Slide - Estabilidade de Barras Comprimidas Colunas pilares

Universidade Federal de Mato Grosso Campus Universitário de Várzea Grande Faculdade de Engenharia Curso de Graduação em Engenharia de Transportes Disciplina: Resistência dos Materiais Prof. Adnauer Tarquínio Daltro Unidade 6 – Estabilidade de Barras Comprimidas: Colunas (Pilares) 25ª. Aula: Unidade 6 – Estabilidade de Barras Comprimidas: Colunas (Pilares) Universidade Federal de Mato Grosso – Campus Várzea Grande Faculdade de Engenharia Curso de Engenharia de Transportes Disciplina: Resistência dos Materiais Cuiabá-MT, 2021 Docente: Adnauer Tarquínio Daltro, Dr adnauer@ufmt.br Universidade Federal de Mato Grosso Curso em Engenharia de Transportes Resistência dos Materiais Aula 25 Projeto de Colunas submetidas a uma força centrada ✓ Até então aprendemos a determinar o Pcr de uma coluna ideal pela fórmula de Euler e investigamos as deformações e tensões em colunas carregadas excentricamente, usando a fórmula da secante, descritas por formulação matemática; ✓ Na prática, as colunas não são ideais, apresentam imperfeições geométricas, as ligações não são perfeitas e o material nem sempre homogêneo; ✓ Por conta disso o projeto das colunas reais se baseia em fórmulas empíricas, obtidas a partir de numerosos testes de laboratório. Universidade Federal de Mato Grosso Curso em Engenharia de Transportes Resistência dos Materiais Aula 25 Projeto de Colunas submetidas a uma força centrada ✓ Por exemplo, muitas colunas de aço foram testadas em laboratório e os resultados apresentados no gráfico: Universidade Federal de Mato Grosso Curso em Engenharia de Transportes Resistência dos Materiais Aula 25 Projeto de Colunas submetidas a uma força centrada ✓Observa-se 3 tipos de falhas: ✓ Para colunas longas, em que Lfl /r é grande, a falha se aproxima do valor dado por Euler, e σcr depende de E e não de σE ; ✓ Para colunas muito curtas e blocos de compressão, a falha ocorre essencialmente como resultado do escoamento, σcr = σE ✓ Para colunas de comprimento intermediário, a falha depende tanto de E como de σE . Nessa região, a falha da coluna é um fenômeno muito complexo e foram usados extensivamente dados de ensaios para definição de fórmulas de dimensionamento, que são usadas nas normas de projeto; ✓ Para muitas normas, fórmulas diferentes são usadas para cada região do comportamento da coluna, em função do índice de esbeltez Lfl /r Universidade Federal de Mato Grosso Curso em Engenharia de Transportes Resistência dos Materiais Aula 25 Projeto de Colunas submetidas a uma força centrada: Método da Tensão Admissível ✓ Aço estrutural: fórmula da AISC ✓ Parte AB da curva: L/r  4,71 𝐸 𝜎𝐸   ) ( 2 2 ) / 658( ,0 r L E e E cr E e       = = ✓ Parte BC da curva: L/r  4,71 𝐸 𝜎𝐸 e cr   ,0 877 = ✓ Para L/r = 4,71 𝐸 𝜎𝐸 → 𝜎𝑐𝑟 = 0,39𝜎𝐸 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 𝜎𝑐𝑟 1,67 Universidade Federal de Mato Grosso Curso em Engenharia de Transportes Resistência dos Materiais Aula 25 Aplicação do conceito 10.2 Determine o maior comprimento L para o qual o elemento sob compressão AB, que é um perfil laminado I100 x 11,5, possa suportar com segurança a força centrada mostrada na figura. Considere que σE = 250 MPa e E = 200 GPa. ▪ Do apêndice C do livro texto, obtém-se: 𝐴 = 1.460 𝑚𝑚2 𝑟𝑥 = 41,7 𝑚𝑚 𝑟𝑦 = 14,6 𝑚𝑚 Universidade Federal de Mato Grosso Curso em Engenharia de Transportes Resistência dos Materiais Aula 25 Aplicação do conceito 10.2 – Resolução: ▪ Usando a curva de projeto da AISC 𝐿 𝑟 𝑙𝑖𝑚 = 4,71 𝐸 𝜎𝐸 = 4,71 200x103 250 = 133,22 ▪ Supondo que Τ 𝐿 𝑟 𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎 > Τ 𝐿 𝑟 𝑙𝑖𝑚, porção BC da curva: 𝜎𝑐𝑟 = 0,877𝜎𝑒 = 0,877 𝜋2𝐸 ൗ 𝐿 𝑟 2 = 0,877 𝜋2x200x103 ൗ 𝐿 𝑟 2 = 1,731x106 ൗ 𝐿 𝑟 2 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 𝜎𝑐𝑟 1,67 = 1,037x106 ൗ 𝐿 𝑟 2 = 𝑃 𝐴 = 60x103 1.460 = 41,1 𝑀𝑃𝑎 → 𝐿 𝑟 2 = 25.231,14 → 𝐿 𝑟 = 158,8 > 𝐿 𝑟 𝑙𝑖𝑚 ∴ 𝐿 = 158,8x𝑟𝑦 = 158,8x14,6 = 2.318,48 𝑚𝑚 = 2,32 𝑚 Universidade Federal de Mato Grosso Curso em Engenharia de Transportes Resistência dos Materiais Aula 25 Projeto de Colunas submetidas a uma força centrada: Método da Tensão Admissível ✓ Alumínio: Aluminum Association Liga 6061-T6 L/r < 66: ( )   ( )  MPa / .0 874 140 ksi / .0 127 3, 20 r L r L adm − = − =  Le/r > 66: ( ) ( ) 2 3 2 / 54 10 MPa 3 / ksi 51400 L r r L adm  = =  Liga 2014-T6 L/r < 55: ( )   ( )  MPa / .1 577 213 ksi / .0 229 9. 30 r L r L adm − = − =  L/r > 55: ( ) ( ) 2 3 2 / 82 10 MPa 3 / ksi 55400 L r r L adm  = =  Universidade Federal de Mato Grosso Curso em Engenharia de Transportes Resistência dos Materiais Aula 25 Projeto de Colunas submetidas a uma força centrada: Método da Tensão Admissível ✓ Madeira: AFPA 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 𝜎𝐶𝐶𝑃 Para uma seção retangular de lados b e d, onde d < b 𝐶𝑃 = 1 + Τ 𝜎𝐶𝐸 𝜎𝐶 2𝑐 − 1 + Τ 𝜎𝐶𝐸 𝜎𝐶 2𝑐 − Τ 𝜎𝐶𝐸 𝜎𝐶 𝑐 2 𝜎𝐶𝐸 = 0,822𝐸 Τ 𝐿 𝑑 2 c = 0,8 para colunas de madeira serrada e, c = 0,9 para colunas de madeira laminada colada Colunas com L/d > 50 não são permitidas Universidade Federal de Mato Grosso Curso em Engenharia de Transportes Resistência dos Materiais Aula 25 Aplicação do conceito 10.3 Sabendo que a coluna AB da figura tem um comprimento de flambagem de 4,2 m e que deve suportar com segurança uma força de 142 kN, projete uma coluna usando uma seção transversal quadrada composta de laminados colados. O módulo de elasticidade ajustado para a madeira é E = 5,52 GPa, e a tensão admissível ajustada à compressão paralela às fibras da madeira é σC = 7,3 MPa. Universidade Federal de Mato Grosso Curso em Engenharia de Transportes Resistência dos Materiais Aula 25 Aplicação do conceito 10.3 – Resolução: ▪ Segundo a AFPA, sendo c = 0,90, madeira laminada colada 𝜎𝐶𝐸 = 0,822𝐸 ൗ 𝐿 𝑑 2 = 0,822x5,52x103 ൗ 4.200 𝑑 2 = 2,572x10−4𝑑2 ▪ O coeficiente de estabilidade da coluna é dado por: 𝜎𝐶𝐸 𝜎𝐶 = 2,572x10−4𝑑2 7,3 = 3,524x10−5𝑑2 𝐶𝑃 = 1 + Τ 𝜎𝐶𝐸 𝜎𝐶 2𝑐 − 1 + Τ 𝜎𝐶𝐸 𝜎𝐶 2𝑐 − Τ 𝜎𝐶𝐸 𝜎𝐶 𝑐 ▪ A tensão admissível: 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 𝜎𝐶𝐶𝑝 → 𝑃 𝐴 = 𝜎𝐶𝐶𝑝 → 142x103 𝑑2 = 7,3𝐶𝑝 Universidade Federal de Mato Grosso Curso em Engenharia de Transportes Resistência dos Materiais Aula 25 Aplicação do conceito 10.3 – Resolução: 142x103 𝑑2 = 7,3x 1 + 3,524x10−5𝑑2 2x0,9 − 1 + 3,524x10−5𝑑2 2x0,9 − 3,524x10−5𝑑2 0,9 ▪ Por tentativa e erro, encontra-se: 𝑑 = 163 𝑚𝑚 𝐿 𝑑 = 4.200 163 = 25,77 < 50 𝑂𝑘 25,77 5,34 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 𝑃 𝐴 = 142𝑥103 1632 = 5,34 𝑀𝑃𝑎 Universidade Federal de Mato Grosso Curso em Engenharia de Transportes Resistência dos Materiais Aula 25 Problema resolvido 10.3 A coluna AB consiste em um perfil de aço laminado W250 x 58 feito com uma classe de aço para a qual σE = 250 MPa e E = 200 GPa. Determine a força centrada P admissível a) se o comprimento de flambagem da coluna for de 7,2 m em todas as direções e b) se houver contraventamento para impedir o movimento do ponto médio C no plano xz. (Conisdere que o movimento do ponto C no plano yz não seja afetado pelo contraventamento.) Universidade Federal de Mato Grosso Curso em Engenharia de Transportes Resistência dos Materiais Aula 25 Problema resolvido 10.3 – Resolução: a) força centrada P admissível, se o comprimento de flambagem da coluna for de 7,2 m em todas as direções 𝐿 𝑟𝑦 = 7.200 50,3 = 143,14 > 4,71 𝐸 𝜎𝐸 = 133,22 𝜎𝑐𝑟 = 0,877𝜎𝑒 = 0,877 𝜋2𝐸 ൗ 𝐿 𝑟 2 = 0,877 𝜋2x200x103 143,14 2 = 84,49 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 𝜎𝑐𝑟 1,67 = 84,49 1,67 = 50,59 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 𝑃 𝐴 → 𝑃𝑎𝑑𝑚 = 𝜎𝑎𝑑𝑚𝐴 = 50,59x7.420 𝑃𝑎𝑑𝑚 = 375,4 𝑘𝑁 Universidade Federal de Mato Grosso Curso em Engenharia de Transportes Resistência dos Materiais Aula 25 Problema resolvido 10.3 – Resolução: b) força centrada P admissível, se houver contraventamento para impedir o movimento do ponto médio C no plano xz. 𝐿 𝑟𝑦 = 3.600 50,3 = 71,57 > 𝐿 𝑟𝑥 = 7.200 108 = 66,67 < 4,71 𝐸 𝜎𝐸 = 133,22 𝜎𝑐𝑟 = 0,658 Τ 𝜎𝐸 𝜎𝑒 𝜎𝑒 → 𝜎𝐸 𝜎𝑒 = 250 385,36 = 0,65 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 𝑃 𝐴 → 𝑃𝑎𝑑𝑚 = 𝜎𝑎𝑑𝑚𝐴 = 114x7.420 𝑃𝑎𝑑𝑚 = 845,9 𝑘𝑁 ▪ A flambagem continua ocorrendo em torno do eixo y-y 𝜎𝑒 = 𝜋2𝐸 ൗ 𝐿 𝑟 2 = 𝜋2x200x103 71,572 = 385,36 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑐𝑟 = 0,658 0,65 x385,36 = 190.45 𝑀𝑃𝑎 → 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 𝜎𝑐𝑟 1,67 = 114 𝑀𝑃𝑎 Universidade Federal de Mato Grosso Curso em Engenharia de Transportes Resistência dos Materiais Aula 25 Problema resolvido 10.4 Usando a liga de alumínio 2014-T6 para a barra circular mostrada na figura, determine a barra de menor diâmetro que pode ser usada para suportar a força centrada P = 60 kN se (a) L = 750 mm e (b) L = 300 mm. Universidade Federal de Mato Grosso Curso em Engenharia de Transportes Resistência dos Materiais Aula 25 Problema resolvido 10.4 – Resolução: (a) L = 750 mm ▪ Para seção circular dada: 𝐼 = 𝜋𝑐4 4 , 𝐴 = 𝜋𝑐2 𝑒 𝑟 = 𝐼 𝐴 = 𝑐 2 Para a Liga de alumínio 2014-T6 Τ 𝐿 𝑟 ≥ 55 → 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 382x103 Τ 𝐿 𝑟 2 L/r < 55 → 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 213 − 1,577 𝐿/𝑟 ▪ Adotando 𝐿/𝑟 > 55 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 382x103 Τ 750 𝑐/2 2 = 𝑃 𝐴 = 60x103 𝜋𝑐2 → 𝑐4 = 112,5x103 → 𝑐 = 18,31 𝑚𝑚 → 𝑑 = 2𝑐 = 36,6 𝑚𝑚 ▪ Para esse diâmetro encontrado, a esbeltez fica: 𝐿 𝑟 = 𝐿 Τ 𝑐 2 = 750 18,31/2 = 81,97 > 55 𝑂𝑘. 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 Universidade Federal de Mato Grosso Curso em Engenharia de Transportes Resistência dos Materiais Aula 25 Problema resolvido 10.4 – Resolução: (b) L = 300 mm ▪ Se usarmos a condição de 𝐿/𝑟 > 55 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 382x103 Τ 300 𝑐/2 2 = 𝑃 𝐴 = 60x103 𝜋𝑐2 → 𝑐 = 11,58 𝑚𝑚 𝐿 𝑟 = 𝐿 Τ 𝑐 2 = 300 11,58/2 = 51,8 < 55 ▪ Usar a equação para Τ 𝐿 𝑟 < 55 → 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 213 − 1,577 𝐿/𝑟 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 213 − 1,577 300/( Τ 𝑐 2 = 60x103 𝜋𝑐2 213𝑐2 − 946,2𝑐 − 60x103 𝜋2 = 0 Cuja raiz de significado físico é: 𝑐 = 11,95 𝑚𝑚 → 𝑑 = 2𝑐 = 23,9 𝑚𝑚 𝐿 𝑟 = 𝐿 Τ 𝑐 2 = 300 11,95/2 = 50,2 < 55 Ok. Equação aplicada corretamente Universidade Federal de Mato Grosso Curso em Engenharia de Transportes Resistência dos Materiais Aula 25 Projeto de Colunas submetidas a uma força excêntrica ✓ Método de tensão admissível: adm I Mc A P   + ✓ Uma carga excêntrica P pode ser substituída por uma carga P centrada e um momento M = Pe. ✓ Tensões normais podem ser encontradas a partir da superposição das tensões devido à carga centrada e o momento, I Mc A P máx flexão centrada + = + =     Universidade Federal de Mato Grosso Curso em Engenharia de Transportes Resistência dos Materiais Aula 25 Projeto de Colunas submetidas a uma força excêntrica ✓ Método de interação ✓ Força P excêntrica aplicada em um plano de simetria: ✓ Força P excêntrica não aplicada em um plano de simetria: ( ) ( ) 1 + flexão adm centrada adm Mc I A P   ( ) ( ) ( ) 1 + + flexão adm z máx z flexão adm x máx x centrada adm I M x I z M A P    Universidade Federal de Mato Grosso Curso em Engenharia de Transportes Resistência dos Materiais Aula 25 Aplicação do conceito 10.4 Uma coluna com seção transversal quadrada de 50 mm e 710 mm de comprimento de flambagem é feita de liga de alumínio 2014-T6. Usando o método da tensão admissível, determine a força P máxima que pode ser suportada com segurança com uma excentricidade de 20 mm. Universidade Federal de Mato Grosso Curso em Engenharia de Transportes Resistência dos Materiais Aula 25 Aplicação do conceito 10.4 – Resolução: ▪ Propriedades da seção transversal: 𝐴 = 50x50 = 2.500 𝑚𝑚2 𝐼 = 504 12 = 520,8𝑥103 𝑚𝑚4 𝑟 = 𝐼 𝐴 = 14,43 𝑚𝑚 𝐿 𝑟 = 710 14,43 = 49,2 < 55 → 𝜎𝑎𝑑𝑚= 213 − 1,577 Τ 𝐿 𝑟 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 135,4 𝑀𝑃𝑎 𝑀 = 𝑃. 𝑒 = 20𝑃 ▪ A equação das tensões, pelo método das tensões admissíveis, fica: 𝜎𝑚á𝑥 = 𝑃 𝐴 + 𝑀𝑐 𝐼 = 𝑃 2.500 + 20𝑃x25 520,8x103 ≤ 135,4 → 𝑃x1,36x10−3 ≤ 135,4 𝑃 ≤ 99,6 𝑘𝑁 Universidade Federal de Mato Grosso Curso em Engenharia de Transportes Resistência dos Materiais Aula 25 Aplicação do conceito 10.5 Use o método da interação para determinar a força P máxima que pode ser suportada com segurança pela coluna do exercício anterior com uma excentricidade de 20 mm. A tensão admissível em flexão é de 165 MPa. Universidade Federal de Mato Grosso Curso em Engenharia de Transportes Resistência dos Materiais Aula 25 Aplicação do conceito 10.5 – Resolução: ▪ Do exercício anterior, encontramos: 𝜎𝑎𝑑𝑚 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = 135,4 𝑀𝑃𝑎 ▪ Foi dado: 𝜎𝑎𝑑𝑚 𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 = 165 𝑀𝑃𝑎 ▪ Levando na fórmula de interação teremos: ( ) ( ) 1 + flexão adm centrada adm Mc I A P   → Τ 𝑃 2.500 135,4 + 20𝑃x25/520,8x103 165 ≤ 1 𝑃 ≤ 114 𝑘𝑁 Universidade Federal de Mato Grosso Curso em Engenharia de Transportes Resistência dos Materiais Aula 25 Problema resolvido 10.5 Usando o método da tensão admissível, determine a maior força P que pode ser suportada com segurança por uma coluna W310 x 74 de 4,5 m de comprimento de flambagem. Use E = 200 GPa e σE = 250 MPa. Universidade Federal de Mato Grosso Curso em Engenharia de Transportes Resistência dos Materiais Aula 25 Problema resolvido 10.5 – Resolução: ▪ Considerando a carga centrada, a coluna vai flambar em torno de y-y: 𝐿 𝑟𝑦 = 4.500 49,8 = 90,36 < 4,71 𝐸 𝜎𝐸 = 133,22 𝜎𝑐𝑟 = 0,658 Τ 𝜎𝐸 𝜎𝑒 𝜎𝑒 → 𝜎𝐸 𝜎𝑒 = 250 241,76 = 1,034 𝜎𝑒 = 𝜋2𝐸 ൗ 𝐿 𝑟 2 = 𝜋2x200x103 90,362 = 241,76 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑐𝑟 = 0,658 1,034 x241,76 = 162,2 𝑀𝑃𝑎 → 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 𝜎𝑐𝑟 1,67 = 97,1 𝑀𝑃𝑎 ▪ A equação das tensões, pelo método das tensões admissíveis, fica: 𝜎𝑚á𝑥 = 𝑃 𝐴 + 𝑀 𝑊 = 𝑃 9.480 + 200𝑃 1.050x103 ≤ 97,1 𝑃 ≤ 328,1 𝑘𝑁 Universidade Federal de Mato Grosso Curso em Engenharia de Transportes Resistência dos Materiais Aula 25 Problema resolvido 10.6 Usando o método da interação, resolva o problema anterior . Considere (σadm)flexão = 150 MPa. ( ) ( ) 1 + flexão adm centrada adm Mc I A P   → Τ 𝑃 9.480 97,1 + 200𝑃/1.050x103 150 ≤ 1 𝑃 ≤ 424,4 𝑘𝑁 Universidade Federal de Mato Grosso Curso em Engenharia de Transportes Resistência dos Materiais Aula 25 Problema resolvido 10.7 Uma coluna de aço com um comprimento de flambagem de 4,8 m é carregada excentricamente como mostra a figura. Usando o método da interação, selecione o perfil de mesa larga com altura nominal de 200 mm que deveria ser usado. Considere que E = 200 GPa e σE = 250 MPa e use uma tensão admissível à flexão de 152 MPa. Universidade Federal de Mato Grosso Curso em Engenharia de Transportes Resistência dos Materiais Aula 25 Problema resolvido 10.7 – Resolução: Universidade Federal de Mato Grosso Curso em Engenharia de Transportes Resistência dos Materiais Aula 25 Problemas Sugeridos: Resolver os problemas sugeridos 10.57 a 10.88 (páginas 701 a 706) e 10.89 a 10.116 (páginas 713 a 717) do livro texto Universidade Federal de Mato Grosso Curso em Engenharia de Transportes Resistência dos Materiais Aula 25 Atividades: ✓ Não deixe de Ler a Revisão e Resumo apresentados nas páginas 718 a 719 do livro texto. ✓ Resolva a lista de exercícios – Atividade A3.2, contendo oito dos problemas de revisão do livro texto (10.117, 10.119 a 10.122, 10.124 a 10.126), para ser entregue até o dia 13/09/2021. ✓ Ficaremos mais uns 15 minutos no chat para esclarecer dúvidas