Estatística - Parâmetros População e Amostra - Média Mediana e Moda

ESTATÍSTICA PARÂMETROS Prof Dra Lee Chen Chen ICB UFG PARÂMETROS Uma das formas de sintetizar a informação contida em dados de uma população é por meio de tabelas e gráficos Parâmetros de uma população medidas descritivas da população Parâmetros estimados descrever tanto as medidas de tendência central como o grau de dispersão dos dados de uma população Medidas descritivas da amostra a expressão estimativas dos parâmetros Uma outra maneira de descrever a amostra ou população é utilizar valores numéricos que são os parâmetros 1 Parâmetros de tendência central Os parâmetros de tendência central uma ideia de posição de valores centrais de uma distribuição 21 Média aritmética A média aritmética pode ser calculada pela fórmula Onde Xi Número individual de cada observação N Número total de observações Somatório É muito difícil obter os dados de uma população inteira na prática trabalhamos com amostra e neste caso usamos a estimativa da média que é representada por Exemplo Foram sorteadas quatro notas de prova de bioestatística dos alunos de curso de Ciências Biológicas as notas foram as seguintes 7 8 5 e 9 Calcular a estimativa da média 22 Média ponderada A média ponderada de um conjunto de números X1 X2 Xn aos quais estão associados pesos P1 P2 Pn respectivamente é definida por ou Exemplo Joana obteve nos trabalhos práticos de peso 1 as notas 5 e 7 no exame de peso 3 obteve a nota 9 Sua média é Assim sempre que tivermos pesos associados aos dados o parâmetro de posição indicado é a média ponderada 23 Mediana Mi Mediana é o valor central após a ordenação crescente dos dados Comunmente a mediana é representada por Md ou Mi Exemplo No conjunto de números 2 3 5 7 8 9 12 14 e 19 A mediana Mi 8 Grupo No par a mediana é dos dois valores centrais Exemplo A mediana do grupo de números 1 4 4 8 10 12 15 e 20 distribuição assimétrica melhor medida de posição 23 Moda Mo É o valor que representa a maior frequência numa distribuição É representado por Mo Ex Distribuição Amodal 1 3 4 5 6 9 11 12 15 Distribuição Unimodal 3 4 5 6 6 6 6 6 7 9 11 Mo 6 Distribuição Bimodal 2 3 3 3 3 4 6 8 8 8 8 8 9 12 Mo 3 e 8 Um aspecto importante é que devemos distinguir as flutuações acidentais da amostra dos verdadeiros modais 3 Parâmetros de dispersão A utilização de parâmetros de tendência central é insuficiente para descrever uma população Por exemplo Consideremos as três populações seguintes a 4 4 4 b 3 4 5 c 0 4 8 As três populações têm a mesma média 4 mas na população a não existe variação na população b existe uma pequena variação e a população c apresenta uma grande variação entre seus dados São portanto 3 populações de características diferentes Assim a utilização do indicador renda per capta de um país não mostra muito bem a situação sócioeconômica real dos habitantes desse país Pois pode existir uma parcela de indivíduos que recebem quantias significativamente maiores que a grande maioria a um valor da média distorcido da realidade A utilização de parâmetros de dispersão ou variação é fundamental no estudo da variabilidade de uma população 31 Amplitude total Amplitude total é a diferença entre valores do maior e do menor elemento do conjunto No exemplo das três populações citadas acima a amplitude em a é 0 em b é 2 e em c é 8 A amplitude total é uma medida comum utilizada no controle da qualidade industrial 32 Variância S2 A variância é um parâmetro de dispersão muito importante e amplamente utilizada A variância pode ser representada por 2 sigma para a população e por S2 para a amostra A variância é definida pela fórmula ou A variância é a somatória dos desvios valores observados em relação à média ao quadrado dividido pelo número total de observações de uma distribuição Entretanto por seu resultado ser obtido somandose valores elevados ao quadrado a variância expressa a variabilidade dos dados como uma grandeza também ao quadrado por exemplo a variância dos pesos dos indivíduos medidos em kg será expressa em Kg2 A partir de uma amostra a variância é estimada por ou que também pode ser expressa pela seguinte fórmula Esta segunda fórmula é derivada da fórmula imediatamente acima e muitas vezes é de utilização mais ampla e que não envolve a utilização da média 33 Desvio padrão S O desvio padrão é definido como sendo a raiz quadrada da variância assim para a população para a amostra O desvio padrão expressa o desvio de cada um dos elementos Xi em relação à média Valores grandes de desvio padrão em geral expressam uma variabilidade maior entre os dados Este parâmetro apresenta a vantagem de ser medido na mesma unidade dos dados originais O desvio padrão é um dos indicadores de variabilidade mais conhecida este aparece citado com frequência em trabalhos científicos na área biológica 34 Erro padrão ou erro da média S Diferentes amostras retiradas de uma mesma população podem apresentar médias diferentes A variação existente entre este conjunto de médias é estimada pelo erro padrão que corresponde ao desvio padrão das médias Representamos o erro padrão por ou O parâmetro erro padrão é muito utilizado na inferência estatística nos testes de hipótese 35 Coeficiente de variação CV O coeficiente de variação expressa o desvio padrão que obteríamos se a média representasse o valor 100 O CV é uma medida valiosa para comparar a variação existente entre duas ou mais séries de dados medidos em unidades diferentes Ex Uma amostra possui o valor da média e o valor do desvio padrão S Se o valor da média fosse 100 o valor que obteríamos do desvio padrão seria o coeficiente da variação X S 100 CV Este parâmetro é também usado para comparar a variabilidade dos resultados de pesquisadores que trabalham com o mesmo material A seguir vejamos um exemplo numérico na determinação de diversos parâmetros numéricos Dado o conjunto de números calcular a média a variância o desvio padrão o erro padrão e o coeficiente de variação 12 15 18 18 20 25 26 26 28 a Média aritmética b Variância c Desvio padrão d Erro padrão e Coeficiente de variação Conclusão A utilização de parâmetros numéricos é muito importante para a descrição de dados bem como na inferência estatística Cálculo da média e do desvio padrão a partir de uma tabela de frequência Os valores calculados não são exatos porém fornecem uma boa aproximação do valor real Onde f frequência de classe Xc centro de classe Utilizando a tabela de frequência podemos calcular as principais estimativas dos parâmetros Centro de classe Xc Frequência FXc F Xc2 25 30 35 40 45 50 4 6 13 15 7 5 100 180 455 600 315 250 2500 5400 15925 24000 14175 12500 Total 50 F 1900 FXc 74500 FXc2 Tabela V1 Cálculo de estimativas de parâmetros a partir de uma tabela de frequência Teremos