Atividade 5 - 2023-2

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO Campus Várzea Grande Bacharelado em Ciência e Tecnologia Entregar até o dia 06/02/2024 Nota máxima: 2 pontos Atividade 6: Cálculo I Justifique todas as respostas 1. (1 ponto) Esboce a região delimitada pelas curvas dadas e calcule a área desta região y = −x2 + 3x, y = x. 2. (1 ponto) Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região sombreada torno do eixo x. Ativivade 6 Pag. 1 de 1 cálculo Questão 01 • Pontos de intersecção: y_1 = -x^2 + 3x y_2 = x\Right\} \Right\} y_1 = y \Right\} -x^2 + 3x = x \Right\} -x^2 + 2x = 0 \Right\} x (-x + 2) = 0 \Right\} \boxed{x = 0} -x + 2 = 0 \Right\} \boxed{x = 2} • se y = x \Right\} y(0) = 0 \Right\} P_1 (0,0) y(2) = 2 \Right\} P_2 (2,2) • Esboço da área Como a parábola é côncava para baixo (a = -1 < 0), ela deve estar acima da reta secante. Assim y_2 = x y_1 = -x^2 + 3x x Digitalizado com CamScanner • Cálculo do Volume A = \int_a^b y_1 - y_2 dx = \int_0^2 -x^2 + 3x - x \, dx = \int_0^2 -x^2 + 2x \, dx = \left[ \frac{-x^3}{3} + \frac{2x^2}{2} \right]_0^2 = \left(\frac{-2^3}{3} + \frac{2 \cdot 2^2}{2}\right) - \left(\frac{-0^3}{3} + \frac{2 \cdot 0^2}{2} \right) = -\frac{8}{3} + 4 = \frac{-8 + 12}{3} \Right\} A = \frac{4}{3} \text{ u.a.} Questão 02 • Pontos de intersecção y_1 = \sqrt{x} \qquad \right\} y_2 = \frac{x}{2} y_1 = y_2 \Right\} \sqrt{x} = \frac{x}{2} \Right\} x = \frac{x^2}{4} \Right\} 4x = x^2 \Right\} \boxed{x = 0} \hline 4-x = 0 \Right\} \boxed{x = 4} se y = \frac{x}{2} \Right\} y(0) = 0 \Right\} P_1 = (0,0) y(4) = 2 \Right\} P_2 = (4,2) • Esboço do sólido e definição dos raios y_2 y = \sqrt{x} y = \frac{x}{2} 1 0 \hline r_{int} 3Y r_{ext} 4 • Cálculo do volume V = \pi \int_a^b r_{ext}^2 - r_{int}^2 \, dx = \pi \int_0^4 \left[ \left(\sqrt{x}\right)^2 - \left(\frac{x}{2}\right)^2 \right] \, dx = \pi \int_0^4 \left[ x - \frac{x^2}{4} \right] \, dx = \pi \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{4 \cdot 3} \right]_0^4 = \pi \left\{ \left[ \frac{4^2}{2} - \frac{4^3}{4 \cdot 3} \right] - \left( \frac{0^2}{2} - \frac{0^3}{4 \cdot 3} \right) \right\} = \pi \left[ 8 - \frac{16}{3} \right] = \pi \left( \frac{24}{3} - \frac{16}{3} \right) \Right\} V = \frac{8 \pi}{3} \text{ u.v.}