Álgebra Linear - Verificação de Subespaços Vetoriais e Somas Diretas em R3

Álgebra Linear 1 Um subconjunto não vazio WR³ é subespaço vetorial de R³ se 000W e W é fechado para adição e multiplicação por escalar a W₁ xyz R³ x y 1 não é subespaço pois 0 W₁ visto que 0 0 1 b W₂ xyz R³ y 2 z é subespaço de R³ De fato 0 2 0 000 W₂ Se xyz W₂ e x y z W₂ então x x ay y z z x x z2 z2 z z x x z z2 z z W₂ Se xyz W₂ então λ xyz λx λy λz λx λz2 λz W₂ c W₃ xyz R³ x² y² z² não é um subespaço pois não é fechado para soma Vejamos um contraexemplo 345 W₃ pois 3² 4² 9 16 25 5² 51213 W₃ pois 5² 12² 25 144 169 13² 345 51213 81618 logo 8² 16² 64 256 320 361 19² Portanto 81619 W₃ d W₄ xyz R³ z 2x y é um subespaço de R³ De fato 0 2 0 0 000 W₄ Se xyz x y z W₄ então x x y y z z x x y y 2x y 2x y x x y y 2x x y y W₄ Se xyz W₄ então λxyz λx λy λz λx λy λ2x y λx λy 2λx λy W₄ 2 a Vamos mostrar que cada Ui é um subespaço U₁ 0 0 0 0 000 U₁ Se abc a b c U₁ então a a b b c c U₁ pois a a b b c c a b c a b c 0 0 0 Se abc U₁ então λabc U₁ pois λa b c λ0 0 U₂ 000 U₂ pois 0 0 Se abc a b c U₂ então a a b b c c U₂ pois a c e a c a a c c Se abc U₂ então λabc U₂ pois λabc λa λb λc λa λb λa U₃ Se c 0 então 000 U₃ Se 00c 00c U₃ então 0 0 0 0 c c 00c c U₃ Se 00c U₃ então λ00c 00λc 00xc U₃ b Temos que U₁ U₂ R³ Vamos mostrar que R³ U₁ U₂ Seja xyz R³ temos que xyz x z2 0 x z2 x z2 y x z2 Observe que x z2 0 x z2 x x z z2 0 Logo x z2 0 x z2 U₁ Além disso x z2 y x z2 U₂ Assim xyz U₁ U₂ e portanto U₁ U₂ R³ Analogamente U₁ U₃ R³ Seja xyz R³ então xyz x y x y 00 x y z Note que x y x y 0 xyx y U₁ e 00 x y z U₃ Logo R³ U₁ U₃ e portanto R³ U₁ U₃ Por fim dado xyz R³ temos que xyz xyx 00z x com xyx U₂ e 00z x U₃ Logo R³ U₂ U₃ e como por definição U₂ U₃ R³ concluímos que R³ U₂ U₃ c Para soma ser direta os espaços somados devem ter interseção trivial ou seja a interseção deve ser 000 Temos que U₁ U₃ não é soma direta pois 1 2 1 U₁ U₂ U₁ U₃ por sua vez é soma direta Seja xyz U₁ U₃ então xyz U₃ e 2x y 0 Além disso xyz U₁ logo x y z 0 0 0 z 0 z 0 Portanto xyz 000 e U₁ e U₃ tem interseção trivial Analogamente U₂ U₃ é uma soma direta pois se xyz U₂ U₃ temos x y 0 Mas como xyz U₂ x z 0 3 A afirmação é verdadeira Primeiro vamos mostrar que M₂R W₁ W₃ Seja M p q r s queremos escrever M A C onde A W₁ e C W₂ ou seja A 0 b b a e C c d d c para algum abcd R ac bd bd ac p q r s Então M ac bd bd ac p q r s Assim obtemos dois sistemas ac p ac s 2a ps a ps2 c ps2 bd q bd r 2d qr d qr2 b qr2 Portanto podemos expressar M ps2 qr2 qr2 ps2 ps2 qr2 qr2 ps2 W1 W2 Por fim precisamos verificar que W1 W2 0 0 0 0 Seja N W1 W2 então N pode ser escrito de duas formas N a b b a c d d c Isto implica que a c e a c a c 0 b d e b d b d 0 Logo N é a matriz nula