Intervalo de Confianca - Estatistica para Engenharia de Producao

1 EPRi10 Estatística para Engenharia de Produção Estatística para Engenharia de Produção Intervalo de Confiança Referência principal Montgomery e Runger 2009 Imagens obtidas das obras citadas e outras disponíveis na Internet 2 EPRi10 Estatística para Engenharia de Produção Inferência Estatística A Estatística vai muito além do simples cálculo de Média e Desvio Padrão É preciso que se interpretem esses valores atribuindo significado a eles A análise de dados estatísticos de forma a se compreender o comportamento de determinados fenômenos é conhecido como Inferência Estatística A Inferência Estatística é obtida a partir da estimação de parâmetros dos dados que podem ser populacionais ou amostrais assim denotados Intervalo de Confiança 3 EPRi10 Estatística para Engenharia de Produção A média amostral ҧ𝑥 é um melhor estimador de uma média populacional 𝜇 do que quaisquer outros estimadores como a mediana ou a moda Para muitas populações a distribuição das médias amostrais tende a ser mais consistente apresentar menor variação do que as distribuições de outras estatísticas amostrais Para todas as populações dizemos que a média amostral ҧ𝑥 é um estimador nãotendencioso da média populacional 𝜇 isto é as médias amostrais não tendem a sobreestimar nem a subestimar sistematicamente o valor de 𝜇 Ao contrário tendem para o valoralvo que é o próprio valor de 𝜇 Como a média amostral ҧ𝑥 é um valor único que corresponde a um ponto na escala numérica chamamola de estimativa pontual Inferência Estatística Intervalo de Confiança 4 EPRi10 Estatística para Engenharia de Produção Intervalos de Confiança IC A qualidade da estimativa pontual isto é quão boa é essa estimativa depende do tamanho da amostra e pode não ser tão boa se a amostra for demasiadamente pequena já que se trata de um ponto único Tentando contornar esse problema os estatísticos desenvolveram outro tipo de estimativa que efetivamente indica quão boa é uma estimativa pontual o Intervalo de Confiança ou Estimativa Intervalar Esse consiste em uma amplitude ou um intervalo de valores em lugar de um valor único Um Intervalo de Confiança ou Estimativa Intervalar é uma amplitude ou um intervalo de valores que tem probabilidade de conter o verdadeiro valor da população Intervalo de Confiança 5 EPRi10 Estatística para Engenharia de Produção Intervalos de Confiança IC Um IC está associado a um grau de confiança ou nível de confiança que é uma medida da nossa certeza de que o intervalo contém o parâmetro populacional Utilizase 1 𝛼 para descrever essa probabilidade que corresponde a uma área É também chamado de nível de confiança ou coeficiente de confiança Confiança Significância ҧ𝑥 𝜇 𝜎Τ 𝑛 N 01 Intervalo de Confiança 6 EPRi10 Estatística para Engenharia de Produção Intervalos de Confiança IC O grau de confiança é a probabilidade 1 𝛼 comumente expressa como o valor percentual equivalente de o intervalo de confiança conter o verdadeiro valor do parâmetro populacional Intervalo de Confiança 7 EPRi10 Estatística para Engenharia de Produção Intervalos de Confiança IC São escolhas comuns para o grau de confiança Grau de Confiança 𝟏 𝜶 Nível de Significância 𝜶 Valor Crítico Zα2 90 10 ou 01 164 95 5 ou 005 196 99 1 ou 001 258 Intervalo de Confiança 8 EPRi10 Estatística para Engenharia de Produção Nível de significância 1 Nível de confiança 𝑃196 𝑍 196 095 𝑃 𝑍 𝛼 2 lj𝑥 𝜇 𝜎Τ 𝑛 𝑍 𝛼 2 095 𝑃 ҧ𝑥 196 Τ 𝜎 𝑛 𝜇 ҧ𝑥 196 Τ 𝜎 𝑛 095 መ𝜃0 መ𝜃1 ҧ𝑥 196 𝜎Τ 𝑛 ҧ𝑥 196 𝜎Τ 𝑛 𝐼𝐶𝜇 95 Intervalos de Confiança IC IC de 95 para média para Sigma Conhecido Z 𝑍 ҧ𝑥 𝜇 𝜎Τ 𝑛 Intervalo de Confiança 9 EPRi10 Estatística para Engenharia de Produção Exemplo 1 De uma população normal com variância 9 tiramos uma amostra de 25 observações obtendose um somatório de 152 Determinar um IC bilateral de limites de 90 para a média 𝑃 ҧ𝑥 𝑍𝛼2 Τ 𝜎 𝑛 𝜇 lj𝑥 𝑍𝛼2 Τ 𝜎 𝑛 090 Intervalos de Confiança IC Intervalo de Confiança 10 EPRi10 Estatística para Engenharia de Produção Exemplo 1 De uma população normal com variância 9 tiramos uma amostra de 25 observações obtendose um somatório de 152 Determinar um IC bilateral de limites de 90 para a média Resolução α10 n25 ҧ𝑥 152 25 608 𝜎 ҧ𝑥 9 25 3 5 06 𝑃 ҧ𝑥 𝑍𝛼2 Τ 𝜎 𝑛 𝜇 lj𝑥 𝑍𝛼2 Τ 𝜎 𝑛 090 P608 164 x 06 µ 608 164 x 06 090 P608 0984 µ 608 0984 090 P5096 µ 7064 090 ou ICµ 90 50967064 Intervalos de Confiança IC Intervalo de Confiança 11 EPRi10 Estatística para Engenharia de Produção Nível de significância 1 Nível de confiança 𝑃 ҧ𝑥 𝑡 𝛼 2𝑛1 Τ 𝑠 𝑛 𝜇 ҧ𝑥 𝑡 𝛼 2𝑛1 Τ 𝑠 𝑛 095 𝜃0 𝜃1 ҧ𝑥 𝑡 Τ 𝛼 2𝑛1 𝑠Τ 𝑛 ҧ𝑥 𝑡 Τ 𝛼 2𝑛1 Τ 𝑠 𝑛 𝐼𝐶𝜇 95 Intervalos de Confiança IC IC de 95 para média para Sigma Desconhecido Distribuição t de Student 𝑡 ҧ𝑥 𝜇 𝑠Τ 𝑛 Intervalo de Confiança 𝑍 ҧ𝑥 𝜇 𝜎Τ 𝑛 𝑃 𝑡 𝛼 2𝑛1 lj𝑥 𝜇 𝑠Τ 𝑛 𝑡 𝛼 2𝑛1 095 𝑃 𝑍 𝛼 2 lj𝑥 𝜇 𝜎Τ 𝑛 𝑍 𝛼 2 095 12 EPRi10 Estatística para Engenharia de Produção Exemplo 2 Suponha uma amostra de 10 temperaturas do corpo humano tomadas às 12h do dia 2 Para esses valores ҧ𝑥 9844 e 𝑠 030 Construa um intervalo de confiança de 95 para a média de todas as temperaturas do corpo humano Há indícios de que essas temperaturas têm distribuição normal Intervalos de Confiança IC 𝑃 ҧ𝑥 𝑡 𝛼 2𝑛1 Τ 𝑠 𝑛 𝜇 ҧ𝑥 𝑡 𝛼 2𝑛1 Τ 𝑠 𝑛 095 Intervalo de Confiança 13 EPRi10 Estatística para Engenharia de Produção Exemplo 2 Suponha uma amostra de 10 temperaturas do corpo humano tomadas às 12h do dia 2 Para esses valores ҧ𝑥 9844 e 𝑠 030 Construa um intervalo de confiança de 95 para a média de todas as temperaturas do corpo humano Há indícios de que essas temperaturas têm distribuição normal Intervalos de Confiança IC 𝑃 ҧ𝑥 𝑡 𝛼 2𝑛1 Τ 𝑠 𝑛 𝜇 ҧ𝑥 𝑡 𝛼 2𝑛1 Τ 𝑠 𝑛 095 9844 2262 030 10 𝜇 9844 2262 030 10 𝑃 9822 9866 𝐼𝐶𝜇 95 Intervalo de Confiança 14 EPRi10 Estatística para Engenharia de Produção Intervalo de confiançaIC EXERCÍCIOS Resolva os seguintes exercícios de Montgomery 2009 IC Var Conhecida 81a 88 810 813a 813b IC Var Desconhecida 831 832b 833b 835c 837b Intervalo de Confiança