Mecânica dos Sólidos - Sistemas de Barras Carregadas Axialmente

MECÂNICA DOS SÓLIDOS Prof Dr Daniel Caetano 2019 1 SISTEMAS DE BARRAS CARREGADAS AXIALMENTE RETOMANDO ALONGAMENTO DE BARRAS Calcular o alongamento da barra 10000kN 10m A 01m2 E 50GPa 𝛿 002 𝑚 𝜎 𝐸 𝜖 𝜎 𝐹𝐴 Pressupostos Área constante Material uniforme comofaz 10000kN 10m DEFORMAÇÃO ELÁSTICA DE CORPO EM CARGA AXIAL Deformação por Carga Axial Vimos que podemos usar as relações Podemos reescrever Como 𝜎 𝐸 𝜖 𝜎 𝑃𝐴 𝛿 𝐿 𝜖 P P L 𝜖 𝛿𝐿 𝛿 𝐿 𝜖 Deformação por Carga Axial Vimos que podemos usar as relações Agora juntemos as equações 𝜎 𝐸 𝜖 𝜎 𝑃𝐴 𝜖 𝛿𝐿 P P L 𝑃 𝐴 𝐸 𝜖 Deformação por Carga Axial Vimos que podemos usar as relações Agora juntemos as equações 𝜎 𝐸 𝜖 𝜎 𝑃𝐴 𝜖 𝛿𝐿 P P L 𝑃 𝐴 𝐸 𝜖 𝑃 𝐴 𝐸 𝛿 𝐿 Deformação por Carga Axial Reorganizando a equação isolar o δ P P L 𝑃 𝐴 𝐸 𝛿 𝐿 𝑃 𝐿 𝐴 𝐸 𝛿 𝜹 𝑷 𝑳 𝑬 𝑨 Exercício Alongamento da Barra 100kN 1m A 02m2 E 30GPa 𝜹 𝑷 𝐋 𝑬 𝑨 DEFORMAÇÃO ELÁSTICA DE BARRA NÃO UNIFORME EM CARGA AXIAL Deformação por Carga Axial Deformação com área constante Será que podemos superar essa limitação 𝜹 𝑷 𝐋 𝑬 𝑨 Deformação por Carga Axial Consideremos a viga genérica sob carga axial Como calcular δ Vamos calcular a deformação no elemento dx L x dx δ P P P P dx dδ Deformação por Carga Axial Consideremos a viga genérica sob carga axial Como calcular dδ L x dx δ P P P P dx dδ 𝜹 𝑷 𝐋 𝑬 𝑨 𝒅𝜹 𝑷 𝐝𝐱 𝑬 𝑨𝒙 𝜹 𝑷 𝐝𝐱 𝑬 𝑨𝒙 𝑳 𝟎 Deformação por Carga Axial Ou seja para essa viga Mas E se a área fosse constante 𝜹 𝑷 𝐝𝐱 𝑬 𝑨𝒙 𝑳 𝟎 L x dx δ P P 𝜹 𝑷 𝑬 𝐝𝐱 𝑨𝒙 𝑳 𝟎 𝜹 𝑷 𝑬 𝐝𝐱 𝑨 𝑳 𝟎 𝜹 𝑷 𝑬 𝑨 𝐝𝐱 𝑳 𝟎 𝜹 𝑷 𝑳 𝑬 𝑨 Deformação por Carga Axial Dá para generalizar ainda mais 𝜹 𝑷𝒙 𝐝𝐱 𝑬 𝒙 𝑨𝒙 𝑳 𝟎 L x dx δ P1 P2 𝜹 𝑷 𝐝𝐱 𝑬 𝑨𝒙 𝑳 𝟎 Convenção de Sinais Trações Alongamentos Compressões Contrações Deformação por Carga Axial x δ P x δ P x δ P x δ P Se o espaço for suficiente Exemplo O vão é suficiente 10000kN 10m 5cm A 01m2 E 50GPa 𝛿 𝑃 𝐿 𝐸 𝐴 107 10 5 1010 101 108 5 109 𝜹 𝟐 𝟏𝟎𝟐 m Barras compostas de várias seções constantes 𝛿 𝑃 𝐿 𝐸 𝐴 Múltiplos Elementos P Determine a deformação total Exercício A1 1m2 A2 08m2 A3 05m2 E1 E2 E3 50GPa 1 2 3 10kN 2m 15m 10m Determine a deformação total 1 Reações 2 Alongamentos parciais 3 Alongamento total Exercício A1 1m2 A2 08m2 A3 05m2 E1 E2 E3 50GPa 1 2 3 10kN 2m 15m 10m A reação de apoio é 𝐹𝑥 0 Ok mas e a deformação da barra Várias Cargas Axiais 7kN 4kN 8kN R x Conhecidos E A 2m 2m 2m 𝑅 8 4 7 0 R 5kN 𝜹 𝑷 𝑳 𝑬 𝑨 SUPERPOSIÇÃO DE EFEITOS Superposição de Efeitos Princípio da Superposição de Efeitos Subdividir o carregamento em componentes Calcular os efeitos em separado Somar os resultados P P P P Exemplo Superposição de Efeitos Diagramas P P 2P N P 2P P P P P N P N 0 P N P P 0 P Qual é o P O P dependerá da região da barra Várias Cargas Axiais 7kN 4kN 8kN 5kN 2m 2m 2m 𝜹 𝑷 𝑳 𝑬 𝑨 x Diagrama de Esforços Normais N 7kN 4kN 8kN x 5kN Diagrama de Esforços Normais 7kN N 7kN 4kN 8kN x 5kN Diagrama de Esforços Normais 7kN N 3kN 7kN 4kN 8kN x 5kN Diagrama de Esforços Normais 7kN N 3kN 5kN 7kN 4kN 8kN x 5kN Diagrama de Esforços Normais 7kN N 3kN 5kN 7kN 4kN 8kN x 5kN Trecho mais tracionado Trecho mais comprimido 𝛿 𝑃1 𝐿1 𝐸 𝐴 𝑃2 𝐿2 𝐸 𝐴 𝑃3 𝐿3 𝐸 𝐴 EXERCÍCIOS Calcule a deformação total da barra Exemplo 7kN 4kN 10kN 5kN 1m 1m 2m 1m 2m E 50GPa A 01m E 200GPa A 005m Calcule a deformação total da barra Exemplo 7kN 4kN 10kN 5kN 1m 1m 2m 1m 2m E 50GPa A 01m E 200GPa A 005m N 7kN 2kN 2kN 6kN 4kN 4kN 𝛿 𝛿 4000 12000 2000 5 109 4000 7000 10 109 10000 5 109 11000 10 109 𝛿 31 106𝑚 70001 200 109 005 40001 50 109 01 60002 50 109 01 20001 50 109 01 20002 200 109 005 Calcule a deformação na barra abaixo Exemplo 12kN 5m E 10GPa A 01m E 50GPa A 001m Calcule a deformação na barra abaixo Exemplo 12kN 5m E 10GPa A 01m E 50GPa A 001m 𝛿 𝑃15 10 109 01 5m P1 P2 5m 𝛿 𝑃25 50 109 001 𝑃1 02 109 𝑃2 01 109 𝑃1 2 𝑃2 𝑃1 𝑃2 12000 𝑃2 12000 𝑃1 3 𝑃2 12000 𝑃2 4𝑘𝑁 𝑃1 8𝑘𝑁 Calcule a deformação na barra abaixo Exemplo 12kN 5m E 10GPa A 01m E 50GPa A 001m P1 5m P2 5m 𝑃2 4𝑘𝑁 𝑃1 8𝑘𝑁 𝛿 𝑃15 10 109 01 80005 10 109 01 40000 109 4 105 109 4 104 𝛿 00004𝑚 Calcule a deformação da barra abaixo cujo E 10GPa e a área da seção transversal é de 001m2 Exercício 7kN 4kN 5kN 12kN 5kN 1m 1m 1m 1m 1m 2m Calcule a deformação da barra abaixo cujo E 10GPa e a área da seção transversal é de 001m2 Exercício 7kN 4kN 5kN 12kN 5kN 1m 1m 1m 1m 1m 2m N 7kN 2kN 14kN 18kN 𝛿 130001 180002 140002 20001 70001 10 109 001 𝛿 860 106 𝛿 89 104𝑚 13kN 13kN 86000 10 109 001