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Fundação Universidade Federal de Mato Grosso Curso de Estatística Disciplina de Cálculo I PROVA FINAL (17/04/2024) Acadêmico (a): ___________________________________________________________________ Orientações: 1) A prova tem valor máximo de 10 pontos. 2) Nas questões que aparece □ substituir pelo número de letras do seu Primeiro nome. Exemplo: Ana Oliveira, o nome Ana tem 3 letras, a substituição será □=3. Se gerar acima de 10 deve somar, ou seja, 1+0 = 1. 3) A correção da prova é pautada no desenvolvimento das questões e não somente na resposta correta. Questões: 1) Obtenha o domínio das seguintes funções: a) 𝑓(𝑥) = 2 𝑥 + 𝟓 𝑥−□ b) 𝑔(𝑥) = √2𝑥 − □ (valor 1,5 ponto) 2) Obtenha a equação da reta para os casos: a) m= □ e P(1,-3) b) A (–2,3) e B (4, □) (valor 1,5 ponto) 3) Use uma TABELA de valores para estimar o valor do limite. a) lim 𝑥→□ 𝑥2−□2 𝑥−□ b) lim 𝑥→0 𝑠𝑒𝑛 □ 𝑥 □ 𝑥 (valor 1,5 pontos) 4) Calcule o limite (usando a ÁLGEBRA, sem tabela): a) lim x→ 0 (−□ +x)2−□2 x b) lim x→ +∞ x2−□2 x−□ (valor 1,5 pontos) 5) Obtenha a derivada de cada função a seguir: a) 𝑓(𝑥) = □𝑥5 + 3𝑥3 + □𝑥 b) 𝑅(𝑥) = (𝑥3 + 𝑠𝑒𝑛𝑥). (𝑒𝑥 + 𝑙𝑛𝑥) (valor 2,0 pontos) c) 𝑔(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥+2𝑥 𝑥□+5𝑥3 d) 𝐹(𝑥) = √2𝑥3 + 3𝑥2 + 6 □ 6) Encontre os números críticos da função 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 + 3𝑥2 − □ (valor 2,0 ponto) Questao 1. Obtenha o dominio das seguintes fungoes: 2 5 a) fx) == +> xr «2-9 b) f(x) = //2x -—9 Solugao. a) Temos que 7x — 18 Logo, o dominio de f sao os valores de x tais que x(a —-9) 40 &@ t#AVCLFY. Domf ={xER:«¢4#0exF 9}. Temos que 9 Domf = cERia25 . Obtenha a equacao da reta para os casos: a) m=9e P(1,-3) b) A(—2,3) e B(4,9) Solugao. a) Temos que a equacao geral da reta é dada por y=ma«t+b, onde m é 0 coeficiente angular m = 9. Entao, substituindo os dados na equagao —-3=9-14+60 s b=-12. Logo, a equacao procurada é y = 9x — 12. b) Sejam (xo, yo) = (—2,3) e (v1, y1) = (4,9). Entao, o coeficiente angular m é dado por ma viz 9-3 _6_, X1— Xo 4— (—2) 6 , Logo, substituindo m e (29, yo) = (—2,3) na equacao da reta, obtemos: y-—Yy =M(e%-—2) & y-3=1(a#—-(-2)) S y-3=2442 & y=rH+5. Questao 3. Use uma tabela de valores para estimar o valor do limite: _ «2 —9? a) lim 9 b) lim ow xz—0 Ox Solugao. a) Como para todo a € R, 1 lim x→a x2 − a2 x − a = 2a, segue que lim x→9 x2 − 92 x − 9 = 18. b) Consideremos a seguinte mudan¸ca de vari´avel: u = 9x. Ent˜ao, x → 0 ⇒ u → 0 e usando o limite trigonom´etrico fundamental, temos lim x→0 sen(9x) 9x = lim u→0 sen(u) u = 1. Quest˜ao 4. Calcule os limites (usando ´algebra, sem tabela) : a) lim x→0 (x − 9)2 − 92 x b) lim x→∞ x2 − 92 x − 9 Solu¸c˜ao. a) Desenvolvendo quadrado perfeito, temos que lim x→0 (x − 9)2 − 92 x = lim x→0 x2 − 18x + 81 − 81 x = lim x→0 x2 − 18x x = lim x→0 x(x − 18) x = lim x→0 x − 18 = −18. b) Temos que lim to∞ x2 − 92 x − 9 = lim x→∞ (x − 9)(x + 9) x − 9 = lim x→∞ x + 9 = ∞. Quest˜ao 5. Obtenha a derivada de cada fun¸c˜ao a seguir: a) f(x) = 9x5 + 3x3 + 9x b) R(x) = (x3 + sen(x)) · (ex + lnx) c) g(x) = cos(x) + 2x x9 + 5x3 d) F(x) = 9√ 2x3 + 3x2 + 6. Solu¸c˜ao. a) Aplicando a regra da Potˆencia, temos que: f ′(x) = 45x4 + 9x2 + 9. 2 b) Aplicando a regra do Produto, temos que / d 3 x 3 d x R(x) = —(a° + sen(a)) - (e® + Ina) + (a + sen(x)) - —(e® + Inz) dx dx 2 x 3 x 1 = (3x* + cos(x)) - (e” + Ina) + (2° + sen(ax)) + | e* + 7) c) Aplicando a Regra do Quociente, temos que d 9 3 d v9 3 ag (008(2) + 2x) - (a? + 5x?) — a + 5x”) - (cos(x) + 2x) 17,.) — dx g(t) = (x9 + 5a)? _ (2—sen(x))(x? + 5x) — (92° + 152?) + (cos(x) + 22) 7 (x9 + 5a)? _ 2—sen(x) _ (9a° + 15x?) - (cos(x) + 2x) (x9 + 5a) (x9 + 5x3)? , d) Temos que F'(x) = f (53 + 3x? + 6)1/9 dx 3 2 8/9, 4 (53 2 = 9(2x° + 32° + 6) ay (ee + 32° + 6) fa = 9(2x° + 3x? + 6)8/9 - (6x? + 62) _ 6x(x + 1) 9 °/(2x3 + 322 +6) _ 2x(a + 1) 39/223 + 3a? +68 Questao 6. Encontre os nimeros criticos da funcao f(x) = 2x3 + 3a? — 9. Solugao. Os ntmeros criticos de f, sao os valores de x, tais que f’(z) = 0. Calculando f’, temos que f' (x) = 6x? + 62, e segue que f(x) =0 © 6a(a+1)=0 & t=0euv=-1. 3