Lista de Exercícios Resolvidos - Teoria dos Conjuntos e Métodos de Prova

63 A X A X U X CA 64 A B A CB CA B 65 A B A CB 66 CA B CA B 67 CA B CA CB 5ª LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ATENÇÃO MUITO CUIDADO A lista é para ser feita e não somente lida O estudante que somente procede à leitura mesmo que tenha entendido não está apto a realizar uma verificação de aprendizagem Entender é condição para fazer mas não é fazer Copie os enunciados resolva e depois confira pacientemente LEGENDA Teoria T Campo Teórico Experimental T Sup Suponha Sup Abs Suponha por Absurdo MDD Método da Dedução Direta MDI Método da Dedução Indireta MDC Método da Dedução por Casos MRA Método da Redução ao Absurdo MIL Método de Indução Lógica P I Princípio da Identidade RA Resultado Anterior Seja Rotulação MP Modus Ponens CP ContraPositiva int e introdução el e eliminação el ou eliminação int ou introdução def definição do ou def definição do se e somente se el eliminação int introdução el eliminação int introdução el eliminação int introdução def Definição da Inclusão def definição da Igualdade def Definição de Vazio def U Definição de Universo AED Axioma da Ext da Def de AED U Axioma da Ext da Def de def Axioma da Ext da Def de Intersecção def Axioma da Ext da Def de União def Ax da Ext da Def de Diferença def Axioma da Ext da Def de Complementar I Demonstrar o valor lógico dos enunciados a seguir através dos Métodos de Prova 1 A A Solução Esta propriedade é denominada Reflexiva da Inclusão Rascunho x xA xA TESE A A Sup 1 xA 1 PI 2 xA 1 2 MDD 3 xA xA 3 int 4 x xA xA 4 def 5 A A Comentários Existem basicamente 2 tipos de demonstração em Teoria dos Conjuntos Este é o caso onde não aparece juntor explícito no enunciado Fazemos então um rascunho da tese Havendo neste rascunho uma subjunção seentão olhamos para o núcleo do rascunho enunciado sem quantificação e supomos o antecedente 2 AB BC AC Solução Esta propriedade é denominada Transitiva da Inclusão Rascunho x xA xC TESE AB BC AC Sup 1 AB BC 1 el 2 AB 1 el 3 BC 2 def 4 x xA xB 3 def 5 x xB xC 4 el 6 xA xB 5 el 7 xB xC Sup 8 xA 6 8 MP 9 xB 7 9 MP 10 xC 8 10 MDD 11 xA xC 11 int 12 x xA xC 12 def 13 AB BC AC 1 13 MDD 3 A A Solução Esta propriedade é denominada Reflexiva da Igualdade Rascunho x xA xA TESE A A Sup 1 xA 1 PI 2 xA 1 2 MDD 3 xA xA 3 PI 4 xA xA 3 4 int 5 xA xA 5 def 6 xA xA 6 int 7 x xA xA 7 def 8 A A 1 el 2 AB 1 el 3 BA 2 def 4 x xA xB 3 def 5 x xB xA 4 el 6 xA xB 5 el 7 xB xA 6 7 int 8 xA xB xB xA 7 def 9 xA xB 8 int 10 x xA xB 9 def 11 A B 10 def 12 AB BA A B 11 MDD 13 A B AB BA 12 Sup 1 AB BA 13 el 1 13 A B AB BA 0 14 MDD 1 el 2 AB 1 el 3 BA 2 def 4 x xA xB 3 def 5 x xB xA 4 el 6 xA xB 5 el 7 xB xA 6 7 int 8 xA xB xB xA 7 def 9 xA xB 8 int 10 x xA xB 9 def 11 A B 10 def 12 AB BA A B 11 MDD 13 A B AB BA 12 Sup 1 AB BA 13 el 1 13 A B AB BA 0 14 MDD Sup 18 xeC 13 18 MP 19 xeB 11 19 MP 20 xeA 18 20 MDD 21 xeC xeA 17 21 int 22 xeA xeC xeC xeA 22 def 23 xeA xeC 23 int 24 x xeA xeC 24 def 25 AC 1 25 MDD 26 AB BC AC 6 Solução Rascunho x xe xe TESE SupAbs 1 xe xe 1 RA 2 xe x 1 2 MDI 3 xe xe 3 int 4 x xe xe 4 def 5 7 A Solução Rascunho x xe xeA TESE A SupAbs 1 xe xeA 1 RA 2 xe xA 2 el 3 xe AED 4 x xe 4 el 5 x 3 5 int 6 xe x 1 6 MDI 7 xe xeA 7 int 8 x xe xeA 8 def 9 A 8 A U Solução Rascunho x xeA xeU TESE A U Sup 1 xeA AED U 2 x xeU 2 el 3 xeU 1 3 MDD 4 xeA xeU 4 int 5 x xeA xeU 5 def 6 A U 9 U Solução Rascunho x xe xeU 1 el 2 AB 1 el 3 BA 2 def 4 x xA xB 3 def 5 x xB xA 4 el 6 xA xB 5 el 7 xB xA 6 7 int 8 xA xB xB xA 7 def 9 xA xB 8 int 10 x xA xB 9 def 11 A B 10 def 12 AB BA A B 11 MDD 13 A B AB BA 12 Sup 1 AB BA 13 el 1 13 A B AB BA 0 14 MDD TESE U SupAbs 1 xe xeU 1 RA 2 xe xU 2 el 3 xe AED 4 x xe 4 el 5 x 3 5 int 6 xe x 1 6 MDI 7 xe xeU 7 int 8 x xe xeU 8 def 9 U 10 AA A Solução Rascunho x xeAA xeA TESE AA A Sup 1 xeAA 1 def 2 xeA xeA 2 el 3 xeA 1 3 MDD 4 xeAA xeA Sup 5 xeA 5 PI 6 xeA 5 6 int 7 xeA xeA 7 def 8 xeAA 5 8 MDD 9 xeA xeAA 4 9 int 10 xeAA xeA xeA xeAA 10 def 11 xeAA xeA 11 int 12 x xeAA xeA 12 def 13 AA A 11 AB BA Solução Esta propriedade é denominada Comutativa da Intersecção Rascunho x xeAB xeBA TESE AB BA Sup 1 xeAB 1 def 2 xeA xeB 2 el 3 xeA 2 el 4 xeB 4 3 int 5 xeB xeA 5 def 6 xeBA 1 6 MDD Sup 8 xeBA 8 def 9 xeB xeA 9 el 10 xeB 9 el 11 xeA 11 10 int 12 xeA xeB 13 xeAB 8 13 MDD 14 xeBA xeAB 7 14 int 15 xeAB xeBA xeBA xeAB 1 el 2 AB 1 el 3 BA 2 def 4 x xA xB 3 def 5 x xB xA 4 el 6 xA xB 5 el 7 xB xA 6 7 int 8 xA xB xB xA 7 def 9 xA xB 8 int 10 x xA xB 9 def 11 A B 10 def 12 AB BA A B 11 MDD 13 A B AB BA 12 Sup 1 AB BA 13 el 1 13 A B AB BA 0 14 MDD 15 def 16 xAB xBA 16 int 17 x xAB xBA 17 def 18 AB BA 12 ABC ABC Solução Rascunho x x ABC x ABC TESE ABC ABC Sup 1 x ABC 1 def 2 x AB x C 2 el 3 xAB 2 el 4 x C 3 def 5 x A x B 5 el 6 x A 5 el 7 x B 7 4 int 8 xB xC 8 def 9 x BC 6 9 int 10 xA x BC 10 def 11 x ABC 1 11 MDD 12 x ABC x ABC Sup 13 x ABC 13 def 14 x A x BC 14 el 15 xA 14 el 16 x BC 16 def 17 x B x C 17 el 18 x B 17 el 19 x C 15 18 int 20 xeA xeB 20 def 21 x AB 21 19 int 22 x AB x C 22 def 23 x ABC 13 23 MDD 24 x ABC x ABC 12 24 int 25 xeABC xeABC xeABC xeABC 25 def 26 x ABC x ABC 26 int 27 x x ABC x ABC 27 def 28 ABC ABC 13 C A C B C AB Solução Rascunho x xeC xeAB TESE C A C B C AB Sup 1 C A C B 1 el 2 C A 1 el 3 C B 2 def 4 x xeC xeA 3 def 5 x xeC xeB 4 el 6 xeC xeA 15 A Solução Rascunho x x A TESE SupAbs 1 1 def 2 2 el 3 AED 4 4 el 5 3 5 int 6 1 6 MDI 7 7 int 8 8 def 9 A Comentário Julgamos oportuno utilizar a def no Rascunho 16 Solução Rascunho x x TESE SupAbs 1 1 def 2 2 el 3 AED 4 4 el 5 3 5 int 6 1 6 MDI 7 7 int 8 8 def 9 Comentário Julgamos oportuno utilizar a def no Rascunho 17 A U A Solução Rascunho x x A U x A TESE Sup 1 1 def 2 2 el 3 1 3 MDD 4 Sup 5 AEDU 6 6 el 7 5 7 int 8 8 def 9 5 9 MDD 10 4 10 int 11 11 def 12 12 int 13 13 def 14 A U A 18 U U U 5 el 7 Sup 8 6 8 MP 9 7 8 MP 10 9 10 int 11 11 def 12 8 12 MDD 13 13 int 14 14 def 15 1 15 MDD 16 xC xB xC xA xB xA xB xAB xC xAB x xC xAB C A B C A C B C A B 14 B A A B B Solução Rascunho x x A B xB x xB xA TESE Sup 1 1 def 2 2 el 3 Sup 4 4 def 5 5 el 6 4 6 MDD 7 Sup 8 3 8 MP 9 9 8 int 10 10 def 11 8 11 MDD 12 7 12 int 13 def 14 14 int 15 def 16 1 16 MDD 17 Sup 18 def 19 el 20 def 21 el Sup 22 23 MP 24 def 25 el 26 xC xB xC xA xB xA xB xAB xB xAB xB xAB xAB xB x xAB xB ABB B A ABB ABB x xAB xB xAB xB xAB xB xB xAB xB xAB xB xAB xA xB xA xB xA x xB xA BA ABB BA B A A B B A B B BA B A A B B Solução Rascunho x x U U TESE SupAbs 1 1 RA 2 2 def 3 3 RA 4 AEDU 5 5 el 6 4 6 el 7 6 7 int 8 1 8 MDI 9 9 int 10 10 def U 11 U U U x U U x U U x U x U x U x U x xU x U x U x U x U x U U x x U U U U U 19 A A A Solução Rascunho x x A A x A TESE Sup 1 1 def U 2 2 Sup 3 3 PI 4 3 4 MDD 5 2 Sup 6 6 PI 7 6 7 MDD 8 2 5 8 MDC 9 1 9 MDD 10 Sup 11 11 int 12 12 def U 13 11 13 MDD 14 10 14 int 15 15 def 16 16 int 17 17 def 18 A A A x A A x A xA xA xA xA xA xA xA xA xA xA x A A x A xA xA xA x A A x A x A A x A A x A x A x A A x A A x A x x A A x A 20 A B B A Solução Esta propriedade é denominada Comutativa da União Rascunho x x A B x B A TESE Sup 1 1 def U 2 2 Sup 3 3 int 4 4 def U 5 A B B A x A B xA xB xA x B x A x B A 3 5 MDD 6 x A x BA 2 Sup 7 xB 7 int 8 x B x A 8 def 9 x BA 7 9 MDD 10 x B x BA 2 6 10 MDC 11 x BA 1 11 MDD 12 x AB x BA Sup 13 x BA 13 def 14 xB xA 14 Sup 15 xB 15 int 16 x A x B 16 def 17 x AB 15 17 MDD 18 x B x AB 14 Sup 19 xA 19 int 20 x A x B 20 def 21 x AB 19 21 MDD 22 x A x AB 14 18 22 MDC 23 x AB 13 23 MDD 24 x BA x AB 12 24 int 25 x AB x BA x BA x AB 25 def 26 x AB x BA 26 int 27 x x AB x BA 27 def 28 AB BA 21 ABC A BC Solução Esta propriedade é denominada Associativa da União Rascunho x x ABC x A BC TESE ABC A BC Sup 1 x ABC 1 def 2 x AB x C 2 Sup 3 x AB 3 def 4 x A x B 4 Sup 5 x A 5 int 6 x A x BC 6 def 7 x A BC 5 7 MDD 8 x A x A BC 4 Sup 9 x B 9 int 10 x B x C 10 def 11 x BC 11 int 12 x A x BC 12 def 13 x A BC 9 13 MDD 14 x B x A BC 4 8 14 MDC 15 x A BC 3 15 MDD 16 x AB x A BC 2 Sup 17 xC 17 int 18 x B x C 18 def 19 x BC 19 19 int 20 x A x BC 20 def 21 x A BC 17 21 MDD 22 x C x A BC 2 16 22 MDC 23 x A BC 1 23 MDD 24 x ABC x A BC Sup 25 x A BC 25 def 26 x A x BC 26 Sup 27 x A 27 int 28 x A x B 28 def 29 x AB 29 int 30 x AB x C 30 def 31 x ABC 27 31 MDD 32 x A x ABC 26 Sup 33 x BC 33 def 34 x B x C 34 Sup 35 x B 35 int 36 x A x B 36 def 37 x AB 37 int 38 x AB x C 38 def 39 x ABC 35 39 MDD 40 x B x ABC 34 Sup 41 x C 41 int 42 x AB x C 42 def 43 x ABC 41 43 MDD 44 x C x ABC 34 40 44 MDC 45 x ABC 33 45 MDD 46 x BC x ABC 26 32 46 MDC 47 x ABC 25 47 MDD 48 x A BC x ABC 24 48 MDC 49 xABCxABC xABCxABC 49 def 50 x ABC x ABC 50 int 51 x x ABC x ABC 51 def 52 ABC ABC 22 A AB Solução Rascunho x x A x A B TESE A AB Sup 1 x A 1 int 2 x A x B 2 def 3 x AB 1 3 MDD 4 x A x AB 4 int 5 x x A x AB 5 def 6 A AB 23 A C B C A B C Solução Rascunho x xAB xC TESE A C B C AB C Sup 1 AC BC 1 el 2 AC 1 el 3 BC 2 def 4 x xA xC 3 def 5 x xB xC 4 el 6 xA xC 5 el 7 xB xC Sup 8 xAB 8 def 9 x A x B 9 Sup 10 x A 6 10 MP 11 x C 10 11 MDD 12 xA xC 9 Sup 13 x B 7 13 MP 14 x C 13 14 MDD 15 xB xC 12 Sup 16 xC 24 A B A B B Solução Rascunho x xAB xB TESE A B AB B Sup 1 AB 1 def 2 x xA xB 2 el 3 xA xB Sup 4 xAB 4 def 5 x A x B 5 Sup 6 x A 6 int 7 x B 3 6 MP 8 xA xB 5 Sup 9 x B 8 9 PI 10 x B 8 9 10 MDD 11 xB xB 5 8 11 MDC 12 xAB xB Sup 14 xB 14 int 15 x A x B 15 def 16 x AB 14 16 MDD 17 xB x AB 16 sup 18 xAB xB xB xAB 18 def 19 xAB xB 19 int 20 x xAB xB 20 def 21 A B B 1 21 MDD 22 AB A B B 25 A A Solução Rascunho x xA xA TESE A A Sup 1 xA 1 def 2 x A x SupAbs 3 x A 2 3 el 4 x AED 5 x x 5 el 6 x 4 6 int 7 x x 3 7 MDI 8 xA 1 8 MDD 9 xA xA Sup 10 xA 10 int 11 x A x 11 def 12 xA 10 12 MDD 13 xA xA 9 13 int 14 xA xA xA xA 14 def 15 xA xA 15 int 16 x xA xA 16 def 17 A A 26 Solução Rascunho x x x TESE Sup 1 x 1 def 2 x x 2 Sup 3 x 3 PI 4 x 3 4 MDD 5 x x 2 Sup 6 x 6 PI 7 x 6 7 MDD 8 x x 2 5 8 MDC 9 x 1 9 MDD 10 x x Sup 11 x 11 int 12 x x 12 def 13 x 11 13 MDD 14 x x 10 14 int 15 x x x x 15 def 16 x x 16 int 17 x x x 17 def 18 Comentário Julgamos oportuno utilizar a def porém o exercício poderia ter sido realizado com a def Sugerimos que façam também da outra forma 27 A U U Solução Rascunho x x A U TESE A U U SupAbs 1 x A U 1 def 2 x A x U 2 RA 3 x A x U 3 el 4 x U AED U 5 x x U 5 el 6 x U 4 6 int 7 x U x U 1 7 MDI 8 x A U 8 int 9 x x A U 9 def U 10 A U U 28 U U U Solução Rascunho x x U U TESE U U U SupAbs 1 x U U 1 def 2 x U x U 2 RA 3 x U x U 3 el 4 x U AED U 5 x x U 5 el 6 x U 4 6 int 7 x U x U 1 7 MDI 8 x U U 8 int 9 x x U U 9 def U 10 U U U 29 A B A B Solução Rascunho x x A x x B x x A B TESE A B A B Sup 1 A B 1 def 2 x x A B 2 el RA 3 x A B 3 def 4 x A x B 4 RA 5 x A x B 5 el 6 x A 5 el 7 x B 6 int 8 x x A 7 int 9 x x B 8 def 10 A 9 def 11 B 10 11 int 12 A B 1 12 MDD 13 A B A B Sup 14 A B 14 el 15 A 14 el 16 B 15 def 17 x x A 16 def 18 x x B 17 el 19 x A 18 el 20 x B 19 20 int 21 x A x B 21 RA 22 x A x B 22 def 23 x A B 24 x A B 24 int 25 A B 14 26 MDD 27 A B A B 13 27 int 28 A B A B A B A B 28 def 29 A B A B 30 A BA B A B Solução Rascunho x x A x B x x A B x A B TESE A BA B A B Sup 1 A BA B 1 def 2 x x A B x A B 2 el 3 x A B x A B 3 def 4 x A B x A B x A B x A B 5 x A B x A B 4 el 6 x A B x A B 4 el Sup 7 x A 7 int 8 x A x B 8 def 9 x A B 5 9 MP 10 x A B 10 def 11 x A x B 7 12 MDD 13 x A x B Sup 14 x B 14 int 15 x A x B 15 def 16 x A B 5 16 MP 17 x A B 17 def 18 x A x B 19 x A 18 el 14 19 MDD 20 x B x A 21 x A x B x B x A 22 x A x B 23 x x A x B 24 AB 25 A BA B A B Sup 26 AB 26 def 27 xx A x B 27 el 28 x A x B 28 def 29 x A x B x B x A 29 el 30 x A x B 29 el 31 x B x A Sup 32 x A B 32 def 33 x A x B 33 Sup 34 x A 30 34 MP 35 x B 34 35 int 36 x A x B 36 def 37 x AB 34 37 MDD 38 x A x AB 33 Sup 39 x B 31 39 MP 40 x A 40 39 int 41 x A x B 41 def 42 x AB 39 42 MDD 43 x B x AB 33 38 43 MDC 44 x AB 32 44 MDD 45 x AB x AB Sup 46 x AB 46 def 47 x A x B 47 el 48 x A 48 int 49 x A x B 49 def 50 x AB 46 50 MDD 51 x AB x AB 45 51 int 52 x AB x AB x AB x AB 52 def 53 x AB x AB 53 int 54 xx AB x AB 54 def 55 AB AB 26 55 MDD 56 A B AB AB 25 56 int 57 AB AB A B A B AB AB 57 def 58 AB AB A B 31 ABC ABAC Solução Rascunho xx ABC x ABAC TESE ABC ABAC Sup 1 x ABC 1 def 2 x A x BC 2 el 3 x A 2 el 4 x BC 4 def 5 x B x C 5 Sup 6 x B 3 6 int 7 x A x B 7 def 8 x AB 8 int 9 x AB x AC 9 def 10 x ABAC 6 10 MDD 11 x B x ABAC 5 Sup 12 x C 3 12 int 13 x A x C 13 def 14 x AC 14 int 15 x AB x AC 15 def 16 x ABAC 12 16 MDD 17 x C x ABAC 5 11 17 MDC 18 x ABAC 1 18 MDD 19 x ABC x ABAC Sup 20 x ABAC 20 def 21 x AB x AC 21 Sup 22 x AB 22 def 23 x A x B 23 el 24 x A 23 el 25 x B 25 int 26 x B x C 26 def 27 x BC 24 27 int 28 x A x BC 28 def 29 x ABC 22 29 MDD 30 x AB x ABC 21 Sup 31 x AC 31 def 32 x A x C 32 el 33 x A 32 el 34 x C 34 int 35 x B x C 35 def 36 x BC 33 36 int 37 x A x BC 37 def 38 x ABC 31 38 MDD 39 x AC x ABC 21 30 39 MDC 40 x ABC 21 30 39 MDC 41 x ABAC x ABC 42 x ABC x ABAC x ABAC x ABC 42 def 43 x ABC x ABAC 43 int 44 xx ABC x ABAC 44 def 45 ABC ABAC 32 ABC ABAC Solução Rascunho xx ABC x ABAC TESE ABC ABAC Sup 1 x ABC 1 def 2 x A x BC 2 Sup 3 x A 3 int 4 x A x B 3 int 5 x A x C 4 def 6 x AB 5 def 7 x AC 6 7 int 8 x AB x AC 8 def 9 x ABAC 3 9 MDD 10 x A x ABAC 2 Sup 11 x BC 11 def 12 x B x C 12 el 13 x B 12 el 14 x C 13 int 15 x A x B 14 int 16 x A x C 15 def 17 x AB x AC 16 def 18 x ABAC 11 20 MDD 19 x ABC x ABAC Sup 20 x ABAC 24 def 21 x AB x AC 25 el 22 x AB 26 x AC 21 30 39 MDC 40 p q p q 41 p q p q Comentário Quando dentro de uma estrutura de demonstração por absurdo MDI ou MRA temos um ou e partimos dentro deste entorno para o MDC surge uma situação especialíssima e bela que denominamos falso MDC Ela é uma combinação harmoniosa de dois métodos 50 def 51 x ABC x ABAC 51 int 52 x x ABC x ABAC 52 def 53 ABC ABAC 33 AAB A Solução Rascunho x x AAB x A TESE AAB A Sup 1 x AAB 1 def 2 x A x AB 2 Sup 3 x A 3 PI 4 x A 3 4 MDD 5 x A x A 2 Sup 6 x AB 6 def 7 x A x B 7 el 8 x A 6 8 MDD 9 x AB x A 2 5 9 MDC 10 x A 1 10 MDD 11 x AAB x A Sup 12 x A 12 int 13 x A x AB 13 def 14 x AAB 12 14 MDD 15 x A x AAB 11 15 int 16 x AAB x A x A x AAB 16 def 17 x AAB x A 17 int 18 x x AAB x A 18 def 19 AAB A 34 AAB A Solução Rascunho x x AAB x A TESE AAB A Sup 1 x AAB 1 def 2 x A x AB 2 el 3 x A 1 3 MDD 4 x AAB x A Sup 5 x A 5 int 6 x A x B 6 def 7 x AB 5 7 int 8 x A x AB 8 def 9 x AAB 5 9 MDD 10 x A x AAB 11 def 12 x AAB x A 13 def 14 AAB A 35 A B BACBCA Solução Rascunho x x BAC x BCA TESE A B BAC BCA Sup 1 AB 1 def 2 x xeA xeB 2 el 3 xeA xeB Sup 4 x BAC 4 def 5 x B x A C 5 el 6 x B 7 x A C 7 def 8 x A x C 8 Sup 9 x A 9 int 10 x BC x A 10 def 11 x BCA 9 11 MDD 12 x A x BCA 8 Sup 13 x C 6 13 int 14 x B x C 14 def 15 x BC 15 int 16 x BC x A 16 def 17 x BCA 13 17 MDD 18 x C x BCA 8 12 18 MDC 19 x BCA 4 19 MDD 20 x BAC x BCA Sup 21 x BCA 21 def 22 x BC x A 22 Sup 23 x BC 23 def 24 x B x C 24 el 25 x B 25 int 26 x C 26 int 27 x A x C 27 def 28 x AC 28 int 29 x B x AC 29 def 30 x BnAC 30 23 30 MDD 31 x BnC x BnAC 22 Sup 32 x A 32 int 33 x A x C 33 def 34 x AC 34 3 32 MP 35 x B 35 34 int 36 x B x AC 37 x BnAC 37 32 37 MDD 38 x A x BnAC 31 38 MDC 39 x BnAC 22 31 38 MDC 40 x BCA x BnAC 20 40 int 41 x BnAC x BCA x BCA x BnAC 41 def 42 x BnAC x BCA 42 int 43 x x BAC x BCA 43 def 44 BACBCA 1 44 MDD 45 A B BAC BCA 36 AB AB Solução Rascunho x x AB x AB TESE AB AB Sup 1 x AB 1 def 2 xeA xB 2 el 3 xeA 3 int 4 x A x B 4 def 5 x AB 1 5 MDD 6 x AB x AB 6 int 7 x x AB x AB 7 def 8 AB AB 37 AA Solução Rascunho x x AA TESE A A Sup Abs 1 x AA 1 def 2 xeA xA 1 2 MDI 3 x AA 3 int 4 x x AA 4 def 5 A A 38 A A Solução Rascunho x x A x A TESE A A Sup 1 x A 1 def 2 xeA x 2 el 3 xeA 1 3 MDD 4 x A x A Sup 5 xeA AED 6 x xe 6 el 7 x 5 7 int 8 x A 8 def 9 x A x A 5 9 MDD 10 x A x A 4 10 int 11 x A x A x A x A 11 def 12 x A x A 12 int 13 x x A x A 13 def 14 A A 39 A Solução 118 Rascunho xx A TESE A Sup Abs 1 x A 1 def 2 x xA 2 el 3 x AED 4 xx 4 el 5 x 3 5 int 6 x x 1 6 MDI 7 x A 7 int 8 xx A 8 def 9 A 40 AB AB A Solução Rascunho xx AB x A TESE A B A B A Sup 1 AB 1 def 2 xx AB 2 el RA 3 x AB 3 def 4 x A x B 4 RA 5 x A x B Sup 6 x AB 6 def 7 x A x B 7 el 8 x A 6 8 MDD 9 x AB x A Sup 10 x A 5 10 el 11 x B 10 11 int 12 x A x B 12 def 13 x AB 10 13 MDD 14 x A x AB 9 14 int 15 x AB x A x A x AB 15 def 16 x AB x A 16 int 17 xx AB x A 17 def 18 AB A 1 18 MDD 19 AB AB A 41 AB A AB Solução Rascunho xx AB x A A B x A x A B x A x A x B x A x A x B x A x B TESE Sup 1 AB A AB 1 def 2 x AB 2 el 3 x A 2 el 4 x B 4 int 5 x A x B 5 RA 6 x A x B 6 def 7 x AB 3 7 int 8 x A x AB 8 def 9 x A AB 1 9 MDD 10 x AB x A AB Sup 11 x A AB 11 def 12 x A x A B 13 x A 12 el 14 x AB 14 def 15 x A x B 15 RA 16 x A x B 17 x B 16 13 el 18 x A x B 19 x AB 18 def 20 x A AB x AB 11 19 MDD 10 20 int 21 x AB x A AB x A AB x AB 22 x AB x A AB 23 xx AB x A AB 23 def 24 AB A AB 42 AAB AB Solução Rascunho xx AAB x AB x A x B x A x AB x A x A x B x A x A x B TESE Sup 1 AAB AB 1 def 2 x AAB 2 el 3 x A 2 el 4 x AB 4 def 5 x A x B 5 RA 6 x A x B 7 x B 6 3 el 8 x A x B 3 7 int 9 x AB 8 def 10 x AAB x AB Sup 11 x AB 11 def 12 x A x B 13 x A 12 el 14 x B 12 el 15 x A x B 16 x A x B 16 def 17 x AB 13 17 int 18 x A x AB 18 def 19 x AAB 19 def 20 x A B x AAB 10 20 int 21 x AAB x A B x A B x AAB 22 x AAB x A B 23 xx AAB x A B 23 def 24 AAB A B 43 ABB Solução Rascunho xx ABB TESE ABB Sup Abs 1 x AB B 1 def 2 x AB x B 2 el 3 x AB 4 x B 3 def 5 x A x B 5 el 6 x B 4 6 int 7 x B x B 1 7 MDI 8 int 9 xx ABB 9 def 10 ABB 44 A B AB Solução Rascunho xx AB TESE A B AB Sup 1 A B 1 def 2 xxA xB 2 el 3 xA xB Sup Abs 4 x AB 4 def 5 x A x B 5 el 6 x A 5 el 7 x B 3 6 MP 8 x B 7 8 int 9 x B x B 4 9 MDI 10 int 11 xx AB 11 def 12 AB 1 12 MDD 13 A B AB 45 ABA BA Solução Rascunho xx ABA x BA x B x A x AB x A x A x B x A TESE ABA BA Sup 1 x ABA 1 def 2 x AB x A 2 el 3 x AB 2 el 4 x A 3 def 5 x A x B 5 4 el 6 x B 6 4 int 7 x B x A 7 def 8 x BA 1 8 MDD 9 x ABA x BA Sup 10 x BA 10 def 11 x B x A 11 el 12 x B 11 el 13 x A 12 int 14 x A x B 14 def 15 x AB 15 13 int 16 x AB x A 16 def 17 x ABA 10 17 MDD 18 x BA x ABA 9 18 int 19 x ABA x BA x BA x ABA 19 def 20 x ABA x BA 20 int 21 x x ABA x BA 21 def 22 ABA BA 46 ABAB ABBA Solução Rascunho x x ABAB x AB BA x AB x BA x A x B x B x A x AB x AB x A x B x A x B x A x B x A x B TESE ABAB AB BA Sup 1 x ABAB 1 def 2 x AB x AB 2 el 3 x AB 2 el 4 x AB 3 def 5 x A x B 4 def 6 x A x B 6 RA 7 x A x B 7 Sup 8 x A x B 5 8 el 9 x B 9 int 10 x B x A 10 def 11 x BA 11 int 12 x AB x BA 12 def 13 x AB BA 8 13 MDD 14 x A x AB BA Comentário É fundamental para o aprendiz que a partir deste ponto se observe o rascunho do conseqüente da ida 7 Sup 15 x B 5 15 el 16 x A 16 15 int 17 x A x B 17 def 18 x AB 18 int 19 x AB x BA 19 def 20 x AB BA 15 20 MDD 21 x B x AB BA 7 14 21 MDC 22 x AB BA 1 22 MDD 23 x ABAB x AB BA Sup 24 x AB BA 24 def 25 x AB x BA 25 Sup 26 x AB 26 def 27 x A x B 27 el 28 x A 27 el 29 x B Comentário É fundamental para o aprendiz que a partir deste ponto se observe o rascunho do conseqüente da volta 28 int 30 x A x B 29 int 31 x A x B 30 def 32 x AB 31 RA 33 x A x B 33 def 34 x AB 32 34 int 35 x AB x AB 35 def 36 x ABAB 26 36 MDD 37 x AB x ABAB 25 Sup 38 x BA 38 def 39 x B x A 39 el 40 x B 39 el 41 x A 40 int 42 x A x B 41 int 43 x A x B 42 def 44 x AB 43 RA 45 x A x B 45 def 46 x AB 44 46 int 47 x AB x AB 47 def 48 x ABAB 38 48 MDD 49 x BA x ABAB 25 37 49 MDC 50 x ABAB 24 50 MDD 51 x AB BA x ABAB 23 51 52 x ABAB x AB BA 52 def 53 x ABAB x AB BA 53 int 54 x x ABAB x AB BA 54 def 55 AB AB AB BA 47 Cᴮₐ A Solução Lembremos que esta notação só pode ser usada se valer como hipótese BA Rascunho x x Cᴮₐ x A TESE Cᴮₐ A Hip 1 BA 1 def 2 x x B x A 2 el 3 x B x A Sup 4 x Cᴮₐ 1 4 def 5 x A x B 5 el 6 x A 4 6 MDD 7 x Cᴮₐ x A 7 int 8 x x Cᴮₐ x A 8 def 9 Cᴮₐ A 48 Cᴮₐ B Ø Solução Lembremos que esta notação só pode ser usada se valer como hipótese BA Rascunho x x Cᴮₐ B TESE Cᴮₐ B Ø Hip 1 BA 1 def 2 x x B x A 2 el 3 x B x A Sup Abs 4 x Cᴮₐ B 4 def 5 x Cᴮₐ x B 5 el 6 x Cᴮₐ 5 el 7 x B 1 6 def 8 x A x B 8 el 9 x B 7 9 int 10 x B x B 4 10 MDI 11 x Cᴮₐ B 12 x x Cᴮₐ B 13 Cᴮₐ B Ø 49 Cᴮₐ B A Solução Lembremos que esta notação só pode ser usada se valer como hipótese BA Rascunho x x Cᴮₐ B x A x Cᴮₐ x B x A x B x B TESE Cᴮₐ B A Hip 1 BA 1 def 2 x x B x A 2 el 3 x B x A Sup 4 x Cᴮₐ B 4 def 5 x Cᴮₐ x B 5 Sup 6 x Cᴮₐ 1 6 def 7 x A x B 7 el 8 x A 6 8 MDD 9 x Cᴮₐ x A 5 Sup 10 x B 3 10 MP 11 x A Comentário A hipótese de trabalho é admitida na Teoria T Deve ser dissecada como feito nos passos 2 e 3 Neste exercício por exemplo não foi utilizada pois AB A mas em outros será condição sine qua non para se obter o enunciado desejado Ao aplicarmos a definição de complementar citamos a hipótese legitimadora Comentário Os Resultados Anteriores não mais serão colocados ao lado salvo se forem não usuais Esperase que a esta altura o aluno já os conheça de forma a não precisar do lembrete 10 11 MDD 12 x B x A 5 9 12 MDC 13 x A 4 13 MDD 14 x CB A B x A Sup 15 x A Sup Abs 16 x CB A B 17 x CB A x B 18 x CB A x B 19 x CB A 20 x B 19 RA 21 x CB A 22 x A x B 23 x A x B 22 RA 24 x B 23 el 25 x B x B 16 25 MDI 26 x CB A B 15 26 MDD 27 x A x CB A B 14 27 int 28 x CB A B x A x A x CB A B 28 def 29 x CB A B x A 29 int 30 x x CB A B x A 30 def 31 CB A B A 50 CA Solução Lembremos que esta notação só pode ser usada se valer como hipótese AA Rascunho x x CA TESE CA Hip 1 AA Sup Abs 2 x CA 3 x A x A 1 2 def 4 x CA 2 3 MDI 5 x x CA 5 def 6 CA Comentário Com a prática antecipase a necessidade ou não de se desmembrar a hipótese No caso em tela não é necessário Além disso em alguns casos a hipótese é na verdade um teorema já demonstrado na Teoria T tal como ACA 5 11 int 12 x CA⁰ x A x A x CA⁰ 12 def 13 x CA⁰ x A 13 int 14 x x CA⁰ x A 14 def 15 CA⁰ A 52 CBNC A CB A CC A Solução Lembremos que esta notação só pode ser usada se valer como hipótese B C A BA CA Rascunho x x CBNC A x CB A CC A x CB A x CC A x CB A x CC A x A x B x A x C x A x B C x A x B x C x A x B x C TESE CBNC A CB A CC A Hip 1 B C A Hip 2 BA Hip 3 CA 2 def 4 x x B x A 3 def 5 x x C x A 4 el 6 x B x A 5 el 7 x C x A Sup 8 x CB A 9 x A x B C 9 el 10 x A 11 x B C 9 RA 12 x B x C 11 def 13 x B x C 10 7 int 14 x B 15 x A x B 16 x CB A 17 x CB A x CC A 18 x CB A CC A 19 x B x CB A CC A 20 x C x CB A CC A 21 x A x C 22 x CC A 23 x CB A x CC A 24 x CB A CC A 25 x C x CB A CC A 26 x CB A CC A 27 x CBNC A x CB A CC A Sup 28 x CB A CC A 29 x CB A x CC A 30 x CB A 31 x A x B 32 x A 31 el 33 x B 33 int 34 x B x C 34 RA 35 x B x C 35 def 36 x B C 32 36 int 37 x A x B C 1 37 def 38 x CBNC A 30 38 MDD 39 x CBA x CBNC A 29 Sup 40 x CC A 3 40 def 41 x A x C 41 el 42 x A 41 el 43 x C 43 int 44 x B x C 44 RA 45 x B x C 45 def 46 x B C 42 46 int 47 x A x B C 1 47 def 48 x CBNC A 40 48 MDD 49 x CC A x CBNC A 29 39 49 MDC 50 x CBNC A 28 50 MDD 51 x CB A CC A x CBNC A 27 51 int 52 x CBNC A x CB A CC A x CB A CC A x CBNC A 52 def 53 x CBNC A x CB A CC A 53 int 54 x x CBNC A x CB A CC A 54 def 55 CBNC A CB A CC A 53 CB A B Solução Esta notação só pode ser usada se valer como hipótese BA e CB A Rascunho x x CB A x B x A x CB A x A x A x B x A x A x B TESE CB A B Hip 1 BA 1 Hip 2 CB A A 1 def 3 x x B x A 3 el 4 x B x A Sup 5 x CB A 2 5 def 6 x A x CB A 6 el 7 x A 6 el 8 x CB A 1 8 def 9 x A x B 9 RA 10 x A x B 10 7 el 11 x B 5 11 MDD 12 x CB A x B Sup 13 x B 4 13 MP 14 x A 13 int 15 x A x B Comentário Enuncie todas as hipóteses e desmembre as que julgar necessário 15 RA 16 x A x B 1 16 def C 17 x CAB 14 17 int 18 x A x CAB 2 18 def C 19 x CAB 13 19 MDD 20 x B x CAB 12 20 int 21 x CCAA x B x B x CCAB 22 x CCAA x B 22 int 23 xx CCAB x B 23 def 24 CCAB B 54 CABUC CBA CAC Solução Esta notação só pode ser usada se valer como hipótese BA CA e BC A Rascunho xx CABUC x CBA CAC x CBA x CAC x A x B x A x C x A x BC x A x B x C x A x B x C TESE Hip 1 B A Hip 2 C A Hip 3 B C A 1 def 4 xx B x A 2 def 5 xx C x A 4 el 6 x B x A 5 el 7 x C x A Sup 8 x CABUC 3 8 def C 9 x A x B C 9 el 10 x A 9 el 11 x B C 11 def U 12 x B x C 12 RA 13 x B x C 13 el 14 x B 13 el 15 x C 10 14 int 16 x A x B 10 15 int 17 x A x C 18 x CBA 1 16 def C 19 x CAC 2 17 def C 20 x CBA x CAC 18 19 int 21 x CBA CAC 20 def 22 x CABUC x CBA CAC Sup 23 x CBA CAC 23 def 24 x CBA x CAC 24 el 25 x CBA 129 TESE A CA U Sup Abs 1 x A CA 1 def 2 x A x CA 2 RA 3 x A x CA 3 el 4 x A 3 el RA 5 x CA 5 def C 6 x A 6 RA 7 x A 4 7 int 8 x A x A 1 8 MDI 9 x A CA 9 int 10 xx A CA 10 def U 11 A CA U 58 A B CB CA Solução Rascunho xx CB x CA xx A x B TESE A B CB CA Sup 1 A B 1 def 2 xx A x B 2 el 3 x A x B Sup 4 x CB 4 def C 5 x B Sup Abs 6 x CA 6 def C 7 x A 7 RA 8 x A 3 8 MP 9 x B 5 9 int 10 x B x B 6 10 MDI 11 x CA 4 11 MDD 12 x CB x CA 12 int 13 xx CB x CA 13 def 14 CB CA 1 14 MDD 15 A B CB CA Sup 16 CB CA 16 def 17 xx CB x CA 17 el 18 x CB x CA Sup 19 x A Sup Abs 20 x B 20 def C 21 x CB 18 21 MP 22 x CA 22 def C 23 x A 19 23 int 24 x A x A 20 24 MDI 25 x B 19 25 MDD 26 x A x B 27 xx A x B 28 A B 16 28 MDD 29 CB CA A B 24 el 26 x CAC 1 25 def C 27 x A x B 2 26 def C 28 x A x C 27 el 29 x A 27 el 30 x B 28 el 31 x C 30 31 int 32 x B x C 32 RA 33 x B x C 33 def 34 x B C 29 34 int 35 x A x B C 3 35 def C 36 x CABUC 23 36 MDD 37 x CBA CAC x CABUC 22 37 int 38 x CABUC x CBA CAC x CBA CAC x CABUC 38 def 39 x CABUC x CBA CAC 39 int 40 xx CABUC x CBA CAC 40 def 41 CABUC CBA CAC 55 C U Solução Rascunho xx C TESE Sup Abs 1 x C 1 def C 2 x 2 RA 3 x AED 4 xx 4 el 5 x 3 5 int 6 x x 1 6 MDI 7 x C 7 int 8 xx C 8 def U 9 C U 56 A CA Solução Rascunho xx A CA TESE Sup Abs 1 x A CA 1 def 2 x A x CA 2 el 3 x A 2 el 4 x CA 4 def C 5 x A 3 5 int 6 x A x A 1 6 MDI 7 x A CA 7 int 8 xx A CA 8 def 9 A CA 57 A CA U Solução Rascunho xx A CA 15 29 int 30 A B ᴄᴮ ᴄᴬ ᴄᴮ ᴄᴬ A B 30 def 31 A B ᴄᴮ ᴄᴬ 59 ᴄᴄᴬ A Solução Rascunho x x ᴄᴄᴬ x A TESE ᴄᴄᴬ A Sup 1 x ᴄᴄᴬ 1 def ᴄ 2 x ᴄᴬ 2 RA 3 x ᴄᴬ 3 def ᴄ 4 x A 4 RA 5 x A 1 5 MDD 6 x ᴄᴄᴬ x A Sup 7 x A Sup Abs 8 x ᴄᴄᴬ 8 def ᴄ 9 x ᴄᴬ 9 RA 10 x ᴄᴬ 10 def ᴄ 11 x A 7 11 int 12 x A x A 8 12 MDI 13 x ᴄᴄᴬ 7 13 MDD 14 x A x ᴄᴄᴬ 6 14 int 15 x ᴄᴄᴬ x A x A x ᴄᴄᴬ 15 def 16 x ᴄᴄᴬ x A 16 int 17 x x ᴄᴄᴬ x A 17 def 18 ᴄᴄᴬ A 60 A B A ᴄᴮ Solução Rascunho x x A x ᴄᴮ x x A B TESE A B A ᴄᴮ Sup 1 A B 1 def 2 x x A B 2 el RA 3 x A B 3 def 4 x A x B 4 RA 5 x A x B Sup 6 x A 5 6 el 7 x B 7 def ᴄ 8 x ᴄᴮ 6 8 MDD 9 x A x ᴄᴮ 9 int 10 x x A x ᴄᴮ 10 def 11 A ᴄᴮ 1 11 MDD Sup 13 A ᴄᴮ 13 def 14 x x A x ᴄᴮ 14 el Sup Abs 16 x A B 16 def 17 x A x B 17 el 18 x A 19 x B 20 x ᴄᴮ 21 x B 22 x B x B 23 x A B 24 xx A B 25 A B 26 A ᴄᴮ A B 27 A B A ᴄᴮ A ᴄᴮ A B 28 A B A ᴄᴮ 61 A B A ᴄᴮ ᴄᴮ Solução Rascunho x x A ᴄᴮ x ᴄᴮ TESE A B A ᴄᴮ ᴄᴮ Sup 1 A B 1 def 2 x x A B 2 el RA 3 x A B 3 def 4 x A x B 4 RA 5 x A x B Sup 6 x A ᴄᴮ 6 def 7 x A x ᴄᴮ 7 Sup 8 x A 5 8 el 9 x B 5 8 el 10 x ᴄᴮ 9 def ᴄ 11 x A x ᴄᴮ 8 10 MDD 12 x ᴄᴮ 7 Sup 13 x ᴄᴮ 12 PI 14 x ᴄᴮ x ᴄᴮ 12 13 MDD 15 x ᴄᴮ 14 ᴄᴮ 16 x A ᴄᴮ x ᴄᴮ 6 15 MDD Sup 17 x ᴄᴮ 17 def ᴄ 18 x B Sup Abs 19 x A ᴄᴮ 19 def 20 x A x ᴄᴮ 20 RA 21 x A x ᴄᴮ 21 RA 22 x ᴄᴮ 22 def ᴄ 23 x B 23 def ᴄ 24 x B x B 24 int 25 x A ᴄᴮ 19 24 MDI 26 x ᴄᴮ x A ᴄᴮ 17 25 MDD 27 x A ᴄᴮ x ᴄᴮ x ᴄᴮ x A ᴄᴮ 28 x A ᴄᴮ x ᴄᴮ 28 int 29 x x A ᴄᴮ x ᴄᴮ 29 def 30 A ᴄᴮ ᴄᴮ 17 el 18 x A 17 el 19 x B 1518 MP 20 x ᴄᴮ 20 def ᴄ 21 x B 19 21 int 22 x B x B 16 22 MDI 23 x A B 23 int 24 x x A B 24 def 25 A B 13 25 MDD 26 A ᴄᴮ A B 12 26 int 27 def 28 A B A ᴄᴮ A ᴄᴮ A B 27 def 28 A B A ᴄᴮ 61 A B A ᴄᴮ ᴄᴮ Solução Rascunho x x A ᴄᴮ x ᴄᴮ TESE A B A ᴄᴮ ᴄᴮ Sup 1 A B 1 def 2 el RA 3 def 4 RA 5 x A x B Sup 6 x A ᴄᴮ 6 def 7 x A x ᴄᴮ 7 Sup 8 x A 5 8 el 9 x B 5 8 el 10 x ᴄᴮ 9 def ᴄ 11 x A x ᴄᴮ 8 10 MDD 12 x ᴄᴮ 7 Sup 13 x ᴄᴮ 12 PI 14 x ᴄᴮ x ᴄᴮ 12 13 MDD 15 x ᴄᴮ 14 ᴄᴮ 16 x A ᴄᴮ x ᴄᴮ 6 15 MDD Sup 17 x ᴄᴮ 17 def ᴄ 18 x B Sup Abs 19 x A ᴄᴮ 19 def 20 x A x ᴄᴮ 20 RA 21 x A x ᴄᴮ 21 RA 22 x ᴄᴮ 22 def ᴄ 23 x B 23 def ᴄ 24 x B x B 24 int 25 x A ᴄᴮ 19 24 MDI 26 x ᴄᴮ x A ᴄᴮ 17 25 MDD 27 x A ᴄᴮ x ᴄᴮ x ᴄᴮ x A ᴄᴮ 28 x A ᴄᴮ x ᴄᴮ 28 int 29 x x A ᴄᴮ x ᴄᴮ 29 def 30 A ᴄᴮ ᴄᴮ 1 30 MDD 31 A B A ᴄᴮ ᴄᴮ 62 A B A ᴄᴮ Solução Rascunho x x A ᴄᴮ x x A x B TESE A B A ᴄᴮ Sup 1 A B 1 def 2 x x A x B 2 el 3 x A x B Sup Abs 4 x A ᴄᴮ 16 def 5 x A x ᴄᴮ 5 el 6 x A 5 el 7 x ᴄᴮ 7 def ᴄ 8 x B 3 6 MP 9 x B 3 6 MP 10 x B x B 8 9 int 11 x A ᴄᴮ 4 10 MDI 12 x x A ᴄᴮ 11 int 13 A ᴄᴮ 12 def 14 A B A ᴄᴮ Sup 15 A ᴄᴮ 15 def 16 x x A ᴄᴮ 16 el 17 x A ᴄᴮ 17 RA 18 x A x ᴄᴮ 18 def 19 x A x ᴄᴮ 19 RA Sup 20 x A 21 x ᴄᴮ 22 x ᴄᴮ 23 x B 24 x B 25 x A x B 26 x A x B 27 A B 28 A ᴄᴮ A B 14 28 int 29 def 30 A B A ᴄᴮ 63 A B A B U B ᴄᴬ Solução Rascunho x x B x ᴄᴬ TESE A B A B U B ᴄᴬ Sup 1 A B A B U 1 el 2 A B 3 A B U 4 x x A B 5 x x A B 6 x A B 5 el 6 def 7 def 8 RA Sup 10 11 el 12 def C 11 13 MDD 14 int 15 def 1 16 MDD 64 A B A Cᴮ Cᵃ B Solução Rascunho x x A Cᴮ Cᵃ B x x A x B TESE Sup 1 A B A Cᴮ Cᵃ B 1 def 2 A B 2 el 3 x x A x B 3 def 4 x A x B 4 el 5 x A x B 4 el 6 x B x A Sup Abs 7 x A Cᴮ Cᵃ B 7 def 8 x A Cᴮ x Cᵃ B 8 Sup Abs 9 x A Cᴮ 9 def 10 x A x Cᴮ 10 el 11 x A 10 el 12 x Cᴮ 12 def C 13 x B 5 11 MP 14 x A x B 14 def 15 x A B 9 15 MDD 16 x A Cᴮ x A B 8 16 int 17 x A B x A Cᴮ x A Cᴮ x A B 17 def 18 x A B x A Cᴮ 18 int 19 xx A B x A Cᴮ 19 def 20 A B A Cᴮ 1 30 MDD Sup 32 def 33 el RA 34 def 35 RA 36 el RA 36 el RA 37 def 38 def 39 RA 40 RA Sup 41 43 el 44 RA 45 def C 46 RA 43 47 MDD Sup 42 49 el 50 RA 51 def C 52 RA 49 53 MDD 48 54 int 55 def 56 int 57 def 32 58 MDD 31 59 int 60 def 31 A B A Cᴮ Cᵃ B 32 A Cᴮ Cᵃ B 33 x x A Cᴮ Cᵃ B 34 x A Cᴮ Cᵃ B 35 x A Cᴮ x Cᵃ B 36 x A Cᴮ x Cᵃ B 37 x A Cᴮ 38 x Cᵃ B 39 x A x Cᴮ 40 x Cᵃ x B 41 x A x Cᴮ 42 x Cᵃ x B 43 x A 44 x Cᴮ 45 x Cᴮ 46 x B 47 x B 48 x A x B 49 x B 50 x Cᵃ 51 x Cᵃ 52 x A 53 x A 54 x B x A 55 x A x B x B x A 56 x A x B 57 x x A x B 58 A B 59 A Cᴮ Cᵃ B A B 60 A B A Cᴮ Cᵃ B A Cᴮ Cᵃ B A B 61 A B A Cᴮ Cᵃ B 65 A B A Cᴮ Solução Rascunho x x A B x A Cᴮ x A x B x A x B TESE Sup 1 A B A Cᴮ 1 def 2 x A B 3 x A x B 2 el 4 x A 2 el 5 x B 4 def C 6 x Cᴮ 3 5 int 7 x A x Cᴮ 6 def 8 x A B x A Cᴮ Sup 9 x A Cᴮ 9 def 10 x A x Cᴮ 10 el 11 x A 10 el 12 x Cᴮ 12 def C 13 x B 5 11 MP 14 x A x B 14 def 15 x A B 9 15 MDD 16 x A Cᴮ x A B 8 16 int 17 x A B x A Cᴮ x A Cᴮ x A B 17 def 18 x A B x A Cᴮ 18 int 19 xx A B x A Cᴮ 19 def 20 A B A Cᴮ 66 CA B Cᵃ B Solução Rascunho x x CA B x Cᵃ B x A x B x A x B x A x B TESE Sup 1 CA B Cᵃ B 1 def C 2 x CA B 2 RA 3 x A B 3 def 4 x A x B 4 RA 5 x A x B 5 Sup 6 x A 6 def C 7 x Cᵃ 7 int 8 x Cᵃ x B 8 def 9 x A x Cᵃ B 6 9 MDD 11 x B 11 Sup 12 x Cᵃ x B 12 def 13 x Cᵃ B 11 13 MDD 14 x CA B x Cᵃ B 17 x Cᵃ B 18 x Cᵃ x B 19 x Cᵃ 20 x A 21 x A x B 22 x A x B 23 x A B 24 x A B 25 x CA B 26 x Cᵃ x CA B 18 Sup 27 x B 27 vint 28 x A x B 28 RA 29 x A x B 29 def 30 x AB 30 RA 31 x AB 31 def 32 x CAB 27 32 MDD 33 x B x CAB 18 26 33 MDC 34 T x CAB 17 34 MDD 35 T x CAB x CAB 16 35 int 36 T x CAB x CA B x CAB x CAB 36 def 37 T x CAB x CA B 37 int 38 xx CAB x CA B 38 def 39 CAB CA B 67 CAB CA CB Solução Rascunho x x CAB x CA CB x A x B x A x B x A x B TESE Sup 1 CAB CA CB 1 def 2 x CAB 2 RA 3 x AB 3 def 4 x A x B 4 RA 5 x A x B 5 Sup 6 x A 6 def 7 x CA 7 vint 8 x CA x CB 8 def 9 x CA CB 6 9 MDD 10 x A x CA CB 5 Sup 11 x B 11 def 12 x CB 12 vint 13 x CA x B 13 def 14 x CA B 11 14 MDD 15 x B x CA CB 5 10 15 MDC 16 x CA CB 1 16 MDD 17 x CAB x CA CB Sup 18 x CA CB 18 def 19 x CA x CB 19 Sup 20 x CA 20 def 21 vint 22 x A x B 22 RA 23 x A x B 23 def 24 x AB 24 RA 25 x AB 25 def 26 x CAB 20 26 MDD 27 x CA x CAB 19 Sup 28 x CB 28 def 29 x B 29 vint 30 x A x B 30 RA 31 x A x B 31 def 32 x AB 32 RA 33 x AB 33 def 28 34 MDD 35 x CB x CAB 19 27 35 MDC 36 x CAB 18 36 MDD 37 x CAB x CAB 17 37 int 38 x CAB x CA CB x CAB x CAB 38 def 39 x CAB x CA CB 39 int 40 xx CAB x CACB 40 def 41 CAB CA CB II Determinar o conjunto X a partir das condições dadas CONDIÇÕES U 12345678910 A Ø B 1 3 68 XA U XA Ø A 1 Solução XA12345678910 XA Ø A 1 X 2345678910 Resposta X 2345678910 69 AX XA 45 Solução AX XA 45 X 45 Resposta X 45 Comentário Os pontinhos aqui serão para representar os elementos faltantes e não determinados 70 AX 3 XA 2 3 4 AB 1 2 3 Solução De AX 3 temos que A 3 e X 3 De XA 2 3 4 AB 1 2 3 temos que 4A e portanto 4X Assim X 3 4 Como B 1 3 AB 1 2 3 2A isto é A 2 3 Como AX 3 e A 2 3 2X Como até aqui X 3 4 XA 2 3 4 2X X 3 4 Resposta X 3 4 71 XA Ø AB Ø XA 1 2 X Ø Solução B 1 3 AB Ø 1A 3A XA 1 2 1A 3A 3A 1A 1A XA Ø 1X XA 1 2 1X X Ø X 2 Resposta X 2 138 CONDIÇÕES A x y z B z w C x y w 72 XB AC XB Ø Solução i XB AC Xz w x y z w Daí temos X x y ii XB Ø zX wX De i e ii temos X x y Resposta X x y 73 Xx y z wx y z w v Xz wx z w v Xy z wz Solução Xx y z w x y z w v X v Xz w x z w v X x v Xy z w z X x z v yX wX De Xx y z wx y z w v Xx z v yX wX Xx z v Resposta X x z v CONDIÇÕES A 1 2 3 4 5 B 1 2 4 6 8 C 2 4 5 7 74 X A A X BC Solução i X 1 2 3 4 5 ii 1 2 3 4 5 X 2 4 De i e ii podemos obter X 1 3 5 Resposta X 1 3 5 III Determinar os conjuntos solicitados CONDIÇÕES ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 AB 1 2 5 6 7 8 9 AC 2 3 4 5 6 7 8 9 AB 6 7 AC 5 6 BC 2 6 75 A B e C Solução Comentário Iniciase com a marcação das intersecções dos elementos mais comuns aos menos comuns Resposta A 5 6 7 8 9 B 1 2 6 7 C 2 3 4 5 6 CONDIÇÕES A Faculdade de São João do Mato Dentro vai dar uma Festa de Boas Vindas para calouros e esta será realizada com 1400 pessoas A faculdade possui 2 cursos Engenharia e Informática Sabese que os alunos de Engenharia são 600 e há 400 que fazem ambos os cursos 76 Quantos alunos fazem somente Informática Solução 200 400 800 Resposta A cardinalidade do conjunto dos alunos que fazem somente o curso de Informática se expressa por IE Sendo que IE 800 CONDIÇÕES No Instituto Universitário Bom de Cuca há 2000 estudantes de Ciências Humanas Entretanto 1400 fazem o curso de Direito 900 o curso de Economia e 550 o curso de Sociologia O que resulta em um número de inscrições maior que o total de alunos do instituto Sabese ainda que 150 fazem Sociologia e Direito e que 250 fazem Sociologia e Economia Sabese também que 100 alunos fazem os 3 cursos 77 Quantos alunos fazem Direito e Economia se 700 fazem somente Direito Solução 700 550 100 50 100 150 250 Resposta DE 650 Comentário O número de elementos de um certo conjunto A denominase cardinalidade de A e representase como A Comentário Iniciase com a marcação das intersecções dos elementos mais comuns aos menos comuns