Estatística e Probabilidade - Conceitos e Exemplos Resolvidos

ESTATÍSTICA PROBABILIDADE Prof Dra Lee Chen Chen ICB UFG PROBABILIDADE Probabilidade estuda a chance de um evento ocorrer F número de casos favoráveis à ocorrência do evento A C número de casos contrários à ocorrência de A PA F FC Espaço amostral finito Acontecimentos igualmente prováveis EXEMPLO Suponhamos uma sacola contendo 3 bolas verdes 4 vermelhas e 6 azuis Qual é a probabilidade de tirarmos uma bola verde Pverde 3 13 Do conceito acima pode se deduzir 1 Ocorrência de um evento é certa P 1 Não ocorrência é certa P 0 Outros casos 0 P 1 2 Probabilidade de um evento acontecer p Probabilidade de um evento não acontecer 1 p ou q Logo p q 1 REGRA 1 A probabilidade de que um grupo de eventos mutuamente exclusivos ocorra é a soma das probabilidades de cada evento Dois eventos são ditos mutuamente exclusivos se a ocorrência de um deles em um dado ensaio exclui a possibilidade de ocorrência do outro EXEMPLO Qual é a probabilidade de tirarmos um ás ou uma rainha de um baralho de cartas Pás 452 prainha452 Pás ou rainha 452 452 852 213 REGRA 2 A probabilidade de que dois ou mais eventos independentes ocorram juntos é o produto das probabilidades de cada evento Dois ou mais eventos são ditos independentes se a ocorrência de um deles não afeta a ocorrência dos outros Exemplo Dois pais de olhos castanhos são heterozigotos para o alelo recessivo olho azul Qual a probabilidade de que os dois primeiros filhos tenham olhos azuis Pela lei de Mendel ¼ cada caso Polhos azuis dois primeiros filhos ¼ x ¼ 116 Exemplo Dentre 10878 partos sucessivos que ocorreram em uma maternidade e que resultaram em crianças vivas 100 foram de gêmeos e 3 de trigêmeos Quais as probabilidades de nascimento de um par de gêmeos e de um trigêmeos entre os recémnascidos vivos que podem ser estimadas a partir desses dados Exemplo eventos mutuamente exclusivos O cruzamento de plantas provenientes de sementes de ervilhas amarelas e lisas originou 556 descendentes que produziram sementes de diversos tipos distribuídos conforme as proporções abaixo 315 sementes lisas e amarelas 108 sementes lisas e verdes 101 sementes rugosas e amarelas 32 sementes rugosas e verdes A partir destes dados calcule as probabilidades de em um outro cruzamento idêntico aparecerem sementes lisas e verdes ou rugosas e verdes Exemplo eventos independentes A frequência esperada de pessoas Rh em uma população é estimada em 90 Qual a frequência esperada nessa população de casais a Rh x Rh a P 090 x 090 081 ou 81 b Rh x Rh b P 010 x 010 001 ou 1 c Rh x Rh c P 2 x 090 x 010 018 ou 18 d Marido Rh x mulher Rh d P 090 x 010 009 ou 9 e Marido Rh x mulher Rh e P 010 x 090 009 ou 9 Em certas situações seria mais interessante utilizar distribuições de frequência para calcular a probabilidade de ocorrência de um determinado evento Por exemplo Qual a probabilidade de uma família de quatro 4 crianças ser constituída e 2 meninos e 2 meninas Utilizandose a teoria da probabilidade P2 meninos e 2 meninas 616 38 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Distribuição binomial Primeira função de frequência Jacques Bernouli Resultante do desenvolvimento do binômio p qn p probabilidade de ocorrência de um evento q probabilidade do evento alternativo ocorrer p q 1 Porque estudar a distribuição binomial Facilitar a resolução dos problemas da probabilidade Exemplo Arremesso de moedas Consideremos a probabilidade do aparecimento do lado cara igual a p e do lado coroa igual a q Neste caso a probabilidade para cada caso é igual a ½ O número de arremessos sucessivos é n Considerando p a probabilidade de sucesso em uma única jogada qual será a probabilidade de obtermos x sucessos em n jogadas Solução distribuição binomial Distribuição binomial caso particular da distribuição polinomial APLICAÇÃO Experimentos que só se verifica duas possibilidades Ocorrência ou não Situações que envolvem variáveis aleatórias descontínuas Repetições independentes Probabilidade constante Dois parâmetros P e N p contínua n discreta pq distribuição simétrica pq distribuição assimétrica Observação 0 1 X0 1 EXEMPLO Qual é a probabilidade de que uma família de 6 filhos seja constituída por seis crianças de sexo feminino P sexo feminino ½ Cada nascimento evento independente P 0015625 ou 15625 Exemplo Sabese que a possibilidade encontrar crianças com bócio em Goiânia é de 13 Em amostras de 5 crianças obtidas em diversos colégios quais as probabilidades de se obterem amostras com 01234 e 5 crianças com bócio Distribuição de frequências de crianças com bócio em Goiânia Distribuição da frequência acumulada de crianças com bócio em Goiânia Média e variância da distribuição binomial Média np Variância 2 npq desvio padrão Se as probabilidades são expressos em porcentagem p DISTRIBUIÇÃO DE POISSON Distribuição de Poisson Lei dos fenômenos raros Distribuição de variável descontínua É utilização quando P muito pequena n grande np constante finita Parâmetro que caracteriza esta distribuição média Sendo 0 X Siméon Denis Poisson 17811840 EXEMPLO Em 30 bezerros nascidos 60 foram fêmeas Calcular a média e o desvio padrão esperado np 30 x 06 18 Sendo 1 a proporção de canhotos numa população qual a probabilidade de termos pelo menos um canhoto numa classe de 50 alunos N 50 p 001 np 50 x 001 05