltiplas estão finalizadas e o teste concluído o que resulta na Tabela a seguir comumente apresentada em trabalhos científicos oriundos de pesquisa experimental agrícola Tabela 2 Médias de altura de plântulas de pinheiro Pinus oocarpa em centímetros submetidas a quatro tratamentos de adubação num experimento delineado em quadrado latino Tratamentos Totais Yi Médias1 iY 1 Esterco 271 6775 a 2 Adubo mineral 266 6650 a 4 Vermiculita 221 5525 b 5 Testemunha 210 5250 b 1 Médias seguidas da mesma letra não diferem entre si pelo teste Tukey a 5 de probabilidade