Questões - Derivadas e Integrais - 2023-2

5. Integral 307. Calcule ∫π/2_0 cos x dx. Solução Uma primitiva de f(x) = cos x é F(x) = ∫ cos x dx = sen x. Segue que ∫π/2_0 cos x dx = sen π/2 - sen 0 = 1 Também costumamos indicar os cálculos como segue: ∫π/2_0 cos x dx = sen x |π/2_0 = sen π/2 - sen 0 = 1 308. Calcule as integrais definidas: a) ∫1_0 x dx b) ∫1_0 x^2 dx c) ∫π/4_0 sen x dx d) ∫π/4_0 cos x dx e) ∫2_1 1/x^2 dx 309. Calcule: a) ∫1_-1 7 dx b) ∫1_-1 x^2 dx c) ∫1_-1 x^3 dx d) ∫1_-1 (-x^2)dx e) ∫1_-1 2x^4 dx 310. Calcule: a) ∫2_0 (x^2 - 3x + 5)dx b) ∫π/2_0 (sen x + cos x)dx c) ∫π/2_0 (1 + cos x)dx d) ∫1_0 (x^5 - 1)x dx e) ∫4_1 (√x + 1/√x) dx 311. Calcule a área sob o gráfico de f(x) = -2x^2 + 4x, 0 ≤ x ≤ 2. Solução A área é igual a ∫2_0 f(x)dx. Logo, e segue que F(x) = ∫ (-2x^2 + 4x)dx = -2x^3/3 + 4x^2/2 e A = F(2) - F(0) = (-16/3 + 8) - 0 = 8/3 317. Calcule a área da região limitada pelas curvas: a) y = x e y = x^2 b) y = x^2 - 1 e y = 1 - x^2 c) y = x^2 e y = 2x + 8 d) y = x^2 e y = √x e) y = sen x e y = x^2 - πx 318. Calcule dF/dx, sendo F(x) igual a: a) ∫t_1 (5t + 2)t dt b) ∫x_5 √t dt c) ∫x_1 √t dt IV. Algumas técnicas de integração 203. Até agora determinamos ∫ f(x)dx utilizando as regras de derivação e algumas propriedades das derivadas. Entretanto, o cálculo de uma primitiva pode não ser uma tarefa simples ou imediata. Vejamos alguns exemplos: 1. ∫ 2x ⋅ cos x^2 dx = sen x^2 + c 2. ∫ 3√x ⋅ √x - 1 dx = 2/3 (√x^3 - 1)^3 + c 3. ∫ x ⋅ cos x dx = x sen x + cos x + c 4. ∫ xe^x dx = xe^x - e^x + c Nestes casos, algumas técnicas são requeridas, a fim de determinarmos a integral indefinida. Nestas noções iniciais sobre integral, examinaremos duas: a integração por substituição e a integração por partes. 204. Integração por substituição Consideremos o cálculo de uma primitiva de f(x) = 2x ⋅ cos x^2. Fazendo a substituição x^2 = u(x), teremos u’(x) = 2x, e então f(x) = u’(x) ⋅ cos u(x). Lembrando da regra da cadeia, do cálculo das derivadas resulta que uma primitiva de u’(x) ⋅ cos u(x) é sen u(x), ou seja: ∫ u’(x) cos u(x) dx = sen u(x) + c De um modo geral, se f(x) pode ser escrita na forma g[u(x)] ⋅ u’(x), uma primitiva de f(x) será obtida tomando-se uma primitiva de g(u) em relação a u, isto é, Solução a) Fazendo u(x) = 7x, temos u’(x) = 7 e segue que: ∫ 7 sen 7x dx = ∫ u’ ⋅ sen u dx = -cos u + c = -cos 7x + c b) Fazendo u(x) = 3x, temos u’(x) = 3 e segue que: ∫ 5 cos 3x dx = 1/3 ∫ 3 ⋅ cos 3x dx = 1/3 ∫ u’ ⋅ cos u dx = -1/3 sen u + c = -1/3 sen 3x + c c) Fazendo u(x) = x^2, temos u’(x) = 2x e segue que: ∫ e^{x^2} x dx = 1/2 ∫ e^(x^2) . 2x dx = 1/2 ∫ e^u ⋅ u’ dx = 1/2 e^u + c = 1/2 e^(x^2) + c d) Fazendo u(x) = x + 1, temos u’(x) = 1 e segue que: ∫ (x + 1)^7 dx = ∫ u^7 du = x^18/18 + c ∫ e^sen x cos x dx = ∫ e^u ⋅ u’ dx = e^u + c = e^sin x + c 320. Calcule as integrais indefinidas indicadas: a) ∫ (3x + 7)15 ⋅ 3 dx b) ∫ e^2 x ⋅ 3 dx c) ∫ 5 ⋅ cos 5x dx d) ∫ 3 ⋅ √3x + 7 dx e) ∫ x^2 1/(x + 1)^3 dx 321. Calcule: a) ∫ e^3 x ⋅ x^2 dx b) ∫ x ⋅ cos 3x^2 dx c) ∫ (5x - 1)^13 dx d) ∫ √5x - 1 dx e) ∫ 1/(3x + 7)^7 dx 322. Calcule: a) ∫ e^3x dx b) ∫ (sen x)^5 cos x dx c) ∫ sen 5x dx d) ∫ cos (3x + 1)dx e) ∫ (3 - 2x)^7dx 206. Integração por partes Sabemos que para a derivada do produto u(x) ⋅ v(x) vale a igualdade: (u(x) ⋅ v(x))’ = u’(x) ⋅ v(x) + v’(x) ⋅ u(x) Assim, segue que uma primitiva de (u(x) ⋅ v(x))’ é igual à soma de uma primitiva de u’(x)v(x) com uma primitiva de v’(x) ⋅ u(x) (a menos de uma constante), ou seja: