Questões - Limites e Assíntotas - 2023-2

CALCULO 1 Justifique todas as respostas 1. Calcule os limites a) \( \lim_{x \to -1} (x^4 - 3x)(x^2 + 5x + 3) \) \( \quad (0,2 \text{ pontos}) \) b) \( \lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{3}}{x - 3} \) \( \quad (0,2 \text{ pontos}) \) 2. Calcule os limites, se existir a) \( \lim_{x \to -1^-} \frac{x^2 - 9}{x^2 - 3x - 4} \) \( \quad (0,2 \text{ pontos}) \) b) \( \lim_{x \to \infty} \frac{2 - 3x^2}{5x^2 + 4x} \) \( \quad (0,2 \text{ pontos}) \) 3. (0,2 pontos) Encontre as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função \( f(x) = \frac{x^2 - 3x - 10}{x^2 + x - 2} \) LISTA DE EXERCÍCIOS CÁLCULO Exercício 1 Calcule os limites: a. \( \lim_{x \to -1} (x^4 - 3x) \left(x^2 + 5x + 3\right) \) b. \( \lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{3}}{x - 3} \) Solução. a. Calculando o limite diretamente, temos: \( \lim_{x \to -1} (x^4 - 3x) (x^2 + 5x + 3) = ((-1)^4 - 3(-1)) ((-1)^2 + 5(-1) + 3) = \) \( = (1 + 3)(1 - 5 + 3) = 4(-1) = -4 \) b. Podemos calcular o limite de duas formas: diretamente, reescrevendo a expressão, ou aplicando a regra de L'Hôpital. Diretamente. Reescrevendo a expressão, temos: \( \lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{3}}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{3 - x}{3x(x - 3)} = \lim_{x \to 3} \frac{-(x - 3)}{3x(x - 3)} = \lim_{x \to 3} \left[\frac{1}{3x}\right] = \frac{-1}{9} \) Regra de L'Hôpital. Analisando o limite, temos: \( \lim_{x \to 3} \left[ \frac{1}{x} - \frac{1}{3} \right] = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} = 0 \) \( \lim_{x \to 3} [x - 3] = 3 - 3 = 0 \) Logo, temos uma indeterminação do tipo \( \frac{0}{0} \). Aplicando a regra de L'Hôpital, temos: \( \lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{3}}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \left[ \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{3}}{x - 3} \right]' = \lim_{x \to 3} \frac{-\frac{1}{x^2}}{1} = \lim_{x \to 3} \left[ \frac{1}{x^2} \right] = \frac{-1}{9} \) Exercício 2 Calcule os limites, se existir: a. \( \lim_{x \to -1^-}{\frac{x^2 - 9}{x^2 - 3x - 4}} \) b. \( \lim_{x \to \infty}{\frac{2 - 3x^2}{5x^2 + 4x}} \) Solução. a. Analisando o limite, temos: \( \lim_{x \to -1^-}{(x^2 - 9)} = (-1)^2 - 9 = 1 - 9 = -8 \) \( \lim_{x \to -1^-}{(x^2 - 3x - 4)} = 1 + 3 - 4 = 0^+ \) Logo, temos: \( \lim_{x \to -1^-}{\frac{x^2 - 9}{x^2 - 3x - 4}} = \frac{-8}{0^+} = -\infty \) b. Calculando o limite diretamente, reescrevendo a expressão, temos: \( \lim_{x \to \infty}{\frac{2 - 3x^2}{5x^2 + 4x}} = \lim_{x \to \infty}{\frac{\frac{1}{x^2}(2 - 3x^2)}{\frac{1}{x^2}(5x^2 + 4x)}} = \lim_{x \to \infty}{\frac{\frac{2}{x^2} - 3}{5 + \frac{4}{x}}} = \frac{0 - 3}{5 + 0} = \frac{-3}{5} \) Exercício 3 Encontre as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função f(x) = \frac{x^2 - 3x - 10}{x^2 + x - 2} Solução. Calculando os limites, temos: \lim_{x \to \infty}\frac{x^2 - 3x - 10}{x^2 + x - 2} = \lim_{x \to \infty}\frac{\frac{1}{x^2}(x^2 - 3x - 10)}{\frac{1}{x^2}(x^2 + x - 2)} = \lim_{x \to \infty}\frac{1 - \frac{3}{x} - \frac{10}{x^2}}{1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^2}} = \frac{1 - 0 - 0}{1 + 0 - 0} = 1 \lim_{x \to -\infty}\frac{x^2 - 3x - 10}{x^2 + x - 2} = \lim_{x \to -\infty}\frac{\frac{1}{x^2}(x^2 - 3x - 10)}{\frac{1}{x^2}(x^2 + x - 2)} = \lim_{x \to -\infty}\frac{1 - \frac{3}{x} - \frac{10}{x^2}}{1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^2}} = \frac{1 - 0 - 0}{1 + 0 - 0} = 1 Logo, a função possui assíntota horizontal y = 1. Reescrevendo a função, temos: f(x) = \frac{x^2 - 3x - 10}{x^2 + x - 2} = \frac{(x - 5)(x + 2)}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{x - 5}{x - 1} Analisando o limite, temos: \lim_{x \to 1^+} (x - 5) = 1 - 5 = -4 \lim_{x \to 1^-} (x - 5) = 1 - 5 = -4 \lim_{x \to 1^+} (x - 1) = 1^+ - 1 = 0^+ \lim_{x \to 1^-} (x - 1) = 1^- - 1 = 0^- \lim_{x \to 1^+} \frac{x - 5}{x - 1} = \frac{-4}{0^+} = -\infty \lim_{x \to 1^-} \frac{x - 5}{x - 1} = \frac{-4}{0^-} = \infty Logo, a função possui assíntota vertical x = 1.