Lista de Exercicios Resolvidos Algebra Linear UFMT

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO CˆAMPUS UNIVERSITARIO DE VARZEA GRANDE FACULDADE DE ENGENHARIA Lista de Exercıcios 5 Algebra Linear 20251 Profa Glaucia A S Miranda 1 Sabendo que u 2 v 3 e que u e v formam ˆangulo de 3π 4 determinar a 2u v u 2v b u 2v 2 Para cada um dos pares de vetores u e v encontrar a projecao ortogonal de v sobre u e decompor v como soma de v1 com v2 sendo v1 u e v2 u a u 1 2 2 e v 3 2 1 b u 1 1 1 e v 3 1 1 c u 2 0 0 e v 3 5 4 d u 3 1 3 e v 2 3 1 3 Se u 0 e correto cancelar u de ambos os lados da equacao u v u w e concluir que v w Justifique 4 Dado v1 1 2 1 determine vetores v2 e v3 de modo que os trˆes sejam dois a dois ortogonais 5 Determine o valor de x para o qual os vetores v xi 3j 4k e w 3i j 2k sejam ortogonais 6 Demonstre que nao existe x tal que os vetores v xi 2j 4k e w xi 2j 3k sejam ortogonais 7 Ache o ˆangulo entre os seguintes pares de vetores a 2i j e j k b i j k e 2j 2k c 3i 3j e 2i j 2k 8 Entre as funcoes dadas abaixo verifique quais sao transformacoes lineares a T IR 2 IR 2 Tx y x 2 y b T IR 2 IR 2 Tx y x x 1 c T IR 2 IR 2 Tx y x y x y 1 9 Considere a aplicacao T IR 2 IR 3 definida por Tx y x ky x k y Verifique em que casos T e linear k x k 0 k 1 k y 10 Seja T U V transformacao linear tal que Tu 3u e Tv u v Calcular em funcao de u e v a Tu v b T3v c T4u 5v 11 Seja T U V uma aplicacao linear entre espacos vetoriais reais Mostre que a Se T e transformacao linear entao T0U 0V Transformacao linear leva vetor nulo em vetor nulo b T e transformacao linear se e somente se Tαu βv αTu βTv para quaisquer u v U e α β IR 12 Seja T IR 3 IR 2 uma transformacao linear definida por T1 1 1 1 2 T1 1 0 2 3 e T1 0 0 3 4 a Determine Tx y z b Determine v IR 3 tal que Tv 3 2 c Determine v IR 3 tal que Tv 0 0 13 Dadas as transformacoes lineares T IR n IR m faca o que se pede i Determinar o nucleo uma base para este subespaco e a sua dimensao T e injetora Justifique ii Determinar a imagem de T uma base para este subespaco e sua dimensao T e sobreje tora Justifique iii Quais dos seguintes vetores 1 1 1 0 0 0 3 3 3 pertencem ao nucleo de T na letra b a Tx y x y x 2y b Tx y z x y y z 14 Considere T IR 3 IR 3 dada por Tx y z x y 0 Qual e o nucleo e a imagem da transformacao linear Neste caso o que representam estes conjuntos geometricamente Qual a relacao entre a dimensao da imagem a dimensao do nucleo e a dimensao do domınio da transformacao 2 Algebra Linear Profa Glaucia A S Miranda 2