Quantificadores e Rotulacao Logica Matematica - Resumo

CAPÍTULO 6 6 OS QUANTIFICADORES Existem diversas estratégias para a introdução dos quantificadores Adotamos aquela que julgamos mais conveniente e que ao mesmo tempo não necessite de uma introdução prévia da Axiomática de Peano Naturalmente que no desenvolver de nossas idéias percebese que estas dependem direta ou indiretamente de um conjunto de conhecimentos que são prélógicos A tal forma de organização do pensamento onde ainda não se encontram os métodos da Lógica daremos o nome de sistemática Isto é a Lógica seria um tipo de sistemática Os orientais são sistemáticos e não são lógicos Mas todo lógico é sistemático Nessa sistemática prélógica estão razoavelmente estabelecidas certas idéias que serão revistas por esta nova forma de sistemática a Lógica também de uma maneira nova Mas seria impossível construir a Lógica sem essa sistemática base Outras lógicas que não a Crisp também são formas especiais de sistemática como exemplo a Lógica Fuzzy1 Na sistemática geral aquela que denominamos prélógica as idéias de conjunto elemento e pertinência estão bem estabelecidas assim como a contagem Ficou claro que ao menos indiretamente apelamos a estas idéias quando apresentamos os Métodos de Prova com os campos teóricos experimentais Usando um ditado popular podese chamar tangerina de mexerica mas essa continua sendo tangerina Assim sendo posto a nu o que de fato se desenrola uma das superlativizações alternativas da sistemática geral uma das lógicas iremos apresentar sem pudor os quantificadores Porém antes destes iniciaremos com a rotulação 61 ROTULAÇÃO Ao definirmos as operações do Cálculo Proposicional também denominado de Cálculo dos Enunciados demos um nome um rótulo a estas operações São exemplos de rótulos o introdução a def o Modus Ponens etc Alguns mecanismos são oriundos das definições outros dos axiomas de extensionalidade outros dos axiomas de combinabilidade e outros de teoremas isto é de enunciados que demonstramos ao longo de nossas considerações anteriores Ou ainda para podermos fluir linguisticamente e manter sob controle nossas considerações e até mesmo porque nossa unidade de discurso é o enunciado e não o termo precisamos de um mecanismo de rotulação uma operação para nomear coisas Vejamos ROTULAÇÃO Seja Toda vez que precisamos nomear um enunciado ou exibir um termo que satisfaça uma dada condição tal como tornar verdadeiro um outro enunciado em nosso discurso utilizaremos esse mecanismo que terá como sigla de justificação Seja Observem que no ato de rotular caso tenhamos a necessidade de nomear um termo transformaremos este juntamente com o termo designativo num enunciado atômico Caso a necessidade seja de rotular um enunciado transformamos o todo num enunciado molecular Exemplos à esquerda fica o termo designativo i δ min δ1 δ2 ii δ ε2 comentário os dois exemplos acima são típicos no Cálculo Diferencial e Integral iii ESn Sn 1 1 Sn comentário o exemplo acima é usual em Matemática Discreta onde muito se utiliza o Método de Indução Lógica também denominado de Método de Indução Finita iv p Cintia é uma advogada comentário o exemplo acima foi utilizado por nós na definição dos juntores Critério Não utilizar como termo designativo algum termo utilizado na coisa designada Esta prática não acontece na linguagem Matemática Nosso exemplo iii acima não comete tal erro Apenas se utiliza do termo Sn para compor o termo designativo ESn que é distinto do primeiro Boa parte das rotulações matemáticas trabalha com números índices definição 5 teorema 10 etc Já na Literariedade Filosófica este erro é bastante comum causando dubiedades e acrescendo dificuldades às naturais dificuldades já existentes Mesmo Platão o faz Para definir a justiça utiliza o termo justiça isto é utiliza o rótulo na composição do conceito O hábito melhor dizendo o vício deve ser afastado O que é bastante difícil pois se encontra muito entranhado em nossa cultura 62 O QUANTIFICADOR UNIVERSAL Identificado com o símbolo representa a expressão Qualquer que seja ou a expressão Para todo Devese ter muito cuidado com a utilização do quantificador universal pois o mesmo acarreta a generalização É muito comum produzir erros em generalizações Para demonstrar um erro numa generalização isto é em enunciados que utilizam o quantificador universal basta apresentar uma contraprova Definição 14 x Px Qualquer que seja x x obedece à propriedade P Assim sendo o símbolo pode ser lido como Qualquer que seja ou como Para todo Exemplos 1 Todos os alunos desta sala são altos Contraprova basta exibir um aluno da sala de baixa estatura 2 Qualquer que seja o cisne o cisne será branco Contraprova basta exibir um cisne negro ou de qualquer outra cor diferente da afirmada Operações Associadas ao 1 int Generalização Critérios i indução critério mais utilizado nas ciências empíricas Seja a indução elementar associada à simples enumeração seja associada à indução probabilística devese entender que o mecanismo ou OLV não está provado e sim corroborado2 até aquele momento pela experiência ou por experimentos Apesar de alguns não gostarem da indução sem ela não haveria ciência empírica Isto é tudo se passaria apenas nas linguagens Matemática e Filosofia e haveria uma necrose do pensamento Estes mecanismos ou OLVs deverão ser periodicamente testados e todos os enunciados dele derivados deverão ser a eles indexados para se manter um controle da teoria3 ii dedução pode haver uma dedução onde se conclui um certo enunciado generalizado Tal coisa em geral se dá na linguagem Exemplo Qualquer que seja o número par maior que 2 este número não é primo iii cautela apesar de parecer um critério fraco é um dos mais utilizados É comum eliminarmos provisoriamente o quantificador universal para operarmos com mais tranqüilidade e depois novamente introduzilo Devese proceder com cautela verificandose se nenhuma peculiaridade foi atribuída à variável em questão Caso contrário não se poderá introduzir o iv exaustão é um mecanismo parecido com a indução só que a quantidade de coisas a se verificar é finita no tempo e no espaço o que permite factualmente o exaurimento da coleção a ser analisada 2 el Especialização Critério Se vale para todos deve valer para qualquer um que se tome em particular O nome da operação é concentração no Direito ou especialização nas demais áreas O nome ancestral é Silogismo Dedutivo Exemplo Temse que Todo homem é mortal Sabese que Sócrates é homem Afirmase que Sócrates é mortal Após a apresentação das operações associadas percebese claramente que não se fez recurso ao arcabouço lógico que anteriormente desenvolvemos Na apresentação acima apesar de aparentar uma lógica na má acepção da palavra fizemos apenas uma certa sistematização de procedimentos Ou seja nesta primeira apresentação dos quantificadores estaremos estabelecendo apenas elementos da sistemática geral Na medida em que formos avançando seja pela combinação dos quantificadores com os juntores seja pela introdução da Axiomática de Peano isto é com a presença do conjunto dos Naturais haverá uma releitura dos quantificadores pela ótica da Lógica Desta forma esta parte da sistemática geral está na sombra do arcabouço lógico e na releitura pelos procedimentos lógicos as coisas acabam se confundindo no sentido de confusão jurídica ou fusão nas demais áreas Assim sendo o famoso Silogismo Dedutivo de Aristóteles pretenso Pai da Lógica não é bem lógica4 6 3 O QUANTIFICADOR EXISTENCIAL Neste quantificador as dificuldades e facilidades estão invertidas com relação ao anterior Para verificar a veracidade de um enunciado contendo o quantificador existencial basta exibir um elemento Definição 15 x Px Existe pelo menos um x tal que x obedece à propriedade P Exemplos Existe pelo menos um ser humano na sala tal que este ser humano é do sexo feminino Basta exibir uma aluna para comprovar a veracidade do enunciado Existe pelo menos um ser humano na sala tal que este ser humano não é aluno regularmente inscrito na turma Basta exibir o professor Existe pelo menos um ente pensante Basta refletir sobre o fato de que alguém está pensando este pensamento assim o fez Descartes Já para negar que existe pelo menos um é quase tão difícil quanto provar o existencial Em vista de que Não é verdade que para todo x x obedece à propriedade P equivale a dizer que Existe pelo menos um x tal que x não obedece à propriedade P Ou ainda Não é verdade que existe pelo menos um x tal que x obedece à propriedade P equivale a dizer que Para todo x x não obedece à propriedade P Escrevendo em símbolos Axiomas 13 14 Axiomas da Combinabilidade da Definição do Juntor NÃO e das Definições dos Quantificadores Universal e Existencial x Px x Px x Px x Px Exemplos a Não é verdade que exista pelo menos um aluno tal que este aluno possua três metros de altura Para garantirmos a veracidade do enunciado deveremos provar que Qualquer que seja o aluno este aluno não possui três metros de altura Se o conjunto for finito no tempo e no espaço tal como a turma y formada no semestre z basta criar um mecanismo de medida e com um processo de exaustão resolver a questão Se houver uma informação adicional tal como a sala possui 250 m e todos entram normalmente andando Podemos deduzir que ninguém possui três metros Se não houver limitação no tempo e no espaço deveremos analisar se homens muito altos foram alunos mesmo onde pairam dúvidas da existência real tal como o Golias de Davi Caso nenhum dos casos estudados tenha três metros dizemos que o enunciado está corroborado e não provado mas o utilizamos normalmente e de preferência o indexamos a outras conclusões para controlar possíveis erros Em todos os casos anteriores a cautela é uma receita permanente E mesmo no processo de exaurimento o mais confiável de todos o mecanismo que poderia ser uma simples olhadela na turma deve ser cauteloso b Não é verdade que exista pelo menos um número tal que este número seja um par maior do que dois e que este número seja primo Para garantirmos a veracidade do enunciado deveremos provar que Qualquer que seja o número número par maior do que dois não é primo Neste caso o critério da dedução é o aconselhável Pois sendo a cardinalidade do conjunto dos números naturais infinito o exaurimento é impossível Operações Associadas ao 1 el Critério Se existe pelo menos um algo termo ou enunciado que satisfaça a propriedade P ao eliminarmos de um enunciado o quantificador existencial devemos exibir concretamente um termo ou um enunciado que satisfaça a propriedade em tela 2 int Critério Se existe concretamente pelo menos um termo ou enunciado que satisfaça a propriedade P podemos introduzir o quantificador existencial 6 4 O QUANTIFICADOR EXISTENCIAL ESPECIAL Neste quantificador as dificuldades são ainda maiores i Se existe devemos exibir Entretanto também devemos provar que nenhum outro existe ii Se isto não é verdade deveremos a Exibir que dois ao menos existem ou b Provar que nenhum existe Definição 16 x Px Existe um único x tal que x obedece à propriedade P Axioma 15 Axioma da Combinabilidade da Definição do Juntor NÃO e da Definição do Quantificador Existencial Especial x Px x1 Px x2 Px x1 x2 x Px Operações Associadas ao 1 el Critério Se existe um único termo ou enunciado que satisfaça a propriedade P ao eliminarmos de um enunciado o quantificador existencial especial devemos exibir concretamente o termo ou o enunciado que satisfaça a propriedade em tela 2 int Critério Se existe concretamente um único termo ou enunciado que satisfaça a propriedade P podemos introduzir o quantificador existencial especial Entretanto deveremos provar que nenhum outro termo ou enunciado satisfaz a propriedade P Para isso deveremos utilizar os critérios já enumerados no quantificador universal Já pudemos perceber que ao utilizarmos os quantificadores também lançamos mão dos junt ores Isto é no Cálculo Quantificacional não podemos prescindir do Cálculo Proposicional Infelizmente no desenvolvimento da Lógica houve sérios equívocos e costumase denominar o Cálculo Quantificacional de Cálculo de Predicados Mesmo que o termo Cálculo de Predicados fosse corrigido para Cálculo de Predicativos ainda assim existiriam diferenças de objetivos entre o Cálculo Quantificacional e o Cálculo de Predicativos este último semelhante aos objetivos de um programa em PROLOG Deixaremos para praticar o Cálculo Quantificacional tal como o entendemos no âmbito da Matemática Faremos aqui somente alguns exemplos i x Px Qx x Px Qx x Px Qx ii x Px Qx x Px Qx x Px Qx iii x Px Qx x Px Qx x Px Qx iv x Px Qx x Px Qx x Px Qx v x Px Qx x Px Qx x Px Qx vi x Px Qx x Px Qx x Px Qx vii x Px x1 Px x2 Px x1 x2 x Px viii x Px Qx x1 Px Qx x2 Px Qx x1 x2 x Px Qx ix x Px Qx x1 Px Qx x2 Px Qx x1 x2 x Px Qx x x Px Qx x1Px Qx x2Px Qx x1 x2 x Px Qx xi x Px Qx x1 Px Qx x2 Px Qx x1 x2 x Px Qx