Lista - Transformações em Álgebra Línear - 2023-2

Universidade Federal de Mato Grosso Departamento de Matematica - DMAT Algebra Linear - Ciéncia da Computacao Professora: Daniella Porto Lista 5 de Algebra Linear 1. Verificar se a aplicacao T : R? > R? definida por: T(z, y,2) =(z,4+y) é linear. 2. Verificar se a aplicacaéo T : R? — R? definida por T(x, y) = (x? + y?,x) 6 uma trans- formacao linear. 3. Seja P uma matriz inversivel de M,,(R). Mostrar que T : M,,(R) > M,(R) dada por T(X) = P7'XP é uma transformagao linear. 4. Verifique se T : P,(R) > P,(IR) dado por T(f(t)) = tf’(t), V f(t) € P,(R) é uma transformacao linear. 5. Consideremos o espaco vetorial C sobre R e seja T : C > C tal que T(z) = 7, Vz €C. Mostre que 7’ é uma transformagao linear. Se tivéssemos considerado o espaco vetorial C sobre C seria JT’ ainda um operador linear? 6. Sabendo que T : R? > R? é uma aplicacéo linear e que encontrar T(x, y) onde (x,y) 6 um vetor genérico do R?. 7. Seja T 0 operador linear do R? tal que T(1,0) = (2,1) e T(0,1) = (1,4). a) Determinar T(2, 4); b) Determinar (x,y) € R? tal que T(x, y) = (2,3); c) Provar que T é injetora e sobrejetora (bijetora). 8. Seja JT: U > V uma transformagao linear com a seguinte propriedade: se {u1,...,Un} é uma base de U, entao {7T'(u1), ..., 7(un)} € linearmente independente em V. Provar que T é injetora. 9. Seja T 0 operador linear de M2(R) definido por T(X) = BX, VX € M2(R), 1 O . . onde B € M2(R). No caso de B = 9 _] determine Nuc(7’) e uma base da imagem de T. 10. Determinar o nticleo e a imagem, bem como as dimensoes respectivas, de T : P,(IR) > P,(R) dada por T(f(t)) = f(t) + #f’(0). 11. Achar uma transformagao linear do R? no R? cujo nucleo seja gerado por (1, 1,0). 1 Universidade Federal de Mato Grosso Departamento de Matematica - DMAT Algebra Linear - Ciéncia da Computacao Professora: Daniella Porto Lista 6 de Algebra Linear 1. Mostrar que T : R? + R* dada por T(z, y, z) = (2,2 — y,y — 2, z) 6 injetora mas nao é isomorfismo de R? em R*. 2. Descreva, explicitamente, uma transformacao linear de R® > R? que tem como imagem o espaco gerado pelos vetores (1,0, —1) e (1, 2, 2). 3. Determine uma transformagcao linear T : P2(R) > M2(R) que satisfaca simultaneamente as seguintes condic¢oes: a) p(x) = (1+ 2?) € Nuc(T); b) g(a) = 1 € Nuc(T); 2 0 c) A=(4 1 ) € Im(T). 4. Seja T 0 operador linear do P(R) definido por T(g(t) = (1—t)g’(t). Determinar a matriz de T em relacao a base canonica B = {1,t} de P2(R). 5. Seja T : R? + R? definida por T(z,y,z) = (« + z,y — 2z). Determinar [T]® sendo B = {(1,2,1), (0,1, 1), (0,3, -1)} eC = {(1,5), (2,-1)}. 6. Sejam A = {(0, 2), (2,-1)} e B = {(1,1,0), (0,0, -1), (1,0,1)} bases de R? e R’ e 2 0 isig=({ 4 0 0 —4 Dé a expresséo para S(x,y). 7. Seja T o operador linear de M2(R) definido por 1 1 T(X) = ( 2 )x VX € M,(R) Sendo B a base candnica de M2(R), determine o trago da matriz [T]3. (Trago=soma dos termos da diagonal principal). 8. Responda: a) Qual é a transformacao linear T : R? > R?® tal que T(1,1) = (3,2,1) e T(0,-2) = (0, 1,0)? b) Encontre T(1,0) e T(0, 1); c) Qual é a transformacao linear S : R® > R? tal que $(3,2,1) = (1,1), $(0,1,0) = (0, -2) e $(0,0,1) = (0,0)? d) Encontre a transformacao linear P : R? + R? tal que P= S oT. 1 9. Sejam R, S e T trˆes transforma¸c˜oes lineares de R3 em R3. Se [R] =   1 0 1 2 1 1 0 −1 1   e [S] =   −2 1 −1 3 1 2 1 −2 0   , encontre T tal que R = S ◦ T. 10. Sejam A = {(1, −1), (0, 2)} e B = {(1, 0, −1), (0, 1, 2), (1, 2, 0)} bases de R2 e R3, respec- tivamente, e [T]A B =   1 0 1 1 0 −1   . a) Encontre T; b) Se S(x, y) = (2y, x − y, x), encontre [S]A B. 2