Slide - Espaço Vetorial - 2023-2

Aula 3 Espaço vetorial Espaços Vetoriais Espaços vetoriais constituem os objetos de estudo de álgebra linear. Definição 1: Dizemos que um conjunto V ≠ ∅ é um espaço vetorial sobre R quando, e somente quando: I) Existe uma adição (u, v) → u+v em V, com as seguintes propriedades: a) u+v = v+u, ∀ u, v ∈ V; (comutativa) b) u+(v+w) = (u+v)+w, ∀ u, v, w ∈ V; (associativa) c) Existe em V um elemento neutro para a adição o qual será simbolizado genericamente por o. Ou seja: ∃ o ∈ V tal que u+o = u, ∀ u ∈ V; d) Para todo elemento u ∈ V, existe o oposto; indicaremos por (−u) esse oposto. Assim: ∀ u ∈ V, ∃ (−u) ∈ V; u+(−u) = o. Está definida uma multiplicação de R x V em V, o que significa que, a cada par (k, u) ∈ R x V está associado um único elemento de V que se indica por k.u, e para essa multiplicação tem-se o seguinte: a) k1(k2.u) = (k1k2) u; b) (k1+k2) u = k1u+k2u; c) k3(u+v) = k3u+k3v; d) 1.u = u. para qualquer u, v ∈ V e k1, k2 ∈ R. Se na definição I os índices de termos escalares números reais, tivermos números complexos, V será um espaço vetorial sobre C ou espaço vetorial complexo. Exemplos: 1) O espaço vetorial R. A adição de números reais verifica as propriedades I-a, I-b, I-c e I-d da definição de espaço vetorial. O produto de um número real por um outro é também um número e a multiplicação obedece os itens II-a, II-b, II-c e II-d da definição 1. Logo, R é um espaço vetorial. 2) O espaço vetorial C. Adição: igual ao caso anterior. O produto de um número complexo por um número real é um número complexo e para essa multiplicação valem II-a, II-b, II-c e II-d 3) O conjunto dos vetores do espaço V = R³ = {(a₁, a₂, a₃) ; aᵢ ∈ R} é um espaço vetorial (obedece as propriedades, como visto antes). 4) Considere V = Rⁿ = {(a₁, a₂, ..., aₙ) ; aᵢ ∈ R}, composto por n-uplas de números reais. Se ᵤ = (a₁, a₂, ..., aₙ), ᵥ = (b₁, b₂, ..., bₙ) ∈ Rⁿ e k ∈ R, definimos : ᵤ + ᵥ = (a₁+b₁, a₂+b₂, ..., aₙ+bₙ) e k.ᵤ = (ka₁, ka₂, ..., kaₙ). Rⁿ com adição e multiplicação definidos acima é um espaço vetorial. sobre R (ou espaço vetorial real). Veja como invariavelmente verificam as oito propriedades da definição 1. Ressaltamos que ō = (0, 0, ..., 0) e se ᵤ = (a₁, a₂, ..., aₙ), então -ᵤ = (-a₁, -a₂, ..., -aₙ). Por exemplo, ᵤ = (a₁, a₂, ..., aₙ) ∈ Rⁿ e k₁, k₂ ∈ R, então (k₁ + k₂). ᵤ = ((k₁ + k₂) a₁, (k₁ + k₂) a₂, ..., (k₁ + k₂) aₙ) = (k₁a₁ + k₂a₁, k₁a₂ + k₂a₂, ..., k₁aₙ + k₂aₙ) = (k₁a₁, k₁a₂, ..., k₁aₙ) + (k₂a₁, k₂a₂, ..., k₂aₙ) = k₁. (a₁, a₂, ..., aₙ) + k₂. (a₁, a₂, ..., aₙ) = k₁. ᵤ + k₂. ᵤ. Assim, a propriedade b) de multiplicação por escalar é válida. 5) O conjunto M_{m \times n}(\mathbb{R}) é um espaço vetorial sobre \mathbb{R} (as propriedades valem de acordo com o que foi feito quando definimos as operações para matrizes). 6) O espaço P_n(\mathbb{R}). Seja n \geq 0 um número natural. Indicaremos por P_n(\mathbb{R}) o conjunto dos polinômios reais de grau \leq n, mais o polinômio nulo. Por exemplo, P_2(\mathbb{R}) = \{ a_0 + a_1x + a_2 x^2; a_i \in \mathbb{R} \}, Veja que p(t), q(t) \in P_n(\mathbb{R}) \Rightarrow p(t) + q(t) \in P_n(\mathbb{R}) k \in \mathbb{R}, p(t) \in P_n(\mathbb{R}) \Rightarrow k.p(t) \in P_n(\mathbb{R}). Daí, lembrando as propriedades das operações com polinômios, concluímos que P_n(\mathbb{R}) é um espaço vetorial real. Observação: Os elementos de um espaço vetorial qualquer são chamados de vetores, o elemento neutro da adição de vetor nulo desse espaço e os elementos de \mathbb{R} (ou \mathbb{C}) de escalares. Primeiras propriedades de um espaço vetorial Seja V um espaço vetorial sobre \mathbb{R}. P_1: Para todo k \in \mathbb{R}, k. \vec{0} = \vec{0}; P_2: Para todo \vec{u} \in V, 0.\vec{u} = \vec{0}; P_3: Uma igualdade k\vec{u} = \vec{0} , com k \in \mathbb{R} e \vec{u} \in V, só é possível se k = 0 ou \vec{u} = \vec{0}; P_4: Para todo k \in \mathbb{R} e todo \vec{u} \in V, (-k).\vec{u} = k.(-\vec{u}) = -(k\vec{u}); Observação: Define-se diferença entre dois vetores \vec{u}, \vec{v} \in V como \vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v}). P_5: Quaisquer que sejam k, r ∈ ℝ e \tilde{u} ∈ 𝑉, (k−r)\tilde{u} = k\tilde{u} − r\tilde{u}; P_6: Quaisquer que sejam k∈ℝ, \tilde{u}, \tilde{v} ∈ 𝑉, k_1 (\tilde{u} − \tilde{v}) = k \tilde{u} − k \tilde{v}; P_7: Existe um único elemento neutro da adição \tilde{0} ∈ 𝑉; P_8: Cada elemento \tilde{u} ∈ 𝑉 possui um único elemento simétrico, −\tilde{u} ∈ 𝑉. Sublspaces Vetoriais Definição 2: Seja 𝑉 um espaço vetorial sobre ℝ. Um subespaço vetorial de 𝑉 é um subconjunto 𝑊 𝐶 𝑉, tal que: i) ∀ \tilde{u}, \tilde{v} ∈ 𝑊, \tilde{u} + \tilde{v} ∈ 𝑊; ii) ∀ 𝑘 ∈ ℝ e ∀ \tilde{u} ∈ 𝑊, k \tilde{u} ∈ 𝑊. Observações: 1) Qualquer subespaço vetorial 𝑊 de 𝑉 precisa, necessariamente, conter o vetor nulo (basta fazer 𝑘 = 0 em ii); 2) 𝑊 é um espaço vetorial pois as propriedades de espaço vetorial I-a,..., I-d e II-a,..., II-d, são válidas em 𝑉 e por i) e ii) da definição 2, como a soma e multiplicação por escalar são fechadas em 𝑊, também são válidas em 𝑊 (\tilde{u} ∈ 𝑊, tome k= -1, então -\tilde{u} ∈ 𝑊 (I-d)); 3) Todo espaço vetorial admite pelo menos dois subespaços vetoriais: 𝑊 = {\tilde{0}} e 𝑊 = 𝑉. São chamados subespaços triviais. Exemplo: 1) 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ³; 𝑥+𝑦 = 0} é subespaço de ℝ³. Note que, os únicos subespaços de R³ são a origem, as retas e planos que passam pela origem, e o próprio R³. 2) A interseção de dois subespaços vetoriais do mesmo espaço vetorial V é também um subespaço vetorial de V. Por exemplo, W = {(x, y, z) ∈ R³ ; x + y = 0} e U = {(x, y, z) ∈ R³ ; x - y = 0}. W e U são subespaços de R³, logo, W ∩ U = {(0, 0, z) ∈ R³} é subespaço de R³. 3) Consideremos um sistema linear homogêneo sobre R de tipo m x n: a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + ... + a₁ₙ xₙ = 0 a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + ... + a₂ₙ xₙ = 0 ... aₘ₁ x₁ + aₘ₂ x₂ + ... + aₘₙ xₙ = 0 Veja que se (c₁, c₂, ..., cₙ) e (d₁, d₂, ..., dₙ) são soluções do sistema, a soma também é: a₁₁ (c₁ + d₁) + a₁₂ (c₂ + d₂) + ... + a₁ₙ (cₙ + dₙ) = = (a₁₁c₁ + a₁₂c₂ + ... + a₁ₙcₙ) + (a₁₁d₁ + a₁₂d₂ + ... + a₁ₙdₙ) = 0 + 0 = 0. Veja também que se (c₁, c₂, ..., cₙ) é solução do sistema e k ∈ R, então k.(c₁, c₂, ..., cₙ) é solução do sistema: a_j (kc_j) + a_j2(kc_2) + ... + a_jn(kc_n) = k a_j c_j + k a_j2 c_2 + ... + k a_jn c_n = k(a_j c_j + a_j2 c_2 + ... + a_jn c_n) = k . 0 = 0. Logo, o conjunto solução de um sistema homogêneo, que é chamado espaço solução desse sistema, é um subespaço vetorial do R^n. 4) P_s(\mathbb{R}) é subespaço de P_n(\mathbb{R}) desde que 0 ≤ s ≤ n. (Enunciação!)