Slide - Transformações Lineares - 2023-2

Exemplo: 1) T: R^2 → R (x, y) ↦ x + y 2) Seja a transformação linear T: R^3 → R^3 dada por T(x, y, z) = (x, 2y, 0). Definição: Seja T: V → W uma transformação linear. O conjunto de todos os vetores \( \vec{v} \in V \) tais que \( T(\vec{v}) = \vec{0}_W \) é chamado núcleo de T, sendo denotado por Nuc(T). Isto é, Nuc(T) = {\( \vec{v} \in V; T(\vec{v}) = \vec{0}_W \)}. Observe que Nuc(T) \( \subseteq \) V. Além disso, Nuc(T) é um subespaço vetorial de V. 2) V=\mathbb{R}^2 \ e \ W=\mathbb{R}^3. T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 (x,y) \mapsto (2x,0,x+y) \ \ ou \ \ T(x,y)=(2x,0,x+y). Observação: Segue da definição de transformação linear que, sendo \vec{0}_V \ o \ vetor \ nulo \ de \ V \ e \ \vec{0}_W \ o \ vetor \ nulo \ de \ W, \ temos: 3) V = R^n e W = R^m. Seja A uma matriz m x n. Definimos L_A : R^n → R^m v = [x_1 x_2 ... x_n]^T↦ A ⋅ v onde v é tomado como vetor coluna, v = [x_1, x_2, ..., x_n]^T. L_A(v) = A ⋅ [x_1 x_2 ... x_n] = [y_1 y_2 ... y_m]. O exemplo 3 mostra que uma matriz produz uma transformação linear. Reflexão na origem: \( T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 \) \( \vec{v} \mapsto -\vec{v} \), ou seja, \( T(x, y) = (-x, -y) \). As transformações de plano no plano dadas são lineares pois são dadas por \( \vec{v} \mapsto A\cdot \vec{v} \), onde A é uma matriz \( 2 \times 2 \). A aplicação a seguir não é linear. Translação T(x, y) = (x + a, y + b) ou \[ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} \] Esta é uma translação do plano segundo o vetor \( (a, b) \) e, a menos que \( a = b = 0 \), T não é linear. Conceitos e Teoremas Teorema 1: Dados dois espaços vetoriais reais \( V \) e \( W \) e uma base de \( V \), \( \{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots, \vec{v}_n \} \), sejam \( \vec{w}_1, \ldots, \vec{w}_n \) elementos arbitrários de \( W \). Então existe uma única aplicação linear \( T: V \rightarrow W \) tal que \( T(\vec{v}_1) = \vec{w}_1, \ldots, T(\vec{v}_n) = \vec{w}_n \). Esta aplicação é dada por: se \( \vec{v} = a_1 \vec{v}_1 + a_2 \vec{v}_2 + \ldots + a_n \vec{v}_n \), \( T(\vec{v}) = a_1 T(\vec{v}_1) + a_2 T(\vec{v}_2) + \ldots + a_n T(\vec{v}_n) \) \( T(\vec{v}) = a_1 \vec{w}_1 + a_2 \vec{w}_2 + \ldots + a_n \vec{w}_n \). Demonstração: Problema 1: Qual é a transformação linear T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 tal que T(1,0) = (2,1,0) \ e\ T(0,1) = (0,0,1)? Problema 2: Qual é a transformação linear T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 tal que T(1,1) = (3,2,1) \ e\ T(0,-2) = (0,1,0)? Definição: Seja T: V \to W uma aplicação linear. A imagem de T é o conjunto dos vetores \overrightarrow{w} \in W tais que existe um vetor \overrightarrow{v} \in V, que satisfaz T(\overrightarrow{v}) = \overrightarrow{w}. Ou seja, \operatorname{Im}(T) = \{\overrightarrow{w} \in W ;\ T(\overrightarrow{v}) = \overrightarrow{w} \ \text{para algum} \ \overrightarrow{v} \in V \}. Veja que \operatorname{Im}(T) \subseteq W. Além disso, \operatorname{Im}(T) é subespaço vetorial de W.