Lista 7 - Cálculo 1 - 2023-1

Lista 8 Cálculo I 1. Resolver os seguintes problemas (a) * Sua metalúrgica foi contratada por uma fábrica de papel para projetar e construir um tanque retangular de aço, com base quadrada, sem tampa e com 500 cm3 de capacidade. O tanque será construído soldando-se chapas de aço uma ás outras ao longo das bordas. Sua tarefa é determinar as dimensões para a base e a altura que farão o tanque pesar o mínimo possível. Que dimensões serão passadas para a oficina? (b) * Encontre o ponto sobre a reta y = 4x + 7 que está mais próximo do ponto (0, 0) (c) Um triângulo está inscrito em uma semicircunferência de raio R. Seus lados medem a, b e 2R. Calcule a e b quando a área do triângulo é máxima. (d) Quais são as dimensões mais leve da lata em forma de cilindro reto, sem tampa, para conter 1000 cm3? (e) Uma folha retangular com perímetro de 36 cm e dimensões de x e y cm será enrolada para formar um cilindro. Que valores de x e y fornecem o maior volume? (f) Um fazendeiro deseja cercar um campo retangular com 800 m de arame. O campo deve margear um rio retilíneo de modo que o lado correspondente ao rio não necessita de arame. Quais deveriam ser as dimensões do retângulo de modo que a área do campo seja máxima? (g) Uma caixa com uma base quadrada e sem tampa tem um volume de 32 000 cm3. Encontre as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material usado. (h) Se 1200 cm2 de material estiverem disponíveis para fazer uma caixa com uma base quadrada e sem tampa, encontre o maior volume possível da caixa. (i) * Um fazendeiro quer cercar uma área de 15000 m2 em um campo retangular e então dividi-lo ao meio com uma cerca paralela a um dos lados do retângulo. Como fazer isso de forma que minimize o custo da cerca? 2. Encontre o limite. 1 Lista 8 a) V= a.b.c= 500 cm³ Para para o minimo, deve ter a mesma área superficial: base: a².c -> c= \frac{500}{a²} lateral: a²+4ac max: 3a - \frac{2000}{a²} = 0 -> a=10cm\nc=5 cm b)\n): 5y=4x+7 \{ 4x+7 = y \rightarrow x = \frac{-22}{17} (4y-x : x= \frac{3y}{17})\nri: y=-\frac{1}{2}x\n\nPonto: (x,y)=(\frac{-22}{17}, \frac{7}{17})\n\n\nc)\n. deu: \frac{ab}{2}=2R.senαcosα = Rsen2α\n. Para área maxima, sen 2α=1 > 2α=90º\nα=45º\nAssim, a=Rcosα= \frac{\sqrt{2}R}{2}\nb = Rsenα = \frac{\sqrt{2}R}{2}\n\n\nd)\n\n\n\n (a) \lim_{x\to \left(\frac{\pi}{2}\right)^-} \left(\frac{\pi}{2}-x\right) \text{tg}x \newline (b) \lim_{x\to 0} \frac{x^2-2x}{x^2-\text{sen} x} \newline (c)* \lim_{x\to 1^+} \left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{\ln x}\right) \newline (d)* \lim_{x\to 0} \frac{x}{\text{arctg} (4x)} \newline (e) \lim_{x\to 0^+} (\cos x)^{1/x^2} \newline (f) \lim_{x\to\infty} (\ln(2x)-\ln(x+1)) \newline (g) \lim_{x\to a^+} \frac{\cos x \ln(x-a)}{\ln(e^x-e^a)} \newline (h)* \lim_{x\to \infty} \left(\frac{2x-3}{2x+5}\right)^{2x+1} \newline (i) \lim_{x\to 0^+} \left(\frac{3x+1}{x}-\frac{1}{\text{sen} x}\right) \newline (j)* \lim_{x\to \frac{\pi}{2}^+} \ln x \text{tg} \left(\frac{\pi x}{2}\right) \newline (k) \lim_{x\to 1} \frac{2x^2-(3x+1)\sqrt{x+2}}{x-1} \newline (l) \lim_{x\to\infty} (1+2x)^{1/(2 \ln x)} \newline 2