Lista 7 de Geometria Analítica

GEOMETRIA ANALITICA 2024 IMEUFG R GARCIA 1 Setima Lista 1 1 Considere um cırculo C de centro P0 x0 y0 e raio r 0 Dado um ponto P x y definimos a potˆencia de P em relacao a C por pP C P P02 r2 i Considere dois cırculos Ci i 1 2 de centros Pi xi yi e raios ri 0 Determine o lugar geometrico definido pela equacao P pP C1 pP C2 ii Do item i conclua que o lugar geometrico e uma reta perpendicular a reta que passa por P1 e P2 iii Faca exemplos ilustrando as varias possibilidades sobre as posicoes relativas dos dois cırculos C1 e C2 2 Reformule os conceitos do item i e definida potˆencia de um ponto com respeito a uma esfera Considere esferas Ei em R3 com centros Pi xi yi zi e raios ri Defina os conjuntos πij P pP Ei pP Ej i Mostre que para i j o conjunto πij e um plano ortogonal a reta que passa pelos centros Pi e Pj ii Mostre que em geral π12 π13 π23 e um ponto iii Analise os itens i e ii para as trˆes esferas definidas por E1 x2 y2 z2 1 E2 x 42 y2 z2 4 E3 x 32 y 12 z 12 3 3 Considere o elipsoide definido por x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 Considere 4 pontos Pi pertencentes ao elipsoide e esboce os seus planos tangentes Calcule tambem as intersecoes dos planos tangentes e analise as 6 retas obtidas dessas intersecoes Dizer quais sao concorrentes quais sao reversas e quais sao paralelas 4Desafio Considere trˆes esferas mutuamente tangentes centradas nos pontos P1 P2 e P3 Denote por r1 r2 e r3 seus raios i Supondo que r1 r2 r3 mostre que a area do triˆangulo P1P2P3 e igual a 3 r2 1Goiˆania 25 de julho de 2024 Entregar a lista resolvida ate 08082024 Terceira avaliacao 0108 quintafeira 1 ii No caso geral mostre que a área do triângulo P1P2P3 é igual a sqrtr1r2r3r1 r2 r3 iii Faça um exemplo ilustrando os itens i e ii 5 Desafio Considere o elipsóide x2a2 y2b2 z2c2 1 e suponha a b c 0 i Dado o ponto P0 0 b 0 encontre dois círculos passando por P0 e inteiramente contidos no elipsóide Sugestão Foi feito em sala de aula o cálculo da existência dos dois círculos ii Calcule a interseção dos dois círculos obtidos no item i com a elipse x2a2 z2c2 1 contida no plano y 0 Sugestão Mostre que são 4 pontos e determine explicitamente suas coordenadas iii Dado o ponto P1 a 0 0 encontre dois círculos passando por P0 e inteiramente contidos no elipsóide iv Mostre que com exceção dos e pontos obtidos no item ii por todo ponto do elipsóide passa exatamente dois círculos inteiramente contidos no elipsóide Faça figuras ilustrando geometricamente 6 Considere a família de quádricas definidas por x2a2 r y2b2 r z2c2 r 1 i Dado o ponto P0 1 1 1 e a 1b 2 e c 3 encontre três quádricas da família passando por P0 ii Esboce simultaneamente as três quádricas e esboce as interseções entre essas superfícies 7 Faça 5 exercícios representativos sobre quádricas cônicas e rotações de eixos 8 Classifique as quádricas completando quadrados ou fazendo rotações de eixos i q1x y z xy yz xz 1 0 ii q2x y z x2 yz xz 2z2 1 0 iii q3x y z x2 yz 2z2 3x 4y 5z 1 0 iv q4x y z λx2 2xy y2 2z2 y z 0 Analise a dependência em relação a variável λ 9 Faça uma galeria de exemplos esboçando interseções de quádricas cilindros e cones Faça alguns exemplos numéricos 10 Desafio i Mostre que a superfície de revolução obtida pela rotação do círculo x R2 y2 r2 contido no plano z 0 em torno do eixo y obtemos uma superfície algébrica de grau 4 ie essa superfície é dada implicitamente por uma equação da forma Fx y z 0 onde F é um polinômio de grau 4 ii Mostre que por cada ponto dessa superfície de revolução passam exatamente 4 círculos inteiramente contidos na superfície Faça figuras ilustrando geometricamente iii No ponto R r 0 0 trace o plano x R r 0 e encontre a interseção desse plano com a superfície descrita no item i iv Esboce a interseção da família de planos x λ com a superfície de revolução descrita no item i