Introdução a Álgebra Linear

Introdução á Álgebra Linear Atividade 04EST Prof Martinho da Costa Araújo Alunoa 18032025 1 Seja V R3 o espaço vetorial com as operações usuais Determine os valores de k para que o conjunto S 1 0 1 1 1 0 k 1 1 seja a LI b LD 2 Determine m para que o conjunto 2 3 2m 1 0 m 4 1 3 m 2 seja LI 3 Determine uma base para os seguintes subespaços vetorias do espaço vetorial V R3 a S x y z R3 y 2x b S x y z R3 x 2z 0 c S x y z R3 2x y 3z 0 d S x y z R3 x 3y e z y 4 Seja V R3 o espaço vetorial com as operações usuais Com U a b 0 a b R e W 1 2 3 1 1 1 subespaços de V R3 Encontre a dim U W Observação 1 Forma de entregar a Atividade 04 Pelo Teams até 22032025 Problema 1 Considerei o conjunto S 1 0 1 1 1 0 k 1 1 R3 Para determinar os valores de k para os quais S é linearmente independente LI ou linearmente dependente LD optei por calcular o determinante da matriz cujas linhas são os vetores de S A 1 0 1 1 1 0 k 1 1 Calculei o determinante por meio da expansão detA 1 det 1 0 1 1 0 det 1 1 k 1 1 det 1 1 k 1 Note que det 1 0 1 1 1 1 0 1 1 det 1 1 k 1 1 1 1 k 1 k Portanto obtive detA 11 11 k 1 1 k k 2 Concluí que S é LI se k 2 0 isto é se k 2 S é LD se k 2 0 isto é se k 2 Problema 2 Considerei o conjunto 2 3 2m 1 0 m 4 1 3 m 2 R3 Para determinar para quais valores de m esse conjunto é LI formei a matriz B 2 3 2m 1 0 m 4 1 3 m 2 Calculei o determinante de B por expansão detB 2 det 0 m 4 3 m 2 3 det 1 m 4 1 m 2 2m det 1 0 1 3 Realizei os seguintes cálculos 1 det 0 m 4 3 m 2 0 m 2 3 m 4 3m 4 2 det 1 m 4 1 m 2 1 m2 1m4 m2m4 2m2 2m1 3 det 1 0 1 3 1 3 0 1 3 Substituí esses valores na expressão detB 23m 4 32m 1 2m3 Ou seja detB 6m 4 6m 1 6m Simplificando detB 6m 24 6m 6 6m 6m 18 6m 3 Dessa forma concluo que o conjunto é LI se e somente se 6m 3 0 m 3 Problema 3 Procurei determinar bases para alguns subespaços de R3 a S x y z R3 y 2x Notei que tendo y 2x e z livre posso escrever x y z x 2x z x1 2 0 z0 0 1 Assim escolhi a base 1 2 0 0 0 1 b S x y z R3 x 2z 0 Da condição x 2z 0 deduzi que x 2z e que y é livre Assim x y z 2z y z y0 1 0 z2 0 1 Logo optei pela base 0 1 0 2 0 1 c S x y z R3 2x y 3z 0 Isolando y obtive 2x y 3z 0 y 2x 3z Dessa forma escrevi x y z x 2x 3z z x1 2 0 z0 3 1 E escolhi a base 1 2 0 0 3 1 d S x y z R3 x 3y e z y Percebi que com y livre x y z 3y y y y3 1 1 Assim a base que selecionei foi 3 1 1 Problema 4 Defini os subespacos U a b 0 a b R e W span1 2 3 1 1 1 Verifiquei que dim U 2 e observando que os vetores que geram W nao sao multiplos um do outro concluı que dim W 2 Para encontrar dimU W utilizei a formula dimU W dim U dim W dimU W Para determinar U W procurei um vetor v W que tambem pertencesse a U isto e v x y z com z 0 e v λ1 2 3 µ1 1 1 λ µ R Escrevi as componentes x λ µ y 2λ µ z 3λ µ Como v U impus a condicao z 0 3λ µ 0 µ 3λ Substituindo em x e y obtive x λ 3λ 2λ y 2λ 3λ 5λ Portanto v λ2 5 0 e concluo que U W span2 5 0 e dimU W 1 Assim calculei dimU W 2 2 1 3 Como dim R3 3 concluo que U W R3 3