Resolver umas Lista de Algebra

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO Licenciatura em Matematica PROFª THAIS SILVA DO NASCIMENTO 2ª Lista de Exercıcios Espaco Vetorial e Subespacos Classifique as afirmacoes abaixo em verdadeiro ou falso quando falso indique qual o axioma que fa lha Demonstre quando verdadeiro Em todos os casos temos as operacoes de soma e multiplicacao por escalar usuais 1 O conjunto dos numeros racionais Q e um espaco vetorial sobre R 2 O conjunto dos numeros complexos C e um espaco vetorial sobre R 3 O conjunto A x yy 2x 3 e um espaco vetorial sobre R 4 O conjunto das matrizes quadradas de ordem n diagonais e um espaco vetorial sobre R 5 O conjunto das matrizes m n com entradas em Z e um espaco vetorial sobre R 6 O conjunto de todos os polinˆomios de grau n com coeficientes reais e um espaco vetorial sobre R 7 O conjunto Pn dos polinˆomios de grau menor ou igual a n com coeficiente reais e um espaco vetorial sobre C 8 O conjunto Pn dos polinˆomios de grau menor ou igual a n com coeficiente reais e um espaco vetorial sobre R 9 O conjunto FX R das funcoes de X para R e um espaco vetorial sobre C 10 O conjunto FX R das funcoes de X para R e um espaco vetorial sobre R 11 O conjunto Mmn das matrizes m n com entradas reais e um espaco vetorial sobre R 12 O conjunto Mmn das matrizes m n com entradas reais e um espaco vetorial sobre C 13 O conjunto Rn das nuplas com entradas reais e um espaco vetorial sobre C 14 O conjunto R das sequˆencias de numeros reais e um espaco vetorial sobre R 1 22 V FX R e W f X Rf0 0 23 V FX R e W f X Rf0 2 24 V FX R e W f X Rf constante Questao 3 Demonstre as seguintes afirmacoes 1 Se V e W sao espacos vetoriais entao V W x yx V y W e espaco vetorial 2 Se V e espaco vetorial entao FX V e um espaco vetorial 3 O vetor nulo e o simetrico de um vetor num espaco vetorial sao unicos 4 Se V e espaco vetorial e α R v V entao αv 0 se e somente se α 0 ou v 0 5 Se U e W sao subespacos de V entao U W e subespaco de V 6 Se U e W sao subespacos de V entao U W nao e subespaco de V 7 Se U e W sao subespacos de V entao U W u wu U e w W e subespaco de V e contem U W 2 Questao 7 Determinar uma base e a dimensao do espaco solucao de cada um dos seguintes sistemas de equacoes lineares homogˆeneos a x y 0 2x 3y 0 3x 1 2y 0 b x y z 0 2x y 2z 0 x 4y 5z 0 c 2x 2y z 0 3x y 3z 0 3y 4z 0 d x y z t 0 3x y 2z 4t 0 2y 5z t 0 Questao 8 Considere o espaco vetorial FX R das funcoes de X para R a Mostre que o conjunto das funcoes pares W1 f X Rfx x x X e um subespaco de FX R b Mostre que o conjunto das funcoes ımpares W2 f X Rfx x x X e um subespaco de FX R c Demonstre que W1 W2 FX R E soma direta Questao 9 Encontre uma base de V com as condicoes impostas a Base de R2 contida em 1 1 1 2 3 4 b Base de R3 que contenha 1 1 1 1 2 1 c Base de R3 contida em 1 2 1 2 0 2 2 2 0 0 2 2 d Base de R4 que contenha os vetores 1 1 1 0 1 1 2 1 Questao 10 Considere que W1 represente o subespaco das matrizes simetricas ou seja matrizes tais que At A e W2 seja o subespaco das matrizes antisimetricas isto e matrizes tais que At A a Encontre uma base para W1 e W2 em M2R b Encontre uma base para W1 e W2 em M3R c Generalize e conclua que a dimensao do subespaco das matrizes simetricas em MnR e igual a n2 n 2 Qual e a dimensao do subespaco das matrizes antisimetricas em MnR d Demonstre que W1 W2 MnR E soma direta 2