Teoria Elementar dos Conjuntos - Conceitos e Aplicações

CAPÍTULO 7 7 TEORIA ELEMENTAR DOS CONJUNTOS Iniciaremos agora nosso estudo acerca dos conjuntos A chamada Matemática Moderna caracterizase pelo fato de ter seus fundamentos alicerçados na Teoria dos Conjuntos Esta forma de construir a Matemática teve início no século XIX e demorou algum tempo para chegar ao Brasil Ainda hoje nas salas de aula do Ensino Fundamental e do Ensino Médio e incredibilissimamente também no ensino superior a Teoria dos Conjuntos é apresentada de uma forma ingênua e fica desconectada dos demais tópicos Por exemplo se perguntarmos ao recém chegado à universidade o que uma função do tipo seno ou do tipo polinomial tem a ver com conjuntos este não saberá responder salvo raríssimas exceções Não obstante o estudante aprende conjuntos gosta porém acha que não serve para nada Deixando agora os problemas do ensino de massa e iniciando nossas considerações propriamente ditas já comentamos que ao menos uma forma ingênua ou intuitiva de conjuntos já fazia parte da sistemática prélógica Idéias como relações biunívocas na contagem remontam a períodos muito antigos Cremos que vários conceitos intuitivos algumas operações e mesmo algumas relações possam ser colocadas no âmbito da sistemática Aqui iremos desenvolver a Teoria dos Conjuntos baseandonos naquilo que anteriormente vimos em Lógica 71 CONCEITOS OSTENSIVOS OU INTUITIVOS Da mesma forma que nos munimos dos conceitos de termo e enunciado intuitivamente a partir de sensações iremos nos munir dos conceitos de elemento e conjunto Os jogadores de um time de futebol formam uma equipe Esta equipe é o conjunto de jogadores que possui um rótulo Flamengo Palmeiras Vasco Cruzeiro Corinthians Grêmio etc Cada jogador é um elemento do conjunto O vínculo que cada jogador possui com sua equipe ou o vínculo que cada elemento possui com seu conjunto é a pertinência Assim temos Jogador termo é um elemento Equipe termo é um conjunto O jogador pertence a sua equipe enunciado Desta forma temos que certos elementos pertencem a certos conjuntos Convenção 10 Para rotular elementos utilizaremos letra minúsculas do nosso alfabeto Convenção 11 Para rotular conjuntos utilizaremos letras maiúsculas de nosso alfabeto Convenção 12 Para designar a pertinência entre elemento e conjunto utilizaremos o símbolo predicado Convenção 13 Para designar a não pertinência entre elemento e conjunto utilizaremos o símbolo predicado Axiomas 17 18 Axiomas da Combinabilidade da Definição do Juntor NÃO e das Convenções dos Predicados e e xA xA xA xA 72 TIPOS DE REPRESENTAÇÕES EM TEORIA DOS CONJUNTOS Na teoria dos Conjuntos é habitual representar os elementos dos conjuntos das seguintes formas i Tabular ou Enumerativa ii Propriedade iii Diagrama Veremos agora estas formas individualmente 721 TABULAÇÃO OU ENUMERAÇÃO Caso nos interesse representar coletivamente as vogais de nosso alfabeto podemos escrever as mesmas entre chaves e rotular o conjunto com uma letra maiúscula A aeiou Assim sendo temos que aA iA xA uA zA No caso em tela nossa representação tabular exibiu cada um dos elementos do conjunto das vogais Algumas vezes entretanto essa total representação tornase desnecessária ou cansativa Vejamos o caso de querermos representar os 51 primeiros números Naturais Podemos então proceder da seguinte maneira B 012344950 Ao atentarmos para a representação percebemos que os 3 pontinhos entre vírgulas estão por representar os 44 naturais faltantes Percebese ainda que não haveria dificuldade de se imaginar o próximo a ser representado depois do 4 e tampouco o anterior ao 49 Esta técnica de representação obriga entretanto uma ordem que não é obrigatória normalmente neste tipo de representação C 1234 4321 1324 4231 Se tentássemos fazer o mesmo com os pontinhos isso não seria possível B 012344950 501349420 D O conjunto D percebese ininteligível ou seja os pontinhos não indicam precisamente quem seriam os elementos Assim sendo a técnica de suprimir elementos e substituir por pontinhos deve ser utilizada com cautela não havendo possibilidade de dubiedades ou qualquer outro tipo de querela Desde que não haja nenhuma querela podemos inclusive representar conjuntos onde seria impossível listar exaustivamente os elementos1 E 123 10100 F 123 No primeiro exemplo temos um número muito grande de elementos o último elemento que nesse caso específico também serve como quantidade de elementos do conjunto em tela possui um nome esquisito gugolplex ou ainda 10 elevado a 10100 ou 10 elevado a um gugol Quando iniciamos nosso curso de Matemática no início dos anos 80 nossa curiosidade agucada levounos a certas curiosidades matemáticas Eis que agora as aproveitamos em textos mais sérios Este conjunto E levaria algumas gerações para ser representado por enumeração tal como feito no conjunto A Escrever 1 bilhão de números 1000000000 109 a maioria com mais de 4 dígitos deve dar um trabalhão Imaginem escrever 10100 Isto é um gugol de números Imaginem agora escrever um gugolplex de números No segundo exemplo temos um conjunto F representado com pontinhos ao final Isto significa que não há um maior número e o conjunto não possui um referencial final à direita à esquerda este referencial é 1 Dizemos que o conjunto não possui um limite à direita o que no caso significa que ele aumenta indefinidamente sua quantidade de elementos isto é é um conjunto infinito2 As questões de representação nos catapultaram a estes conceitos de infinito finito limitado e ilimitado Porém deixaremos um tratamento mais preciso para outros textos e aqui ficaremos com essas noções mais intuitivas em face do pouco instrumental que dispomos ao iniciarmos a Teoria dos Conjuntos Fica porém a curiosidade do leitor aguçada Finalizando o conjunto F que utiliza pontinhos em sua representação tabular está representado de forma satisfatória para os objetivos em curso 722 PROPRIEDADE Podemos ao invés de representar enumerativamente os elementos de um conjunto caracterizálos através de enunciados abertos Vejamos os conjuntos já anteriormente descritos A aeiou A x Alfabeto Latino x é uma vogal Lêse A é o conjunto dos elementos do tipo x pertencentes ao conjunto de letras do Alfabeto Latino tal que x é uma vogal³ B 012344950 B xN x 50 Lêse B é o conjunto dos elementos do tipo x pertencentes ao conjunto dos números Naturais tal que x é menor ou igual a 50 Dessa forma os elementos do conjunto serão todos aqueles que tornam o enunciado aberto num enunciado verdadeiro e conseqüentemente fechado C 1234 C xN 1 x 4 Lêse C é o conjunto dos elementos do tipo x pertencentes ao conjunto dos números Naturais tal que x é maior ou igual a 1 e x é menor ou igual a 4 D 501349420 O conjunto D parece ser um conjunto formado de números naturais Porém esta forma de representação errônea acima apresentada não permite formular uma lei de formação adequada e precisa Sendo assim não se pode representar algo que minimamente não se conhece E 123 10¹⁰ E xN 1 x 10¹⁰ O conjunto acima apesar de ser muito grande nessa forma de representação não difere em absoluto do conjunto C F 123 F xN x 1 Lêse F é o conjunto dos elementos do tipo x pertencentes ao conjunto dos números Naturais tal que x é maior ou igual a 1 Também o último exemplo motivo de comentários na forma de representação enumerativa não apresentou nenhuma dificuldade na forma de representação por propriedade 723 DIAGRAMAS Existem diversas formas de diagramas Quando na forma de circunferência denominase diagrama de EulerVenn em homenagem a dois matemáticos Aqui utilizaremos diagramas quaisquer A a e i o u aA eA zA iA B 1 2 3 4 49 50 F 1 2 3 4 Aqui também utilizamos a técnica oA vA uA dos 3 pontinhos só que na vertical 73 COMPARAÇÃO DE CONJUNTOS Na teoria dos Conjuntos podemse comparar dois conjuntos qualitativamente ou quantitativamente Para compararmos dois conjuntos quantitativamente precisamos de uma técnica de contagem coisa que no momento ainda não dispomos Assim sendo a comparação que faremos neste momento é a qualitativa Nesta comparação qualitativa devemos comparar nos conjuntos quem são os elementos de um e de outro conjunto Dois conjuntos podem ser iguais ou diferentes No caso de serem diferentes por vezes utilizaremos os predicados está contido e não está contido e as explicações abaixo nos farão compreender os casos de seu uso Tomemos abstratamente A e B como conjuntos 1 A B isto é possuem exatamente os mesmos elementos 2 A B isto é não possuem exatamente os mesmos elementos a AB e BA isto é todos os elementos de A encontramse também em B Mas o inverso não ocorre caso contrário seriam iguais⁴ Alguns autores escrevem AB b AB isto é não é o caso de todos os elementos de A estarem também em B i BA e AB isto é todos os elementos de B encontramse também em A Mas o inverso não ocorre caso contrário seriam iguais Alguns autores escrevem BA ii BA e AB isto é não é o caso de todos os elementos de B estarem também em A 1 Possuem alguns elementos em comum 2 Não possuem nenhum elemento em comum Neste caso são ditos conjuntos disjuntos Como forma de auxílio para o raciocínio façamos diagramas representando as situações acima 1 A B B A 2a AB B 2bi BA A A B 2bii1 2bii2 A B A B Percebam que para fazer as comparações acima não precisamos fazer recurso à Lógica Só precisamos ser um pouco sistemáticos em nossos procedimentos⁵ Entretanto a partir de agora iremos usar Lógica ao deitarmos nossos olhos nos casos 2a e 1 de forma que nesta nova forma de representação que engendraremos seja possível um posterior tratamento pelos métodos de dedução Em ambos os casos supracitados estaremos respectivamente usando os predicados e Desta forma estaremos transformando os termos A e B rótulos de dois conjuntos abstratos nos enunciados A B e A B 731 INCLUSÃO DE CONJUNTOS Sejam A e B rótulos nomes de dois conjuntos quaisquer Definição 16 A B x xA xB A Definição 16 pode ser lida das seguintes formas⁶ i Dizer que A está contido em B equivale a dizer que para todo elemento x se x pertencer a A então x pertence a B ii A estará contido em B se e somente se para todo elemento x se x pertencer a A então x pertence a B Axioma 19 Axioma da Combinabilidade da Definição do Juntor NÃO e da Definição de A B A B 732 IGUALDADE DE CONJUNTOS Sejam A e B rótulos nomes de dois conjuntos quaisquer⁷ Definição 17 A B x xA xB A Definição 17 pode ser lida das seguintes formas i Dizer que A é igual a B equivale a dizer que para todo elemento x x pertencerá a A se e somente se x pertencer a B ii A será igual a B se e somente se para todo elemento x x pertencer a A se e somente se x pertencer a B Axioma 20 Axioma da Combinabilidade da Definição do Juntor NÃO e da Definição de A B A B Em nosso método semióticoestruturado é fundamental que o procedimento da leitura se faça de forma fluente Aqueles que perceberem que possuem uma maior dificuldade façam uma encenação e finjam que estão explicando a um outro de forma que esta explicação seja justamente a leitura A palavra chave associada a toda equivalência lógica é REESCREVER Isto é Reescrevese A B no formato x xA xB 74 CONJUNTOS ESPECIAIS Um conjunto A qualquer em abstrato poderá se encontrar em certas situações limites com relação a quantidades de elementos Tais situações especiais não necessitam de uma estrutura de contagem bastando as idéias qualitativas de quantificação anteriormente desenvolvidas Estas situações são a de não possuir nenhum objeto como elemento não há elementos e a de possuir todos objetos como seus elementos 741 CONJUNTO VAZIO É o conjunto que não possui nenhum elemento Definição 18 A x xA A Definição 18 pode ser lida das seguintes formas i Dizer que A é igual a vazio equivale a dizer que para todo elemento x x não pertence a A ii A será igual a vazio se e somente se para todo elemento x x não pertencer a A Axioma 21 Axioma da Extensionalidade da Definição de Vazio x x 742 CONJUNTO UNIVERSO É o conjunto que possui todos objetos como elementos Entretanto podemos utilizar o conceito de Universo num âmbito mais local tal como o universo dos times de futebol o universo dos termos o universo dos enunciados o universo dos alunos de Lógica o universo dos brinquedos etc Quando caracterizamos estes universos tal como agora fizemos podemos chamálos de classes ou categorias Mas esta discussão deixaremos para quando viermos a discutir uma Teoria da Classificação em outro livro Definição 19 A U x xA A Definição 19 pode ser lida das seguintes formas i Dizer que A é igual a universo equivale a dizer que para todo elemento x x pertence a A ii A será igual a universo se e somente se para todo elemento x x pertence a A Axioma 22 Axioma da Extensionalidade da Definição de Universo x xU 75 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS Agora que já comparamos dois conjuntos quaisquer A e B vamos aprender as operações básicas com conjuntos intersecção união ou reunião e diferença Na diferença de conjuntos dedicaremos um item para a situação especial de diferença denominada de complementar Tal distinção é motivada pela aplicabilidade desta operação na Teoria das Probabilidades 751 INTERSECÇÃO Sejam A e B rótulos nomes de dois conjuntos quaisquer A operação de intersecção opera da seguinte forma sobre os conjuntos A e B ela seleciona apenas os elementos comuns a A e a B e forma com esses um novo conjunto que possui por rótulo A B O símbolo que representa na linguagem a operação de intersecção transforma os termos primos A e B no termo molecular A B que representa o conjunto resultante da operação intersecção anteriormente descrita Definição 20 A B x xA xB A Definição 20 pode ser lida da seguinte forma A interseção B é o conjunto dos elementos do tipo x tal que x pertença a A e x pertença a B Exemplos a A 1 2 3 4 5 B 4 5 6 7 A B 4 5 b A 1 2 3 4 5 B 1 2 3 A B 1 2 3 c A 1 2 3 4 5 B 6 7 8 A B Axioma 23 Axioma da Extensionalidade da Definição de Intersecção x A B xA xB O Axioma 23 pode ser lido das seguintes formas i Dizer que x pertence a A B equivale a dizer que x pertence a A e que x pertence a B ii x pertencerá a A B se e somente se x pertencer a A e x pertencer a B 752 UNIÃO OU REUNIÃO Sejam A e B rótulos nomes de dois conjuntos quaisquer A operação de união opera da seguinte forma sobre os conjuntos A e B ela seleciona todos os elementos de A e de B comuns ou não comuns e forma com esses um novo conjunto que possui por rótulo A B O símbolo que representa na linguagem a operação de união transforma os termos primos A e B no termo molecular A B que representa o conjunto resultante da operação intersecção anteriormente descrita Definição 21 A B x xA xB A Definição 21 pode ser lida da seguinte forma A união B é o conjunto dos elementos do tipo x tal que x pertença a A ou x pertença a B Exemplos a A 1 2 3 4 5 B 4 5 6 7 A B 1 2 3 4 5 6 7 b A 1 2 3 4 5 B 1 2 3 A B 1 2 3 4 5 c A 1 2 3 4 5 B 6 7 8 A B 1 2 3 4 5 6 7 8 Axioma 24 Axioma da Extensionalidade da Definição de União x AB xA xB x A B xA xB B A Cₐᴮ A B x xA xB 63 A X A X U X CA 64 A B A CB CA B 65 A B A CB 66 CA B CA B 67 CA B CA CB 5ª LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ATENÇÃO MUITO CUIDADO A lista é para ser feita e não somente lida O estudante que somente procede à leitura mesmo que tenha entendido não está apto a realizar uma verificação de aprendizagem Entender é condição para fazer mas não é fazer Copie os enunciados resolva e depois confira pacientemente LEGENDA Teoria T Campo Teórico Experimental T Sup Suponha Sup Abs Suponha por Absurdo MDD Método da Dedução Direta MDI Método da Dedução Indireta MDC Método da Dedução por Casos MRA Método da Redução ao Absurdo MIL Método de Indução Lógica P I Princípio da Identidade RA Resultado Anterior Seja Rotulação MP Modus Ponens CP ContraPositiva int e introdução el e eliminação el ou eliminação int ou introdução def definição do ou def definição do se e somente se el eliminação int introdução el eliminação int introdução el eliminação int introdução def Definição da Inclusão def definição da Igualdade def Definição de Vazio def U Definição de Universo AED Axioma da Ext da Def de AED U Axioma da Ext da Def de def Axioma da Ext da Def de Intersecção def Axioma da Ext da Def de União def Ax da Ext da Def de Diferença def Axioma da Ext da Def de Complementar I Demonstrar o valor lógico dos enunciados a seguir através dos Métodos de Prova 1 A A Solução Esta propriedade é denominada Reflexiva da Inclusão