Lista 8 - Cálculo 1 - 2023-1

Lista 7 Cálculo I 1. Determine os valores mínimo e máximo absolutos para cada função no intervalo dado e informe onde ela os assume. (a) f(x) = x 4 + 1 x , [1, 5] (b) f(x) = e−x2 , [−2, 1] (c)* f(t) = t √ 4 − t2 , [−1, 2] (d) g(x) = x2/3(x − 2)2 , [−1, 3] (e) f(x) = x3 − 6x2 + 9x + 2 , [−1, 4] (f)* f(x) = x − 3 ln x , [1, 4] 2. Encontre cada ponto crítico e determine os extremos locais (a) f(x) = x2/3(x + 2) (b) f(x) = x3 + x2 − 8x + 5 (c)* f(x) = x2√ 3 − x (d) g(x) = x + 1 x2 + 2x + 2 (e) f(x) = x − ln x 3. Verifique que a função satisfaça as hipóteses do Teorema do Valor Médio sobre o intervalo dado. Então encontre todos os números c que satisfazem a conclusão do Teorema do Valor Médio. (a) f(x) = x3 − 3x2 + 2x + 5 , [0, 2] (b) f(x) = x2/3 , [0, 1] (c)* f(x) = ln(x − 1) , [2, 4] (d) f(x) = sen 2πx , [−1, 1] (e) f(x) = e−2x , [0, 3] (f) f(x) = x3 + x − 1 , [0, 3] 4. Nas seguintes funções, encontre os intervalos onde a função é crescente e decrescente; em seguida, identifique os valores extremos locais da função, se houver, informando onde ela os assume. (a) f(t) = 3 2t4 − t6 (b)* g(x) = x3 3x2 + 1 (c) h(x) = x4 − 8x2 + 16 (d) f(x) = x2 − 3 x − 2 (e) g(t) = −3t2 + 9t + 5 (f) h(x) = x2 ln x 5. Analise a concavidade do gráfico das funções abaixo. Identifique os pontos de inflexão. (a) f(x) = x4 + 4x2 − 16 (b) g(x) = 3x2/3 − x5/3 (c) f(x) = 1 + (x − 2)2/3 (d)* g(x) = 2x x2 + 1 (e) f(x) = x2 x2 − 4 6. Esboce o gráfico de uma função que satisfaça todas as condições dadas. (a) f ′(0) = f ′(2) = f ′(4) = 0, f ′(x) > 0 se x < 0 ou 2 < x < 4, f ′(x) < 0 se 0 < x < 2 ou x > 4, f ′′(x) > 0 se 1 < x < 3, f ′′(x) < 0 se x < 1 ou x > 3. (b) f ′(x) > 0 se |x| < 2, f ′(x) < 0 se |x| > 2, f ′(−2) = 0, lim x→2 f(x) = ∞, f ′′(x) > 0 se x ̸= 2. 1 (c) * f(0) = 0, f ′(−2) = f ′(1) = f ′(9) = 0, lim x→+∞ f(x) = 0, lim x→6 f(x) = −∞, f ′(x) < 0 em (−∞, −2), (1, 6) e (9, +∞); f ′(x) > 0 em (−2, 1) e (6, 9), f ′′(x) > 0 em (−∞, 0) e (12, +∞); f ′′(x) < 0 em (0, 6) e (6, 12). 7. Use o teste da segunda derivada para identificar os máximos e mínimos locais das funções abaixo. (a) f(x) = x3 − 3x + 2 (b) g(x) = 10x 100 + x2 (c)* f(x) = x2 + 1 x2 8. * Encontre a e b de modo que a função f(x) = ax3 +bx2 +3x−1 passe pelo ponto (−1, 1) e tenha um ponto de inflexão quando x = 2. 9. Esboce o gráfico das seguintes funções. Inclua as coordenadas de quaisquer extremos locais e pontos de inflexão (a) h(x) = x4 − 2x2 (b) f(x) = 2x3 − 3x2 − 12x (c) g(x) = 2x − 3x2/3 (d) h(x) = x1/3(x − 4) (e) f(x) = 3x + 2 x2 (f) h(x) = x2 x2 + 9 (g) f(x) = x x − 1 (h)* g(x) = x2 − 2 x4 2