Atividade 4 - 2023-2

Como f'(x) < 0 para x > 2,5, segue que o intervalo de decrescimento de f(x) e para x E ]2,5; +oo[. (c) Como f''(x) = 6(x-1)^2 - 4(x-1)^3 entao : f''(x) = 6.(2)(x-1) - 4.(3)(x-1)^2 = 12(x-1) - 12(x-1)^2 Perceba que f''(x) e uma funcao do segundo grau e de raizes x =1 e x=2. Esta funcao f''(x) tem o seguinte comportamento f''(x) > 0 para 1 < x < 2 f''(x) f''(x) < 0 para : x < 1 e para x > 2 Logo, f(x) tem a concavidade para cima para x E ]1; 2 [, e a concavidade para baixo para ]-oo ; 1 [ U ] 2 ; +oo [. (d) No item (a) vimos dois pontos criticos de f(x). No entanto, o maior deles, ( 2,5 ; 3,6875 ) e o valor do "pico" da funcao . Logo , o maior valor do f(x) e f(2,5). 2. Devemos calcular o limite lim e^x - e^-x - 2x x->0 x -sen (x) Perceba que: lim e^x - e^-x - 2x = e^0 - e^0 -2.(0) = 0/0 x->0 x-sen(x) (indeterminacao). Em virtude desta indeterminacao, usaremos a Regra de L'Hopital para definir este limite: lim (f(x)) = lim (f'(x)) x->a (g(x)) x->a (g'(x)) Sendo f(x) = e^x - e^-x -2x, segue que: f'(x) = d/ dx ( e^x ) - d/ dx ( e^-x ) - d/dx (2x) = e^x - (- e^-x ) - (2) f'(x) = e^x + e^-x - 2 . De modo analogo, seja g(x) = x -sen(x). Entao: g'(x) = d/ dx (x) - d/dx (sen x) = 1 - cos x. Perceba que: lim (f'(x)) = e^0 + e^0 -2 = -2/0 (Outra indeterminacao). x->0 ( g'(x)) 1 -cos(0) Dado esta mesma circunstantia de indeterminacao, reaplicamos o Teorema de L'Hopital afim de definir este novo limite: 1 . Seja f(x) = 2 (x-1)^3 - ( x-1)^4 + 2 (a). Um ponto critico e aquele em que f'(x)=0. Ao refir: f'(x) = 2 .[( 1 ) 3 (x-1)^2 ] - [ (1.) 4 (x-1)^3 ] + 0 = 0 f'(x) = 6(x-1)^2 - 4 (x-1)^3 =0 6(x-1)^2 = 4 (x-1)^3 6 = 4 (x-1) = 4x -4 x = 6+4/4 = 2,5 Outro ponto que satisfaz f'(x) x =1. Entao os pontos criticos de f(x) sao (0 , f(1) ) e (2,5 , f(2,5)). Ora : f(0) = 2 (1-1)^3 - ( 1-1)^4 + 2 = 2 e f(2,5) = 2 (2,5-1 )^3 - (2,5-1)^4 + 2 = 3,6875. Portanto, Pontos criticos: (1 ; 2 ) e ( 2,5 ; 3,6875). (b) Vimos que f(x) = 6 (x-1)^2 - 4 (x-1)^3 e uma funcao decrescente do terceiro grau, de raizes x1 = 1 e x2 = 2,5 . Note que: f'(x) >0 para x E ] -oo ; 1 [ U ] 1 ; 2,5 [. Este e o seu intervalo de crescimento. Seja f(x) = e^x + e^{-x} - 2 e g(x) = 1 - \cos(x). Segue que: f''(x) = \frac{d}{dx}\left(e^x\right) + \frac{d}{dx}\left(e^{-x}\right) - \frac{d}{dx}(2) = e^x - e^{-x} - 0 g''(x) = \frac{d}{dx}(1) - \frac{d}{dx}(\cos x) = 0 - (-\sen x) = \sen x Mais uma vez caímos em uma indeterminação, pois \lim_{x \to 0} \sen(x) = 0. Uma última aplicação do Teorema de L'Hospital nos trará a solução. Veja. Se f'(x) = e^x - e^{-x}, então : f'''(x) = \frac{d}{dx}(e^x) - \frac{d}{dx}(e^{-x}) = e^x + e^{-x} E se g'(x) = \sen(x), então : g'''(x) = \frac{d}{dx}(\sen x) = \cos x. Assim: \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sen(x)} = \lim_{x \to 0}\left(\frac{f'''(x)}{g'''(x)}\right) = \frac{e^0 + e^0}{\cos(0)} = \frac{2}{1} = 2.