Estatistica para Engenharia de Producao - Estatistica Basica

1 Estatística para Engenharia de Produção Estatística Básica Referência principal Montgomery e Runger 2009 Imagens obtidas das obras citadas e outras disponíveis na Internet 2 Termos Importantes População conjunto completo de todos os elementos a serem estudados valores pessoas medidas etc Amostra uma parte dos elementos extraídos de uma população Quantitativos dados numéricos que representam contagens ou medidas Qualitativos também chamados atributos definem uma característica não numérica Discretos números inteiros Geralmente representam contagens Contínuos números racionais que podem assumir infinitos valores em um intervalo Nominais variáveis que caracterizam um elemento Ordinais variáveis que atribuem uma determinada ordem aos dados Introdução Estatística Básica 3 A População é a coleção de todas as observações potenciais sobre determinado fenômeno O conjunto de dados efetivamente observados ou extraídos constitui uma Amostra da população Um Censo é uma coleção de dados relativos a todos os elementos de uma população Um Parâmetro está para a População assim como uma Estatística está para a Amostra Estatística Básica População x Amostra Introdução 4 Ex Para uma população de peças produzidas em um determinado processo poderíamos ter Variável Tipo Estado Perfeita ou defeituosa Qualitativa Nominal Qualidade 1a 2a ou 3a categoria Qualitativa Ordinal No de peças defeituosas Quantitativa Discreta Diâmetro das peças Quantitativa Contínua Dados Categóricos ou de Atributos Variáveis Estatística Básica Tipos de Dados Introdução 5 Existem algumas regras básicas de arredondamento que precisamos relembrar EXEMPLO 1 Arredondar o número 03906 para duas casas decimais a Analisase o último dígito Se for igual a 6 7 8 ou 9 aumentase o dígito anterior em uma unidade Resultado 0391 b Analisase novamente o último dígito Se for igual a 0 1 2 3 ou 4 eliminase o último dígito Resultado 039 E quando o último dígito for cinco 5 EXEMPLO 2 Arredondar o número 12305 para duas casas decimais a Analisase o penúltimo dígito Se esse dígito for PAR eliminase o último dígito 5 Se o penúltimo dígito for ÍMPAR eliminase o último dígito e aumentase o penúltimo em uma unidade Resultado 1230 OUTROS EXEMPLOS Arredondar para uma casa decimal a 535687 54 b 123355 1234 c 123052 123 Estatística Básica Informações sobre Arredondamentos Introdução 6 10 45 51 60 62 65 67 71 75 81 15 45 53 60 62 66 67 71 75 81 23 47 54 60 63 66 68 71 75 83 33 48 54 60 63 66 69 73 76 85 34 48 55 60 64 66 70 73 76 85 35 50 57 61 64 66 70 74 77 86 37 50 58 61 64 66 70 74 77 88 42 50 58 61 65 67 71 75 79 92 Estatística Básica Dados x Inferências Introdução Sem nenhuma informação prévia você diria que os valores abaixo representam alguma coisa NÃO São apenas números A Inferência é o que dá significado a eles 7 Estatística Básica Dados x Inferências Introdução Partindose de uma análise estatística como a apresentada ao lado podese obter diversas informações diferentes que dentro de um contexto adequado dão sentido ao conjunto de números exibido anteriormente Isso é INFERÊNCIA 8 Estatística Básica Dados x Inferências Introdução Essas informações estão agrupadas em Média Mediana Ponto Médio Moda Medidas de Centro Amplitude Variância Desvio Padrão Coeficiente de Variação Medidas de Dispersão Quartis Decis Percentis Escore Z Medidas de Posição 9 Estatística Básica Medidas de Centro Introdução 10 Medida de centro encontrada pela somatória de todos os valores de um conjunto dividido pelo número de valores do conjunto Média É o valor do meio de um conjunto de dados organizados em ordem crescente ou decrescente Mediana Valor que está exatamente a meio caminho entre o maior e menor valores Ponto Médio É o valor que ocorre mais frequentemente Moda Estatística Básica Medidas de Centro Introdução 11 n x n x x x x n 1 i i n 2 1 n 1 i i n 1 i i i n 2 1 n n 2 2 1 1 w w x w w w x w x w x w x Aritmética Simples Aritmética Ponderada Tome uma decimal acima da dos dados Ex 24 34 e 57 média 373 Em várias operações arredonde apenas o resultado final Média Estatística Básica Medidas de Centro Introdução 12 x n o 1 2 termo x n n 2 2 1 2 o o termo termo 35 36 37 38 40 40 41 43 46 40 x 12 14 14 15 16 16 17 20 15 16 2 15 5 x Se n é ímpar Se n é par Mediana Estatística Básica Medidas de Centro Introdução 13 Ponto Médio 2 valor máximo valor mínimo ponto médio Monitoração de Chumbo no Ar Abaixo estão as quantidades medidas de chumbo em μgm3 no ar do World Trade Center em diferentes dias após 11 de setembro de 2001 Ache o ponto médio para essa amostra 540 110 042 073 048 110 2 910 2 40 0 42 5 2 valor máximo valor mínimo ponto médio Estatística Básica Medidas de Centro Introdução 14 Valor que ocorre mais frequentemente em um conjunto de dados 1 Quando 2 valores ocorrem com a mesma maior frequência cada um é uma moda e o conjunto é denominado BIMODAL 2 Quando mais de 2 valores ocorrem com a mesma maior frequência cada um é uma moda e o conjunto é denominado MULTIMODAL 3 Quando nenhum valor se repete dizemos que não há MODA Moda Estatística Básica Medidas de Centro Introdução 15 x 345 7 x 300 200 250 250 300 450 460 510 Ambas são boas medidas de Tendência Central Prefira a média 200 250 250 300 450 460 2300 x 300 Devido ao Outlier 2300 a mediana é melhor estatística que a média MÉDIA ou MEDIANA 6014 x Estatística Básica Medidas de Centro Introdução Observe os seguintes conjuntos de dados 16 Medidas de Dispersão ou Variabilidade Estatística Básica Introdução 17 Distância ou diferença entre o menor valor e o maior valor Amplitude H É a média dos desvios ao quadrado Variância σ2 Medida de variação dos valores em relação à média Desvio Padrão σ É uma medida adimensional que permite a comparação das variabilidades em diferentes conjuntos de dados Coeficiente de Variação cv Estatística Básica Introdução Medidas de Dispersão ou Variabilidade 18 A 3 4 5 6 7 B 1 3 5 7 9 C 5 5 5 5 D 3 5 5 7 E 35 5 65 Eles possuem mesma média e mediana sendo diferentes E a principal diferença está relacionada à variabilidade existente nos dados Medidas de Variabilidade Amplitude H Tem o inconveniente de levar em conta apenas os dois valores extremos Amplitude Range Observe os conjuntos abaixo HA 7 3 4 HB 9 1 8 HC 5 5 0 HD 7 3 4 HE 65 35 3 Estatística Básica Introdução Medidas de Dispersão ou Variabilidade 19 Considerando os desvios em relação à média temos para A por exemplo A 3 4 5 6 7 xi x 2 1 0 1 2 0 1 1 1 nx nx x x x x n i n i i n i i Entretanto Uma opção para analisar os desvios das observações é considerar o total dos quadrados dos desvios x x i i 2 1 5 4 1 0 1 4 10 Dado um conjunto de dados Estatística Básica Introdução Medidas de Dispersão ou Variabilidade 20 1 n x x n 1 i 2 i Associandose o somatório do quadrado dos desvios ao número de elementos da amostra n temse que é a Variância Varx S2 S S 2 que é o Desvio Padrão DPx uma medida que é expressa na mesma unidade dos dados originais Estatística Básica Introdução Medidas de Dispersão ou Variabilidade 21 Média 3 Soma da última coluna 10 Dividese a Soma por n1 Variância S2 25 X Soma dos elementos Número de elementos X 5 4 3 1 2 x 2 1 0 2 1 X X 4 1 0 4 1 X X 2 Raiz Quadrada da Variância Desvio Padrão S 158 S S 2 Calcular a Variância e o Desvio Padrão de X S2 Estatística Básica Introdução Medidas de Dispersão ou Variabilidade 22 Média N X N 1 i i Desvio Padrão N X N 1 i 2 i Em relação à População Variância N X N 1 i 2 i 2 Estatística Básica Introdução n x x n 1 i i 1 n x x s n 1 i 2 i Em relação à Amostra Média Desvio Padrão Variância 1 n x x s n 1 i 2 i 2 Medidas de Dispersão ou Variabilidade 23 cv exprime a variabilidade em termos relativos É uma medida adimensional e sua grande utilidade é permitir a comparação das variabilidades em diferentes conjuntos de dados Exemplo Testes de resistência à tração aplicados a dois tipos diferentes de aço Assim apesar do Tipo I ser menos resistente é ele mais estável mais consistente O uso do coeficiente de variação pode ser pensado considerando a questão Um desvio padrão de 10 se a média é 10000 é bem diferente se a média é 100 Média kgmm2 s kgmm2 Tipo I 2745 20 Tipo II 14700 1725 Estatística Básica 𝑐𝑣 𝑆 ҧ𝑥 𝑐𝑣𝐼 2 2745 729 𝑐𝑣𝐼𝐼 1725 147 1173 Coeficiente de Variação 𝑐𝑣 Introdução Exercício 1 Planilha de dados dados x inferênciasPostar no SIGAA 24 Estatística Básica Introdução Medidas de Posição 25 Dividem as observações ordenadas em quatro partes iguais Quartis Dividem as observações em 10 grupos com cerca de 10 dos dados em cada grupo Decis Dividem os dados em 100 grupos Percentis É o número de desvios padrão pelo qual um valor x dista da média Escores Z Estatística Básica Introdução Medidas de Posição 26 200 201 204 204 206 206 208 208 209 215 217 218 220 223 223 225 228 230 230 234 236 241 242 242 248 250 251 251 252 252 254 256 256 256 257 257 258 259 259 260 261 262 262 262 262 262 263 263 263 263 263 264 265 265 265 266 267 267 268 268 268 268 268 268 268 268 268 269 269 269 269 270 270 270 270 270 270 270 270 271 271 272 272 272 272 272 273 273 273 273 273 273 274 274 274 274 275 275 275 275 276 276 276 276 276 277 277 277 277 277 277 277 277 278 278 278 278 278 278 278 279 279 279 280 280 280 281 281 281 281 282 282 282 282 282 282 283 283 283 283 283 283 284 284 284 284 285 285 285 286 286 286 286 287 287 288 289 289 289 289 289 290 290 290 291 291 292 292 292 293 293 294 295 295 297 A tabela abaixo relaciona 175 cargas axiais apuradas em latas de alumínio Estatística Básica Medidas de Posição Introdução 27 Em um conjunto de dados relativamente extenso como o apresentado por este exemplo é recomendável que a análise se inicie pela identificação de elementos de posição São eles a O primeiro Quartil ou 25º percentil b O segundo Quartil ou mediana c O terceiro Quartil ou 75º percentil d Os outliers Estatística Básica Medidas de Posição Introdução 28 Para as 175 cargas axiais de latas de alumínio da tabela determine o valor correspondente ao 25º percentil 𝐿 𝑘 100 𝑛 25 100 175 4375 Arredondase para cima encontrando 44 O 25º percentil é portanto o 44º valor a contar do menor ou seja P25262 onde n nº de valores no conjunto de dados k percentil a ser utilizado L indicador que dá a posição do valor Pk kmo percentil Estatística Básica Medidas de Posição Introdução Exercício 2 Exercício Cálculo de percentis cargas latas de alumínioPostar no SIGAA 29 25 50 75 109 104 99 94 DBP Outlier fora da distância do Q3 15D Q375ª Percentil Observação Máxima Q125ª Percentil Q2Mediana 50ª Percentil DQ3Q1 Interquartil Boxplot é desgastante quando feito sem computador pois supõe a ordenação de dados Observação Mínima Estatística Básica Medidas de Posição Introdução 30 Valor do meio Quartis Q1Quarta Observação Crescente717 Q3Quarta Observação Decrescente1506 0 0 0 4 1 n 4 1 n 2 4 1 n 3 Outliers Q315D 150615150671726895 São outliers valores maiores que 26895 ou 075n1 ou 05n1 ou 025n1 Estatística Básica Medidas de Posição Cálculo dos Outliers Introdução Exercício 3 Exercício cálculo de outliersPostar no SIGAA 31 z x x s i i Grupo Peso médio Desvio Padrão A 665 kg 638 kg B 729 kg 775 kg Ex Dois grupos de pessoas acusam os seguintes dados 2 3 e 38 6 812 66 5 z A em A 1 95 75 7 88 72 9 em B z B Na equação de Z ao lado 𝒙𝒊 ഥ𝒙 considera o afastamento de 𝒙𝒊 em relação à média ഥ𝒙 A divisão por s o desvio padrão amostral torna Z como unidade ou padrão de medida No Grupo A há uma pessoa que pesa 812 kg e no Grupo B há uma pessoa que pesa 880 kg Assim Logo a pessoa de A revela um maior excesso relativo de peso pois está mais afastada de sua média Escore padronizado é o número de desvios padrões a que se situa determinado valor de x Estatística Básica Medidas de Posição Escores Padronizados Z Introdução