Atividade 2 de Álgebra Linear

1a Note que V não é um espaço vetorial pois não satisfaz 1xy xy Tome α1 e 21 V temos 121 3111a 3a 21 b V é um espaço vetorial pois dado a1a2a3b1b2b3c1c2c3 V e λ1 λ2 R I a1a2a3b1b2l3 c1c2c3 a1b15a2b27a3b31 c1c2c3 a1b15c15a2b27c27a3b31c31 a15b1c15 a27b2c27a31b3c31 a1a2a3 b1c15b2c27b3c31 a1a2a3 b1b2b3c1c2c3 a1a2a3 b1b2b3c1c2c3 II a1a2a3b1b2b3 a1b15a2b27a3b31 b1a15b2a27b3a31 b1b2b3 a1a2a3 III O vetor 571 é o vetor nulo pois a1a2a3 571 a155a277a311 a1a2a3 IV Se a1a2a3 V então seu inverso é 10a114a22a3 pois a1a2a3 10a114a22a3 a1a1105a2a2147a3a321 571 vetor nulo aqui V λa1a2a3b1b2b3 λa1b15a2b27a3b31 λa1b155λ1λa2b277λ1λa3b31λ1 note que λa1a2a3λb1b2b3 λa15λ1 λa27λ1λa3λ1 λb15λ1λb27λ1λb3λ1 λa15λ1λb15λ15 λa27λ1λb27λ1 λa3λb32λ11 λa1b155λ1λa2b277λ1λa3b31λ1 logo λa1a2a3b1b2b3 λa1a2a3 λb1b2b3 VI λ1 λ2a1a2a3 λ1 λ2a1 5λ1 λ21 λ1 λ2a2 7λ1 λ2 1 λ1 λ2a3 λ1λ21 note que λ1a1a2a3 λ2a1a2a3 λ1a1 5λ1 1λ1a2 7λ11λ1a3 λ1 1 λ2a1 5λ21λ2a27λ21λ2a3 λ2 1 λ1 λ2a1 5λ1 λ2 1 λ1 λ2a2 7λ1 λ2 1 λ1 λ2a3 λ1 λ2 1 portanto λ1 λ2a1a2a3 λ1a1a2a3 λ2a1a2a3 Introdução á Álgebra Linear Atividade 02EST Prof Martinho da Costa Araújo Alunoa 25022025 1 Quais dos conjuntos V com as operações indicadas de adição e multiplicação por escalar é um espaço vetorial sobre R Caso V não seja um espaço vetorial sobre R mostre as propriedades que não funciona em determinado caso particular a V R2 xy xy R com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas por xyab R2 e α R xy ab 3y 3b x a αxy 3αyαa b Seja V R3 xyz xyz R com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas por a1a2a3 b1b2b3 a1 b1 5a2 b2 7a3 b3 1 λa1a2a3 λa1 5λ1λa2 7λ1λa3 λ1 para toda xyz V R3 e todo λ R 2 Seja V R3 o espaço vetorial com as operações usuais e U abc R3 a b 2c 0 T abc R3 a c W 00c R3 c R subespaços de V R3 a Mostre que U T e W são subespaços vetoriais de V R3 b Calcule U T U W e T W c V R3 é soma direta de quais somas do item2b 3 Seja V MnnR o conjunto das matrizes n n com entradas reais com as operações usuais de matrizes sabemos que V MnnR é um espaço vetorial sobre RQuais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais de V MnnR a U A MnnR At A b W A MnnR A B B A onde B MnnR é uma matriz fixa Observação 1 Forma de entregar a Atividade 02 Pelo Teams até 28022025 vii λ1λ2a1a2a3 λ1λ2a1 5λ1λ21 λ1λ2a27λ1λ21 λ1λ2a3 λ1λ21 por outro lado λ1λ2a1a2a3 λ1λ2a1 5λ21 λ2a2 7λ21 λ2a3 λ21 λ1λ2a1 5λ1λ21 5λ11 λ1λ2a2 7λ1λ21 7λ11 λ1λ2a3 λ1λ21 λ1λ2a1 5λ1λ21 λ1λ2a2 7λ1λ21 λ1λ2a3 λ1λ21 portanto λ1λ2a1a2a3 λ1λ2a1a2a3 viii 1a1a2a3 1a1 511 1a2 711 1a3 11 a1a2a3 portanto W é um subespaço vetorial 2 a Sejam a1b1c1 a2b2c2 U e λ ℝ assim a1b1c1 a2b2c2 a1a2 b1b2 c1c2 logo a1a2 b1b2 2c1c2 a1 b1 2c1 a2 b2 2c2 0 e assim a1b1c1 a2b2c2 U λa1b1c1 λa1 λb1 λc1 λa1 λb1 2λc1 λa1 b1 2c1 0 e λa1b1c1 U logo U é subespaço vetorial de R3 1 Sejam a1b1c1 a2b2c2 T e λ ℝ assim a1b1c1 a2b2c2 a1a2 b1b2 c1c2 logo a1 a2 a1 a2 c1 c2 c1 c2 e portanto a1b1c1 a2b2c2 T e λa1b1c1 λa1 λb1 λc1 segue que λa1 λa1 λc1 λc1 assim λa1b1c1 T portanto R3 é um subespaço vetorial Sejam 00c1 00c2 W e λ ℝ assim 00c1 00c2 00c1 c2 W λ00c1 00λc1 W portanto W é um subespaço vetorial de R3 U T v V v u t u U e t T v Vi v a₁ b₁ a₂ b₂ a₃ b₃ onde a₁ a₂ 2a₃ 0 e b₁ b₃ Note que a₁ b₁ a₂ b₂ 2a₃ b₃ b₁ b₂ 2b₃ a₁ a₂ 2a₃ 0 b₁ b₂ 2b₃ b₂ b₁ ou seja U T v Vi v a₁ b₁ a₂ b₂ a₃ b₃ a₁ b₁ a₂ b₂ 2a₃ b₃ b₂ b₁ U W v Vi v u w u U e w W v Vi v a₁ a₂ a₃ c Note que a₁ a₂ 2a₃ c 2c Assum U W v Vi v a₁ a₂ a₃ c a₁ a₂ 2a₃ c 2c T W v V v t w t T e w W v V v a₁ a₂ a₃ c Note que a₃ c a₁ c Assum T W v Vi v a₁ a₂ a₃ c a₃ c a₁ c c Basta verificar as interseções dos subespaços U T v T e v U x y 2z 0 e x z v x y z assim x y 2z 0 e x z y z portanto U T x1 1 1 x R não é soma direta U W v U e v W x y 2z 0 e x 0 y x y 2z 0 x 0 y 0 z 0 logo U W 0 portanto é soma direta T W v T e v W x z e x y 0 x 0 y 0 z x z 0 logo U W 0 portanto é soma direta 3 Basta verificar que U e W são fechados para a adição e multiplicação por escalar a Sejam A B U e λ R assim A Bt At Bt A B U λAt λAt λA U portanto U é um subespaço vetorial b Sejam A C W e λ R assim A CB AB CB BA BC BA C W λAB λAB λBA BλA W portanto W é um subespaço vetorial