Atividade Álgebra Linear

1 Seja V R3 o espaço vetorial com as operações usuais Determine se os seguinte vetores formam uma base do espaço vetorial V R3 a 111 e 1 1 5 b 111 123 e 2 1 1 c 123 101 3 1 0 e 21 2 d 112 125 e 534 2 Determine uma base para os seguintes subespaços vetorias do espaço vetorial V R3 a S xyz R3 y 2x b S xyz R3 x 2z 0 c S xyz R3 2x y 3z 0 d S xyz R3 x 3y e z y 3 Considere o espaço vetorial das matrizes 2 2 com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar V M2R x y z w x y z w R Determine uma base e a dimensão de cada um dos seguintes subespaços a W2 a b c d a 5b c 0 b W3 a b c d c a 3b e d 0 4 No exercício anterior quem é dimW2 W3 1 V R3 a 111 e 1 1 5 não formam base de R3 pois são apenas 2 vetores e dim R3 3 b 111 123 e 2 1 1 det1 1 2 1 2 1 1 3 1 2 3 1 1 6 4 5 0 Então LI e então formam uma base de R3 c 123 10 1 3 1 0 e 21 2 não formam base pois são 4 vetores e dim R3 4 d 112 125 e 534 det1 1 5 1 2 3 2 5 4 0 6 25 20 15 4 14 25 20 15 4 0 Então os vetores são LD logo não formam uma base de R3 2 V R3 a S xyz R3 y 2x x2xz R3 1 2 0 001 Logo 110 001 é uma base de S b S xyz R3 x 2z 0 x 2z 0 x 2z logo xyz 2zyz y010 z201 Logo 010 201 é uma base para S 2c S xyz R3 2x y 3z 0 2x y 3z 0 y 2x 3z Logo xyz x 2x 3z z x1 2 0 z0 3 1 Então 1 2 0 0 3 1 é uma base de S d S xyz R3 x 3y e z y xyz 3y y y y311 Então 311 é uma base de S 3 V M2R x y z w x y z w R a W2 a b c d a 5b c 0 a 5b c 0 a5 c b a b c d a ac5 c d a1 15 0 0 c0 15 1 0 d0 0 0 1 Então 1 15 0 0 0 15 1 0 0 0 0 1 é uma base de W2 b W3 a b c d c a 3b e d 0 Logo a b c d a b a 3b 0 a1 0 1 0 b0 1 3 0 Então 1 00 1 1 03 0 é uma base de W3 4 Seja a bc d W2 W3 logo a 5b c 0 c a 3b d 0 0 a 5b a 3b 2a 8b a 4b a 4b 3b b Logo a bc d 4b bb 0 b 4 11 0 Então 4 11 0 é uma base de W2 W3 Portanto dimW2 W3 1 e assim dimW2 W3 dimW2 dimW3 dimW2 W3 3 2 1 4 Assim dimW2 W3 4