Exercícios - Cálculo 1 2021 2

Exercício 1) Resolva as integrais a seguir, apresente todos os passos utilizados em sua resolução. a) ∫ sen(x/2) dx b) ∫ [1/3 cos(3x) - 1/7 sen(7x)] dx c) ∫_{0}^{1} x e^{-x^2} dx d) ∫ (x+2)/(x^3+2x^2+5x) e) ∫ cos^4(x)/sen^4(x) dx f) ∫ (x + e^x) dx g) ∫ cos(3x) cos(7x) dx h) ∫_{0}^{1} e^{-x} cos(2x) dx i) ∫ x^2√(x-1) dx j) ∫ x^2 + 5x + 4 dx Exercício 2 Seja n um número natural, com n ≥ 2. Mostre que: ∫ cos^{n}(x) dx = 1/n cos^{n-1}(x) sen(x) + (n-1)/n ∫ cos^{n-2}(x) dx Exercício 3 Verifique que para todo natural n ≥ 1 e todo real s > 0 ∫ t^n e^{-st} dt = -1/s t^n e^{-st} + n/s ∫ t^{n-1} e^{-st} dt Exercício 4) Seja f: ℝ → ℝ derivável até segunda ordem, e tal que, para todo x, f″(x) - f(x) = 0. Prove que g(x) = e^x [f′(x) - f(x)], x ∈ ℝ é constante. Q.2) ∫ cos^n(x) dx = 1/n cos^{n-1}(x) sen(x) + n-1/n ∫ cos^{n-2}(x) dx cos^n(x) = cos^{n-1}(x) * cos(x) u = cos^{n-1}(x) du = (n-1) cos^{n-2}(x) * (-sen(x)) dx dv = cos(x) dx v = sen(x) ∫ cos^n(x) cos(x) dx = cos^{n-1}(x) sen(x) - ∫ v du = cos^{n-1}(x) sen(x) + ∫ (n-1) cos^{n-2}(x) sen(x) dx cos^2(x) + sen^2(x) = 1 ⇒ sen^2(x) = 1 - cos^2(x) ... ∫ (n-1) cos^{n-2}(x) (1-cos^2(x)) dx = [(n-1) cos^{n-2}(x) - (n-1) cos^n(x)] dx ∫ cos^n(x) dx = cos^{n-1}(x) sen(x) + ∫ (n-1) cos^{n-2}(x) dx - ∫ (n-1) cos^n(x) dx ∫ cos^n(x) dx + (n-1) ∫ cos^n(x) dx η ∫ cos^n(x) dx = cos^{n-1}(x) sen(x) + (n-1) ∫ cos^{n-2}(x) dx ∫ cos^n(x) dx = 1/n cos^{n-1}(x) sen(x) + n-1/n ∫ cos^{n-2}(x) dx Q.3) ∫ x^n e^{ax} dx I II = x^n e^{ax} dx - ∫ d/dx x^n ∫ e^{ax} dx = x^n e^{ax} / a - ∫ n x^{n-1} e^{ax} / a dx = x^n e^{ax} / a - n/a ∫ x^{n-1} e^{ax} dx Para ∫ x^n e^{-ax} dx = x^n/a e^{-ax} + n/a ∫ x^{n-1} e^{-ax} dx Q.4 f''(x) - f(x) = 0 f''(x) - f'(x) - f(x) = -f'(x) f''(x) - f'(x) = f'(x) - f(x) f''(x) - f'(x) = -[f'(x) - f(x)] g(x) = e^x [f'(x) - f(x)] g(x) = e^x [f'(x) - f(x)] + e^x [f''(x) - f'(x)] g'(x) = e^x [f'(x) - f(x)] + e^x [- (f'(x) - f(x))] g'(x) = e^x [f'(x) - f(x)] - e^x [f'(x) - f(x)] g'(x) = 0 como a derivada e zero g(x) = cte Questão 1d \(\frac{x+2}{x^2 + 2x + 5x}\) = \(\frac{x+2}{x(x^2 + 2x + 5)}\) = \(\frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2 + 2x + 5}\) multiplica tudo por \(x(x^2 + 2x + 5)\) \(\frac{x+2}{x^2 + 2x + 5x} = \frac{(x+2).x.(x^2+2x+5)}{x.(x^2+2x+5)} = \frac{A.x(x^2+2x+5)+Bx(x^2+5)x}{x}\) (x+2) = A.(x^2 + 2x + 5) + x.(Bx + C) trocando x=0 => A=2/5 x+2 = \frac{2}{5} (x^2 + 2x + 5) + x.(Bx + C) x+2 = \frac{2}{5} x^2 + \frac{4}{5} x + 2 + Bx^2 + Cx grupar elementos de acordo com os potências x+2 = x^2.(B+ \frac{2}{5} ) + x.(C + \frac{4}{5}) + 2 \{ \begin{align*} \frac{4}{5} + C = 1 \ B + \frac{2}{5} = 0 \ \end{align*} \} logo : \begin{align*} B= -\frac{2}{5} \end{align*} e C=\frac{1}{5} \frac{2}{5x} + \frac{-2x+1}{5.(x^2+2x+5)} = bota inteira. Questão 1 \((a) \int \sin\left(\frac{x}{2}\right) dx \) = \(2\sin(u)du \) \(u = \frac{x}{2} \implies dx = 2du\) = \(-2\cos(u) + c \) \((b) \int_{3}^{9} \cos(3x) - \frac{7}{3}\sin(7x)dx \) \(u = 3x \quad : \quad \frac{du}{3} = dx\) \((v = 7x) \) \(du = 3dx \quad : \quad dv = 7dx\) = \(\frac{1}{3}\int \cos(u)du \) = \(\frac{1}{7} \int \sin(v)dv \) \((c) \int_{0}^{1} xe^{-x^2} dx \) \(u = -x^2 \) \(du = -2xdx \) \(\frac{1}{2} \int e^u du\) \(\frac{1}{2}[e^u]_{0}^{1} \) = \(-\frac{e^{-x^2}}{2} \) = \(-\frac{e^{-1}}{2} + \frac{1}{2} \)