Teste de Hipoteses em Estatistica para Engenharia de Producao

1 EPRi10 Estatística para Engenharia de Produção Estatística para Engenharia de Produção Teste de Hipóteses Referência principal Montgomery e Runger 2009 Imagens obtidas das obras citadas e outras disponíveis na Internet 2 EPRi10 Estatística para Engenharia de Produção Muitos problemas em engenharia requerem que se tomem decisões É necessário que se decidam entre aceitar ou rejeitar uma afirmação acerca de algum parâmetro Essa afirmação é chamada de Hipótese e o processo de tomada de decisão Teste de Hipóteses Esse é um importante aspecto da inferência estatística conciliando a tomada de decisão com a construção de uma estimativa de intervalos para determinado parâmetro a partir de dados amostrais o Intervalo de Confiança Hipótese Estatística é portanto uma afirmação sobre os parâmetros de uma ou mais populações MONTGOMERY e RUNGER 2009 Testes de Hipóteses TH Teste de Hipóteses 3 EPRi10 Estatística para Engenharia de Produção Os Testes de Hipóteses ajudam a resolver problemas do tipo Duas linhas de produção supostamente idênticas estão apresentando resultados diferentes Como confirmar isso A variabilidade de um processo é maior que outro Temos certeza Os dados estão normalmente distribuídos Como saber estatisticamente se dois funcionários tem o mesmo desempenho Testes de Hipóteses TH Teste de Hipóteses 4 EPRi10 Estatística para Engenharia de Produção Quando se trabalham com Hipóteses Estatísticas e Tomada de Decisão sempre se corre o risco de se tomarem decisões equivocadas Sempre existe a probabilidade de se incorrerem a Erros de Julgamento Observe Na afirmação Uma pessoa é considerada inocente até que se prove o contrário pois é um erro maior condenar um inocente do que libertar um culpado defina as hipóteses H0 o réu é inocente Hipótese Nula ou Fundamental H1 o réu é culpado Hipótese Alternativa Um erro de julgamento nesse caso resultará em se condenar um inocente ou se libertar um culpado Testes de Hipóteses TH Teste de Hipóteses 5 EPRi10 Estatística para Engenharia de Produção Portanto os erros de julgamento poderiam ser a condenar um réu inocente b absolver um réu culpado REALIDADE H0 verdadeira H0 falsa aceitar H0 decisão correta 1 erro tipo II DECISÃO rejeitar H0 erro tipo I decisão correta 1 ERRO DO TIPO I Rejeitar Ho sendo Ho verdadeira PErro I Prejeitar HoHo é verdadeira ERRO DO TIPO II Não rejeitar Ho sendo Ho falsa PErro II Pnão rejeitar HoHo é falsa Testes de Hipóteses TH Teste de Hipóteses 6 EPRi10 Estatística para Engenharia de Produção Se o valor da estatística do teste cair dentro da região crítica rejeitase H0 Ao rejeitarse H0 afirmase que há uma forte evidência de sua falsidade ቊ𝐻0 50 𝐻1 50 ቊ𝐻0 50 𝐻1 50 Unilateral à direita Bilateral Unilateral à esquerda ቊ𝐻0 50 𝐻1 50 Testes de Hipóteses TH Teste de Hipóteses 7 EPRi10 Estatística para Engenharia de Produção Uma fábrica anuncia que o índice de nicotina dos cigarros da marca X apresentase abaixo de 26 mg por cigarro Um laboratório realiza 10 análises do índice obtendo 26 24 23 22 28 25 27 26 28 24 Sabese que o índice de nicotina dos cigarros da marca X se distribui normalmente com variância 536 mg Podese aceitar a afirmação do fabricante ao nível de 5 Qual o procedimento para se resolver esse problema Testes de Hipóteses TH Teste de Hipóteses 8 EPRi10 Estatística para Engenharia de Produção Para se realizar um Teste de Hipóteses é preciso 1 Definir as hipóteses 2 Escolher a estatística de teste adequada 3 Escolher e estabelecer a Região Crítica RC 4 Com base em uma amostra de tamanho n extraída da população calcular 5 Rejeitar Ho caso RC Não rejeitar Ho em caso contrário Testes de Hipóteses TH Teste de Hipóteses 9 EPRi10 Estatística para Engenharia de Produção Tratase de um teste de hipótese para a Média Na construção das hipóteses lembrese que a Hipótese Nula sempre conterá uma igualdade Portanto se o fabricante está anunciando que o nível de nicotina está abaixo de determinado valor a hipótese nula será Maior ou Igual contra uma hipótese alternativa de Menor Observe ቊ𝐻0 𝜇 26 𝐻1 𝜇 26 Testes de Hipóteses TH 1 Definir as hipóteses Teste de Hipóteses 10 EPRi10 Estatística para Engenharia de Produção A Estatística de Teste é determinada pelo conhecimento ou não do Desvio Padrão Populacional σ Quando σ é conhecido utilizase a Estatística Z Se σ não é conhecido podese recorrer ao Teorema Central do Limite Para uma população não normal com média 𝜇 e desvio padrão σ a distribuição da média amostral ത𝑋 para amostras de tamanho n suficientemente grande é aproximadamente normal com média 𝜇 e desvio padrão 𝜎Τ 𝑛 isto é 10 N n X Caso contrário utilizase tStudent Testes de Hipóteses TH 2 Escolher a estatística de teste adequada Teste de Hipóteses 11 EPRi10 Estatística para Engenharia de Produção A tabela com os Graus de Confiança mais comuns bem como os respectivos Valores Críticos Zα já foi apresentada Ela é utilizada também para definir o Grau de Confiança do teste O Grau de Confiança de 95 é o mais comum pois proporciona bom equilíbrio entre a precisão refletida na amplitude do intervalo de confiança e a confiabilidade expressa pelo grau de confiança O Valor Crítico é o número na fronteira que separa os valores das estatísticas amostrais prováveis de ocorrerem dos valores que têm pouca chance de ocorrer Testes de Hipóteses TH 3 Escolher 𝛼 e estabelecer a Região Crítica Teste de Hipóteses 12 EPRi10 Estatística para Engenharia de Produção Testes de Hipóteses TH 3 Escolher 𝛼 e estabelecer a Região Crítica Assumindose um Intervalo de Confiança de 95 para a Média identificase um Nível de Significância 𝛼 de 5 Teste de Hipóteses 13 EPRi10 Estatística para Engenharia de Produção Testes de Hipóteses TH 3 Escolher 𝛼 e estabelecer a Região Crítica Assim para um Nível de Confiança de 95 095 então Nível de Significância 005 ou seja 1 095 Teste de Hipóteses 14 EPRi10 Estatística para Engenharia de Produção Testes de Hipóteses TH 4 Com base em uma amostra de tamanho n extraída da população calcular 𝜃 Resolução ቊ𝐻0 𝜇 26 𝐻1 𝜇 26 α5 n10 ҧ𝑥 253 10 253 𝜎 ҧ𝑥 536 10 0536 07 𝑍𝑐𝑎𝑙𝑐 ҧ𝑥𝜇𝐻0 𝜎ഥ𝑥 25326 073 0959 𝑍𝛼 𝑍005 164 Teste de Hipóteses 15 EPRi10 Estatística para Engenharia de Produção Testes de Hipóteses TH 5 Rejeitar Ho caso 𝜃 𝑅𝐶 Não rejeitar Ho em caso contrário 𝑍𝑐𝑎𝑙𝑐 ҧ𝑥𝜇𝐻0 𝜎ഥ𝑥 25326 073 0959 𝑍𝛼 𝑍005 164 RNR 164 Logo 𝑍𝑐𝑎𝑙𝑐 𝑅𝑁𝑅 Não se rejeita H0 isto é ao nível de 5 podemos concluir que a afirmação do fabricante é falsa RNR 95 RC5 164 0959 Teste de Hipóteses 16 EPRi10 Estatística para Engenharia de Produção Testes de Hipóteses TH Exemplo 1 Um fabricante de lajotas de cerâmica introduz um novo material em sua fabricação e acredita que aumentará a resistência média que é de 206Kg A resistência das lajotas tem distribuição normal com desvio padrão de 12Kg Retirase uma amostra de 30 lajotas obtendose ҧ𝑥 210Kg Ao nível de 10 pode o fabricante aceitar que a resistência média de suas lajotas tenham aumentado Resolução ቊ𝐻0 𝜇 206 𝐻1 𝜇 206 α10 n30 ҧ𝑥 210 𝜎 ҧ𝑥 12 30 219 𝑍𝑐𝑎𝑙𝑐 ҧ𝑥𝜇𝐻0 𝜎ഥ𝑥 210206 219 1827 𝑍𝛼 𝑍01 128 Como Zcalc Zα rejeitase Ho isto é ao nível de 10 o fabricante pode concluir que a resistência média de suas lajotas aumentou Teste de Hipóteses 17 EPRi10 Estatística para Engenharia de Produção Testes de Hipóteses TH Variância Desconhecida Exemplo 2 A vida média das lâmpadas elétricas produzidas por uma empresa era de 1120h Uma amostra de 8 lâmpadas extraída recentemente apresentou a vida média de 10700h com desvio padrão amostral de 442h e distribuição normal para a vida útil Testar a hipótese de que a vida média das lâmpadas não se alterou ao nível de 1 Resolução ቊ𝐻0 𝜇 1120 𝐻1 𝜇 1120 tα t00057 34995 𝑠 ҧ𝑥 441945 𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 10701120 442 8 32 Como 𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 𝑅𝑁𝑅 não se rejeita H0 isto é não é significativa a alteração na vida média das lâmpadas ao nível de 1 Teste de Hipóteses 18 EPRi10 Estatística para Engenharia de Produção Testes de Hipóteses TH Proporções Passos para TH para Proporções 1 Fixamse as hipóteses ቊ 𝐻0 𝑝 𝑝0 𝐻1 𝑝 𝑝0 𝑝 𝑝0 𝑝 𝑝0 2 Fixase o nível de α 3 Retirase uma amostra de tamanho n e definese x nº de sucesso calculando Ƹ𝑝 Τ 𝑥 𝑛 4 Determinase p para H0 e 𝜎𝑝 𝑝𝐻0𝑞𝐻0 𝑛 5 Definese como variável critério 𝑍 𝑝0𝑝𝐻0 𝜎𝑝 6 Definemse as regiões RNR e RC e rejeitase ou não H0 Teste de Hipóteses 19 EPRi10 Estatística para Engenharia de Produção Testes de Hipóteses TH Proporções Exemplo 3 Sabese por experiência que 5 da produção de um determinado artigo é defeituosa Um novo empregado é contratado Ele produz 600 peças do artigo com 82 defeituosas Ao nível de significância de 15 verificar se o novo empregado produz peças com maior índice de defeitos que o existente Resolução ቊ𝐻0 𝑝 005 𝐻1 𝑝 005 n600 x82 Ƹ𝑝 Τ 𝑥 𝑛 Ƹ𝑝0 Τ 82 600 0137 𝜎𝑝 𝑝𝐻0𝑞𝐻0 𝑛 005095 600 00089 𝑍𝑐𝑎𝑙𝑐 0137005 00089 9775 𝑍𝛼 𝑍015 103 Teste de Hipóteses 20 EPRi10 Estatística para Engenharia de Produção Testes de Hipóteses TH Proporções Exemplo 3 𝜎𝑝 𝑝𝐻0𝑞𝐻0 𝑛 005095 600 00089 𝑍𝑐𝑎𝑙𝑐 0137005 00089 9775 𝑍𝛼 𝑍015 103 Como 𝑍𝑐𝑎𝑙𝑐 𝑍𝛼 𝑍𝑐𝑎𝑙𝑐 𝑅𝐶 rejeita se H0 isto é com 15 de risco podemos levantar sérias dúvidas quanto à habilidade do novo empregado Teste de Hipóteses 21 EPRi10 Estatística para Engenharia de Produção Testes de Hipóteses TH Duas amostras 2 1 1 2 1 0 H H 2 1 1 2 1 0 H H 2 1 1 2 1 0 H H TUE Bilateral TUD 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 0 n n X X Z Variâncias Conhecidas Teste de Hipóteses 22 EPRi10 Estatística para Engenharia de Produção Testes de Hipóteses TH Duas amostras σ1 e σ2 conhecidos Exemplo 4 Considerando os dados das 175 cargas axiais ao nível de 001 de significância teste a afirmação de que as latas de 00109 de espessura têm carga axial média inferior à das latas de 00111 de espessura Dados 𝑛1 175 ҧ𝑥1 2671 𝜎1 221 𝑛2 175 ҧ𝑥2 2818 𝜎2 278 ൜𝐻0 𝜇1 𝜇2 𝑜𝑢 𝜇1 𝜇2 0 𝐻1 𝜇1 𝜇2 48 5 175 8 27 175 1 22 0 2818 1 267 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 0 n n X X Z Como 𝑍0 𝑍𝛼 𝑍0 𝑅𝐶 rejeitase H0 isto é há evidências suficientes de que as latas de 00109 têm carga axial inferior às de 00111 Teste de Hipóteses 23 EPRi10 Estatística para Engenharia de Produção Testes de Hipóteses TH Duas amostras Variâncias Desconhecidas σ1 σ2 1 2 1 2 1 2 1 1 p X X T S n n Teste de Hipóteses 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 p s n s n S n n 1 2 2 G L n n 24 EPRi10 Estatística para Engenharia de Produção Testes de Hipóteses TH Duas amostras σ1 σ2 desconhecidos Exemplo 5 Dois catalizadores estão sendo analisados para determinar como eles afetam o rendimento médio de um processo químico O catalisador 1 é o usado atualmente mas o catalisador 2 é aceitável Como o catalisador 2 é mais barato deve ser adotado caso não altere o rendimento do processo Um teste piloto é executado na planta e que forneceram os seguintes resultados Dados Catalisador 1 𝑛1 8 ҧ𝑥1 92255 𝑠1 239 Catalisador 2 𝑛2 8 ҧ𝑥2 92733 𝑠2 298 Existe alguma diferença nos rendimentos médios dos catalisadores Use α 005 e assuma que as variâncias populacionais são iguais ൜𝐻0 𝜇1 𝜇2 𝑜𝑢 𝜇1 𝜇2 0 𝐻1 𝜇1 𝜇2 Teste de Hipóteses 25 EPRi10 Estatística para Engenharia de Produção Testes de Hipóteses TH 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 X X T s s n n Teste de Hipóteses 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 s n s n G L s s n n n n Variâncias Desconhecidas σ1 σ2 Se ν GL não for um inteiro arredonde para o inteiro mais próximo Duas amostras σ1 σ2 desconhecidos 26 EPRi10 Estatística para Engenharia de Produção Testes de Hipóteses TH Duas amostras σ1 σ2 desconhecidos Exemplo 6 A concentração de arsênico no abastecimento público de água potável é um risco potencial para a saúde Um artigo no Arizona Republic 27 de maio de 2001 relatou concentrações de arsênico na água potável em partes por bilhão ppb para 10 comunidades metropolitanas de Phoenix e 10 comunidades na zona rural do Arizona Os dados seguem Dados Metropolitana Phoenix 𝑛1 10 ҧ𝑥1 1250 𝑠1 763 Rural Arizona 𝑛2 10 ҧ𝑥2 275 𝑠2 153 Existe alguma diferença nas concentrações médias de arsênico para as comunidades metropolitanas do Phoenix e para as comunidades rurais do Arizona Use α 005 e assuma que as variâncias populacionais são diferentes ൜𝐻0 𝜇1 𝜇2 𝑜𝑢 𝜇1 𝜇2 0 𝐻1 𝜇1 𝜇2 Teste de Hipóteses 27 EPRi10 Estatística para Engenharia de Produção Texto completo extraído de Montgomery e Runger 2009 pg 183 Há uma relação íntima entre o teste de uma hipótese acerca de um parâmetro ou seja 𝜃 e o intervalo de confiança para 𝜃 Se lu for um intervalo de confiança de 1001𝛼 para o parâmetro 𝜃 o teste de tamanho 𝛼 das hipóteses Conduzirá à rejeição de 𝑯𝒐 se e somente se 𝜽𝟎 não estiver no IC lu de 1001𝜶 Como ilustração considere o sistema de escape do problema do propelente com ҧ𝑥 513 𝜎 25 e 𝑛 16 A hipótese nula 𝐻𝑜 𝜇 50 foi rejeitada usando 𝛼 005 O IC bilateral de 95 para 𝜇 pode ser calculado Esse IC é 513 196 25 16 o que quer dizer 50075 𝜇 52525 Uma vez que o valor 𝜇0 50 não está incluído nesse intervalo a hipótese nula 𝐻𝑜 𝜇 50 é rejeitada Conexão entre TH e IC 𝐻𝑜 𝜃 𝜃0 𝐻1 𝜃 𝜃0 28 EPRi10 Estatística para Engenharia de Produção Uma maneira de reportar os resultados de um teste de hipóteses é estabelecer que a hipótese nula foi ou não rejeitada com um valor especificado de 𝛼 ou nível de significância Essa forma de conclusões é frequentemente inadequada porque ela não dá ideia a respeito de quão distante o valor calculado da estatística de teste estava da região de rejeição nas proximidades ou muito longe dessa região Uma forma mais adequada é a abordagem do Valor P ou PValue O Valor P é o menor nível de significância que conduz à rejeição da hipótese nula com os dados fornecidos Dada uma hipótese nula e um conjunto de dados amostrais o Valor P reflete a plausibilidade de se obter tais resultados no caso de a hipótese nula ser de fato verdadeira Um Valor P muito pequeno sugere que os resultados amostrais são muito improváveis sob a hipótese nula constituindose numa evidência contra ela ValoresP 29 EPRi10 Estatística para Engenharia de Produção EXEMPLO 7 Considere um teste bilateral de hipóteses para a taxa de queima de um propelente sólido 𝐻0 𝜇 50 e 𝐻1 𝜇 50 com n 16 e 𝜎 25 Suponha que a média amostral observada seja ҧ𝑥 513 cmseg Os valores críticos para este teste são 513 e seu simétrico 487 Suponha IC 95 O Valor P do teste é o valor 𝛼 associado com essa região sendo que qualquer valor menor que 𝛼 diminui a RC Nesse exemplo Valor P 1 P487 ത𝑋 513 1 𝑃 487 50 25Τ 16 𝑍 513 50 25Τ 16 1 𝑃 208 𝑍 208 1 0962 𝟎 𝟎𝟑𝟖 ValoresP 30 EPRi10 Estatística para Engenharia de Produção EXEMPLO 7 Considere um teste bilateral de hipóteses para a taxa de queima de um propelente sólido 𝐻0 𝜇 50 e 𝐻1 𝜇 50 com n 16 e 𝜎 25 Suponha que a média amostral observada seja ҧ𝑥 513 cmseg Os valores críticos para este teste são 513 e seu simétrico 487 Suponha IC 95 EM TERMOS GERAIS Qualquer valor de Valor P menor que o nível de significância do teste faz rejeitar 𝐻0 Valor P Interpretação 001 Elevada significância estatística Evidência muito forte contra 𝐻0 001 a 005 Estatisticamente significante Evidência adequada contra 𝐻0 005 Evidência insuficiente contra 𝐻0 ValoresP 31 EPRi10 Estatística para Engenharia de Produção Fluxo geral para determinação dos Valores P ValoresP 32 EPRi10 Estatística para Engenharia de Produção Exemplo 8 Determinada empresa afirma em um anúncio que você perderá peso após dois dias apenas com o shake e o programa de exercícios Uma agência controladora faz um teste daquela afirmação selecionando aleatoriamente 33 pessoas que aderiram ao programa Verificaramse que essas 33 pessoas perderam em média 037lb de peso com um desviopadrão 𝜎 098 lb Teste a afirmação do anúncio ao nível de significância de 005 Resolução Sabemos que o peso das pessoas flutua naturalmente de um dia para outro precisamos pois determinar se a perda média de 037 lb de peso representa um resultado significativo Em outras palavras a afirmação será confirmada se a perda média de peso for significativamente maior do que 0 Portanto 𝐻0 𝜇 0 e 𝐻1 𝜇 0 com n 33 e 𝜎 098 Média amostral ҧ𝑥 037 lb Calculase a probabilidade de ത𝑋 ser maior que 037 Valor P 1 P ത𝑋 037 1 𝑃 𝑍 037 0 098Τ 33 1 𝑃 𝑧 217 1 0985 0015 Rejeitase H0 ValoresP 33 EPRi10 Estatística para Engenharia de Produção O Minitab é um software que possui funções para resolução de praticamente todos os problemas estatísticos Lidar com Intervalos de Confiança e Testes de Hipóteses a partir dele é uma tarefa bastante simples Para os nossos exemplos a versão utilizada é a 17 em inglês IC e TH no Minitab 34 EPRi10 Estatística para Engenharia de Produção Pela opção StatBasic StatisticsGraphical Summary é possível obter o IC para média mediana e desviopadrão a partir dos dados dispostos em um coluna da planilha de trabalho IC e TH no Minitab 35 EPRi10 Estatística para Engenharia de Produção No mesmo menu de opções encontramse 1Sample Z para o TH e IC para uma amostra variância conhecida 1Sample t para uma amostra variância desconhecida além dos demais testes 2Sample t 2 amostras Pairet t 1 Proportion e 2 Proportions A seguir apresentase o THIC para o mesmo conjunto de dados do exemplo anterior utilizandose a opção 1Sample t IC e TH no Minitab Selecione One or more samples each in a column quando os dados estiverem dispostos em uma coluna da planilha de trabalho Com a opção Perform hypothesis test desabilitada o Minitab calculará o IC caso contrário calculará tanto o IC quanto o TH Determine em Options o Nível de Confiança desejado e o tipo do TH a ser realizado 36 EPRi10 Estatística para Engenharia de Produção No mesmo menu de opções encontramse 1Sample Z para o TH e IC para uma amostra variância conhecida 1Sample t para uma amostra variância desconhecida além dos demais testes 2Sample t 2 amostras Pairet t 1 Proportion e 2 Proportions A seguir apresentase o THIC para o mesmo conjunto de dados do exemplo anterior utilizandose a opção 1Sample t IC e TH no Minitab 37 EPRi10 Estatística para Engenharia de Produção Tanto o IC quanto o TH podem ser obtidos também por dados sumarizados a partir da opção 1Sample t IC e TH no Minitab 38 EPRi10 Estatística para Engenharia de Produção Comparativo entre os resultados obtidos com os dados dispostos em uma coluna da planilha de trabalho e com dados sumarizados IC e TH no Minitab 39 EPRi10 Estatística para Engenharia de Produção Testes de Hipóteses TH EXERCÍCIOS Lista 03 Resolva os seguintes exercícios de Montgomery 2009 IC Var Conhecida 81a 88 810 813a 813b IC Var Desconhecida 831 832b 833b 835c 837b TH Var Conhecida 936a 937a 938a 940a 940e TH Var Desconhecida 950a 951a 952a 953a 957a TH Proporções 976a 976b 978a 979a 983 TH Duas Amostras 101a 102a 103a 104a 105a Intervalo de Confiança e Teste de Hipóteses