Questões - Funções - 2023-2

EXERCÍCIOS 158. Estabeleça o domínio e a imagem das funções abaixo: a) b) c) d) 159. Determine o conjunto imagem das funções abaixo representadas nos gráficos cartesianos. 160. Considerando que os gráficos abaixo são gráficos de funções, estabeleça o domínio e a imagem. a) d) e) f) Exemplos: 1º) Se A = {1, 2, 3} e B = {−2, −1, 0, 1, 2}, então as funções de A em B definidas por: f(x) = x − 1 e g(x) = x² − 1 / x + 1 INTRODUÇÃO AS FUNÇÕES são iguais, pois: x = 1 ⇒ f(1) = 1 − 1 = 0 e g(1) = 1 − 1 / 1 + 1 = 0 x = 2 ⇒ f(2) = 2 − 1 = 1 e g(2) = 4 − 1 / 2 + 1 = 1 x = 3 ⇒ f(3) = 3 − 1 = 2 e g(3) = 9 − 1 / 3 + 1 = 2 ou seja, f = g = {(1, 0), (2, 1), (3, 2)}. 2º) As funções f(x) = √x² e g(x) = |x| de ℝ em ℝ são iguais, pois √x² = |x|, ∀ x ∈ ℝ. 3º) As funções f(x) = x e g(x) = |x| de ℝ em ℝ não são iguais, pois x ≠ |x| para x < 0. EXERCÍCIOS 164. Sejam as funções f, g e h de ℝ em ℝ definidas por f(x) = x³, g(x) = y³ e h(x) = z³. Quais delas são iguais entre si? 165. As funções f e h de ℝ em ℝ definida por f(x) = ³√x e g de ℝ em ℝ definida por g(x) = x são iguais? Justifique. 166. As funções f e g cujas leis de correspondência são: f(x) = √x − 1 / x + 1 e g(x) = √x − 1 / x + 1 podem ser iguais? Justifique. 167. As funções f e g de A = ℝ | −1 < x < 0 ou x > 1} em ℝ, definidas por: f(x) = √x + 1 / √x − x e g(x) = √x + 1 / √x² − x são iguais? Justifique. 168. As funções: f: ℝ → ℝ e g: ℝ − {1} → ℝ são iguais? Justifique. x → x + 1 e x → x² − 1 / x−1 VII. Propriedades das relações 69. São evidentes as seguintes propriedades: 1º) D(R^−1) = Im(R) isto é, o domínio de R^−1 é igual à imagem de R. 2º) Im(R^−1) = D(R) isto é, a imagem de R^−1 é igual ao domínio de R. 3º) (R^−1)^−1 = R isto é, a relação inversa de R^−1 é a relação de R. EXERCÍCIOS 139. Enumere os elementos de R^−1, relação inversa de R, nos seguintes casos: a) R = {(1, 2), (3, 1), (2, 3)} b) R = {(1, −1), (2, −1), (3, −1), (−2, 1)} c) R = {(−3, −2), (2, 1), (3, −2), (3, 1)} 140. Enumere os elementos e esboce os gráficos de R e R^−1, relações binárias em A = {x ∈ N | x ≤ 100}, nos os seguintes casos: a) R = {(x, y) ∈ A² | x + y = 8} b) R = {(x, y) ∈ A² | x + 2y = 10} c) R = {(x, y) ∈ A² | y = (x − 3)² + 1} d) R = {(x, y) ∈ A² | y = 2^x} 141. Dados os conjuntos A = {x ∈ ℝ | 1 ≤ x ≤ 6}, B = {y ∈ ℝ | 2 ≤ y ≤ 10} e as seguintes relações binárias: a) R = {(x, y) ∈ A × B | x = y} b) S = {(x, y) ∈ A × B | y = 2x} c) T = {(x, y) ∈ A × B | y = x + 2} d) V = {(x, y) ∈ A × B | x + y = 7} dê o gráfico cartesiano dessas relações e das respectivas relações inversas. Decorre dessa definição que R^-1 é o conjunto dos pares ordenados obtidos a partir dos pares ordenados de R invertendo-se a ordem dos termos em cada par. Exemplos: 1°) Se A = {2, 3, 4, 5} e B = {1, 3, 5, 7}, quais são os elementos de R = {(x, y) ∈ A x B | x < y} e de R^-1? Utilizando o esquema das flechas, A B 1 3 5 7 2 3 4 5 RN A B 1 3 5 7 R^-1 A A 2 3 4 5 temos: R = {(2, 3), (2, 5), (2, 7), (3, 5), (3, 7), (4, 5), (4, 7), (5, 7)} e R^-1 = {(3, 2), (5, 2), (7, 2), (5, 3), (7, 3), (5, 4), (7, 4), (7, 5)}. 2°) Se A = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 4} e B = {y ∈ R | 2 ≤ y ≤ 8}, representar no plano cartesiano as relações R = {(x, y) ∈ A x B | y = 2x} e sua inversa R^-1. RELACOES VII. Propriedades das relações 69. São evidentes as seguintes propriedades: 56. Uma população consome três marcas de sabão em pó: A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado, colhem-se os resultados tabelados abaixo: Marca A B C A e B B e C C e A A, B e C Nenhuma das três Número de consumidores 109 203 162 25 41 28 5 115 Forneça: a) o número de pessoas consultadas; b) o número de pessoas que só consomem a marca A; c) o número de pessoas que não consomem as marcas A ou C; d) o número de pessoas que consomem ao menos duas marcas. 57. Determine os conjuntos A, B e C que satisfazem as seguintes seis condições: 1°) A U B U C = {z, x, v, u, t, s, r, q, p} 2°) A ∩ B = {r, s} 3°) B ∩ C = {s, x} 4°) C ∩ A = {t, s} 5°) A U C = {p, q, r, s, t, u, v, x} 6°) A U B = {p, q, r, s, t, x, z} 58. Em certa comunidade há indivíduos de três etnias: branca, negra e amarela. Sabendo que 70 são brancos, 350 são não negros e 50% são amarelos, responda: a) quantos indivíduos tem a comunidade? b) quantos são os indivíduos amarelos? 59. De todos os empregados de uma firma, 30% optaram por um plano de assistência médica. A firma tem a matriz na capital de São Paulo e somente duas filiais, uma em Santos e outra em Campinas. 45% dos empregados trabalham na matriz e 20% dos empregados trabalham na filial de Santos. Sabendo que 20% dos empregados da capital optaram pelo plano de assistência médica e que 35% dos empregados da filial de Santos o fizeram, qual a porcentagem dos empregados da filial de Campinas que optaram pelo plano? 60. Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença simétrica de A com B o conjunto A ∆ B tal que: A ∆ B = (A – B) U (B – A). a) Determine {a, b, c, d}, {a, c, d, e, f}. b) Prove que A ∆ A = ∅ para todo A. c) Prove que A ∆ ∅ = A, para todo A. d) Prove que A ∆ B = B ∆ A, para A e B quaisquer. e) Assinale em cada diagrama abaixo o conjunto A ∆ B. A A ∆ B B 61. Desenhe um diagrama de Venn representando quatro conjuntos, A, B, C e D, não vazios, de modo que se tenha: A 6⊂ B, B 6⊂ A, C 3 A U B e D ⊂ C ∩ B. Fundamentos de Matemática Elementar 1