Slide - Escoamento de Fluidos - Equação de Bernoulli - Fundamentos de Fenômenos de Transporte 2020 2

➢ Equação de Bernoulli ➢ Simplificando a equação de Bernoulli ➢ Exercícios Escoamento de fluidos – Equação de Bernoulli 1 Equação de Bernoulli A equação de Bernoulli descreve o comportamento de um fluido que se move ao longo de um tubo ou conduto. Condições ou hipóteses para o uso da equação de Bernoulli 1. Fluido ideal, ou seja, o fluido é invíscido. 2. Não existem dispositivos que adicionem ou retirem energia do elemento de fluido, (bombas ou turbina). 3. Não existe troca de energia na forma de calor entre o fluido e sua vizinhança. 4. Situação de regime permanente ou estado estacionário. 5. Fluido incompressível. 6. Balanço de energia aplicado ao longo de uma linha de corrente, 2a lei de Newton (F = ma ). 7. Abordagem matemático tipo euleriano. 2 Equação de Bernoulli A simplificação da equação do Princípio de Conservação de Energia, gera uma nova equação, conhecida como equação de Bernoulli. Equação do Princípio de Conservação de Energia 𝑃1 + 𝜌. 𝑣1 2 2 + 𝛾. 𝑍1 = 𝑃2 + 𝜌. 𝑣2 2 2 + 𝛾. 𝑍2 Equação de Bernoulli ∆𝐸 = ±∆𝑄 ± ∆𝑊 3 Fisicamente, o que representa cada termo da equação de Bernoulli? \( \frac{P_1}{\gamma} + \frac{v_1^2}{2g} + Z_1 = \frac{P_2}{\gamma} + \frac{v_2^2}{2g} + Z_2 \) Equação de Bernoulli Fisicamente, o que representa cada termo da equação de Bernoulli ? Resposta: Energia por peso de fluido \( \frac{P}{\gamma} : \) Carga de pressão Dimensão: \[ \frac{P}{\gamma} \] = \( \frac{F/L^2}{F/L^3} = L \) \( \frac{v^2}{2g} : \) Carga cinética Dimensão: \[ \frac{v^2}{2g} \] = \( \frac{(L/T)^2}{L/T^2} = L \) \( z: \) Carga de elevação \[ Z \] = \( L \) 5 : Pressão de coluna ou pressão hidrostática Simplificando a equação de Bernoulli Vamos considerar um reservatório grande e aberto, preenchido com líquido, e que apresenta uma saída na forma de jato livre. Aplicando a equação de Bernoulli entre a seção (1), superfície livre do líquido no reservatório, e a seção (2), base do jato livre de saída do reservatório, temos: Condições observadas na situação do problema: • P1 = Patm (reservatório aberto) • P2 = Patm (jato livre) • V1 = 0 (reservatório grande) 𝑃1 𝛾 + 𝑣1 2 2𝑔 + 𝑍1 = 𝑃2 𝛾 + 𝑣2 2 2𝑔 + 𝑍2 𝑍1 = 𝑣2 2 2𝑔 + 𝑍2 Portanto, 𝑣2 = 2𝑔 𝑍1 − 𝑍2 = 2𝑔ℎ Teorema de Torricelli 6 O tubo de Pitot (para perfil de velocidade variado) é um dispositivo que permite determinar a velocidade de escoamento de um fluido por meio da medida de pressões. Condições: • Z1 = Z2 (tubo na horizontal) • V2 = 0 (ponto de estagnação) • Pressão de estagnação =P2 = 𝛾. ℎ2 • Pressão estática = 𝑃1= 𝛾. ℎ1 • Pressão dinâmica = 𝜌.𝑣2 2 𝑃1 + 𝜌. 𝑣1 2 2 + 𝛾. 𝑍1 = 𝑃2 + 𝜌. 𝑣2 2 2 + 𝛾. 𝑍2 Simplificando a equação de Bernoulli 7 Piezômetro Tubo de Pitot 𝑃𝐸𝑠𝑡𝑎𝑔𝑛𝑎çã𝑜 = 𝑃𝑒𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑎 + 𝑃𝑑𝑖𝑛â𝑚𝑖𝑐𝑎 O tubo de Pitot (para perfil de velocidade variado) 𝑃1 + 𝜌. 𝑣1 2 2 + 𝛾. 𝑍1 = 𝑃2 + 𝜌. 𝑣2 2 2 + 𝛾. 𝑍2 Simplificando a equação de Bernoulli Piezômetro Tubo de Pitot Condições • Z1 = Z2 (tubo na horizontal) • V2 = 0 (ponto de estagnação) • Pressão de estagnação =P2 = 𝛾. ℎ2 • Pressão estática = 𝑃1= 𝛾. ℎ1 • Pressão dinâmica = 𝜌.𝑣2 2 𝑃𝐸𝑠𝑡𝑎𝑔𝑛𝑎çã𝑜 = 𝑃𝑒𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑎 + 𝑃𝑑𝑖𝑛â𝑚𝑖𝑐𝑎 𝑃2 = 𝑃1 + 1 2 𝜌𝑣1 2 𝜌𝑔ℎ2 = 𝜌𝑔ℎ1 + 1 2 𝜌𝑣1 2 𝑣1 = 2𝑔 ℎ2 − ℎ1 𝑣1 = 2 𝑃2 − 𝑃1 /𝜌 Equação do tubo de Pitot O tubo de Pitot (para perfil de velocidade variado) 9 O tubo de Pitot para perfil de velocidade uniforme Simplificando a equação de Bernoulli 𝑃𝐸𝑠𝑡𝑎𝑔𝑛𝑎çã𝑜 = 𝑃𝑒𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑎 + 𝑃𝑑𝑖𝑛â𝑚𝑖𝑐𝑎 𝑃0 = 𝑃 + 1 2 𝜌𝑣2 𝑣 = 2 𝜌 𝑃0 − 𝑃 𝑃0 − 𝑃 = 𝜌𝑚𝑔ℎ 𝑣 = 2 𝜌 𝜌𝑚𝑔ℎ Onde O tubo de Pitot para perfil de velocidade uniforme 10 Num tubo de Pitot comercial se utilizam dois tubos concêntricos. O tubo interno de menor diâmetro mede a pressão total ou de estagnação. O Tubo externo de maior diâmetro mede a pressão estática através de pequenos orifícios perpendiculares ao fluxo. Simplificando a equação de Bernoulli Tubo de Pitot para medir a velocidade de um gás Tubo de Pitot para medir a velocidade de um líquido 𝑣 = 2. 𝑃1−𝑃2 𝜌 = 2.𝜌.𝑔.ℎ 𝜌 = 2. 𝑔. ℎ 𝑣 = 2. 𝑃1−𝑃2 𝜌 = 2.𝜌𝐿.𝑔.ℎ 𝜌 Simplificando a equação de Bernoulli 11 Trata-se de um dispositivo utilizado para medir vazões no interior de tubulações conhecido como tubo de Venturi No trecho convergente, a velocidade do escoamento aumenta e a pressão diminui. A queda de pressão é medida por um manômetro diferencial de tubo em “U”. Aplicando a equação de Bernoulli nos pontos 1 (A) e 2 (B) temos 𝑃1 + 𝜌. 𝑣1 2 2 + 𝛾. 𝑍1 = 𝑃2 + 𝜌. 𝑣2 2 2 + 𝛾. 𝑍2 onde: • Z1 = Z2 (tubo na horizontal) • 𝑣1 = ሶ𝑉/𝐴1 e 𝑣2 = = ሶ𝑉/𝐴2 ሶ𝑉 = 2𝑔𝐴1 2𝐴2 2 𝐴1 2 − 𝐴2 2 𝑃1 𝛾 − 𝑃2 𝛾 Simplificando a equação de Bernoulli 12 𝑃1 𝛾 − 𝑃2 𝛾 =h onde Exercício 1: Determine a velocidade de saída de líquido do reservatório de grandes dimensões, se o fluido for água. 13 Solução Utilizando o teorema de Torricelli, temos 𝑣2 = 2𝑔 𝑍1 − 𝑍2 = 2𝑔ℎ 𝑣2 = 2 𝑥 9,8 𝑥 5 − 0 𝑣2 = 9,89 𝑚/𝑠 1 2 𝑣2 2 Exercício 2: Na figura determine a vazão volumétrica, se A1 = 20 cm2, A2 = 10 cm2 14 Solução ሶ𝑉 = 2𝑔𝐴1 2𝐴2 2 𝐴1 2 − 𝐴2 2 𝑃1 𝛾 − 𝑃2 𝛾 𝑃1 𝛾 − 𝑃2 𝛾 =h Onde ሶ𝑉 = 2 𝑥 9,8 𝑥 0,2 2 𝑥 0,1 2 0,2 2 − 0,1 2 0,1 ሶ𝑉 = 0,16 𝑚3/𝑠 A carga de pressão estática em uma tubulação de ar é medida com um tubo piezométrico e acusa 16 mm de água. Um tubo pitot na mesma localização indica 24 mm de água. Calcule a velocidade do ar a 20 oC. 15 Exercício 3: 𝑣 = 2. 𝑃1−𝑃2 𝜌 = 2.𝜌𝐿.𝑔. ℎ1−ℎ2 𝜌 𝜌𝐿 (massa específica líquido manométrico) = 1000 kg/m3 𝜌 (massa específica escoamento, ar) = ? 𝜌 = 𝑃 𝑅𝑇 = 𝑔.𝜌.ℎ+𝑃𝑎𝑡𝑚 𝑅𝑇 = 9,8 𝑥 1000 𝑥 0,016 +101000 273 𝑥 (20+273) = 1,20 kg/m3 𝑣 = 2.𝜌𝐿.𝑔. ℎ1−ℎ2 𝜌 = 2 𝑥 1000 𝑥 9,8 𝑥 0,024 −0,016 1,2 = 11,4 m/s Solução Exercício 4: Na figura é retirado gasolina do tanque. Uma ponta de uma mangueira de diâmetro pequeno é inserida no tanque de combustível cheio , enche-se a mangueira de gasolina através de sucção e coloca-se o outro lado em uma lata de gasolina abaixo do nível do tanque de gasolina. O líquido passa a escoar da elevação mais alta para a mais baixa. O diâmetro do sifão é de 5 mm e as perdas por atrito no sifão devem ser desprezadas. Determine (a) o tempo mínimo para retirar 4 L de gasolina do tanque para a lata e (b) a pressão no ponto (3). A densidade da gasolina é de 750 kg/m3. 16 𝑃1 + 𝜌.𝑣12 2 + 𝛾. 𝑍1 = 𝑃2 + 𝜌.𝑣22 2 + 𝛾. 𝑍2 = 𝑃3 + 𝜌.𝑣32 2 + 𝛾. 𝑍3 Solução Dados P1 = P2 = Patm P3 = ? V1 = 0 Z2 = 0 Analisando os pontos (1) e (2) temos 𝛾. 𝑍1 = 𝜌. 𝑣2 2 2 𝑣2 = 2𝑔𝑧1 = 2 𝑥 9, 8 𝑥 0,75 = 3,84 𝑚/𝑠 a) Determinando o tempo de descarga ሶሶ𝑉 = 𝑣2. 𝐴2 = 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 = 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑣2.𝐴2 = 4/1000 3,84 𝑥  4 𝑥 0,0052 = 53,05 s 17 𝑃2 + 𝜌.𝑣22 2 + 𝛾. 𝑍2 = 𝑃3 + 𝜌.𝑣32 2 + 𝛾. 𝑍3 Analisando os pontos (2) e (3) temos ▪ P2 = Patm ▪ P3 = ? ▪ 𝑣2 = 𝑣3 (𝑚𝑒𝑠𝑚𝑜 𝑑𝑖â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜, 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑖𝑜 ▪ 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎) ▪ Z2 = 0 ▪ Z3 = 2 + 0,75 𝑃2 += 𝑃3 + 𝛾. 𝑍3 𝑃3= 𝑃2 − 𝛾. 𝑍3 = 𝑃2 − 𝜌. 𝑔 . 𝑍3 𝑃3 = 101000 −750 𝑥 9,8 𝑥 2 + 0,75 𝑃3 = 80787,5 Pa = 8,1 x 104 Pa b) Determinando a pressão no ponto (3) Exercício 6 18 Na extremidade de uma tubulação de diâmetro D, acha-se instalado um bocal que lança um jato de água na atmosfera com diâmetro de 2 cm. O manômetro metálico registra uma pressão de 20 kPa e a água sobe no tubo de Pitot até a altura de 2,5 m. Nessas condições, determinar: a) Vazão mássica na tubulação b) Diâmetro “D” do tubo, admitindo escoamento permanente e sem atrito Solução (1) (2) (3) 𝑃1 + 𝜌.𝑣12 2 + 𝛾. 𝑍1 = 𝑃2 + 𝜌.𝑣22 2 + 𝛾. 𝑍2 = 𝑃3 + 𝜌.𝑣32 2 + 𝛾. 𝑍3 Analisando os pontos (2) e (3) temos 𝜌.𝑣22 2 = 𝑃3 Z2= Z3 P2 = 0 V3 = 0 𝑣2 = 2𝑃3/𝜌 𝑣2 = 2 𝑥 2,5 𝑥 1000 𝑥 9,8/1000 = 7,0 m/s a) Vazão mássica na tubulação ሶ𝑚2 = 𝐴2𝑣2𝜌 ሶ𝑚2 =  4 0,02 2 𝑥 7 𝑥 1000 ሶ 𝒎𝟐 = 2,19 kg/s b) Diâmetro “D” do tubo Analisando os pontos (1) e (2) temos 𝑃1 + 𝜌.𝑣12 2 + 𝛾. 𝑍1 = 𝑃2 + 𝜌.𝑣22 2 + 𝛾. 𝑍2 Exercício 6 19 Na extremidade de uma tubulação de diâmetro D, acha-se instalado um bocal que lança um jato de água na atmosfera com diâmetro de 2 cm. O manômetro metálico registra uma pressão de 20 kPa e a água sobe no tubo de Pitot até a altura de 2,5 m. Nessas condições, determinar: b) Diâmetro “D” do tubo, admitindo escoamento permanente e sem atrito Solução (1) (2) (3) Z1= Z2 P1 = 20 kPa P2 = 0 V1 = ? V2 = 7 m/s b) Diâmetro “D” do tubo Analisando os pontos (1) e (2) temos 𝑃1 + 𝜌.𝑣12 2 + 𝛾. 𝑍1 = 𝑃2 + 𝜌.𝑣22 2 + 𝛾. 𝑍2 𝑃1 + 𝜌. 𝑣1 2 2 = 𝜌. 𝑣2 2 2 𝑣1 = 2 𝜌 𝜌𝑣22 2 − 𝑃1 = 2 1000 1000 𝑥 72 2 − 20 𝑥 103 𝑣1 = 3 𝑚/𝑠 Vazão mássica na tubulação: ሶ𝑚2 = 𝐴1𝑣1𝜌 𝐴1 = ሶ𝑚2 𝑣1𝜌 = 2,19 3 𝑥 1000 = 0,0078 m2 ሶ 𝒎𝟐 = 2,19 kg/s Logo o diâmetro na seção (1) será: 𝐷 = 4 𝑥 𝐴1 𝜋 = 4 𝑥 0,0078 𝜋 = 0,03 𝑚 = 3 𝑐𝑚 ሶ𝑚1 = ሶ𝑚2 20 Exercício 7: A um Tubo de Venturi, com os pontos (1) e (2) na horizontal, liga-se um manômetro de mercúrio. Sendo que a vazão volumétrica é 3,14 litros/s e a velocidade na seção (1) é 1 m/s, determine os diâmetros D1 e D2, desprezar as perdas. Exercício 8: Determine a altura do reservatório de grandes dimensões, se o fluido for água. 21 1 2 𝑣2= 8 m/s