Slide - Transformações Lineares e Matrizes - 2023-2

Observação: Usa-se denotar simplesmente por [T] a matriz de uma transformação linear T: R^m → R^n em relação às bases canônicas. Assim, no exemplo 2, [T]^𝓑' , 𝓑 = [T]. 3) Seja T: V → V , isto é, T é a identidade. Sejam 𝓑 = {v_1 , v_2 ,..., v_n } e 𝓑' = {w_1,w_2,...,w_n} bases de V. Calculamos [T]^𝓑' , 𝓑. Exemplo: 1) Seja T: R^3 → R^2 tal que T(x,y,z) = (2x+y-z,3x-2y+4z). Sejam 𝓑 = { (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0) } e 𝓑' = { (1,3), (1,4) }. Procuramos [T]^𝓑' , 𝓑 . 2) Seja T a transformação linear do exemplo 1 e sejam 𝓑 = { (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) } e 𝓑' = { (1,0), (0,1) }. Calculamos [T]^𝓑' , 𝓑. 4) Dadas as bases B = {(1,1),(0,1)} de R^2 e B' = {(0,3,0),(-1,0,0),(0,1,1)} de R^3, encontremos a transformação linear T : R^2 -> R^3 cuja matriz é [T] BB' = | 0 2 | |-1 0 | |-1 3 | O resultado a seguir dá o significado da matriz de uma transformação linear. Teorema: Sejam V e W espaços vetoriais, A base de V, B base de W e T : V -> W uma aplicação linear. Então, para todo v pertencente a V vale: [T(o)] B = [T] A_B . [o] A V -> W | T | Através deste teorema, o estudo de transformações lineares entre espaços de dimensão finita é reduzido ao estudo de matrizes. Quando V = W e T é a identidade, observe que o resultado é o mesmo da matriz mudança de base. Exemplo: Seja a transformação linear T : R^2 -> R^3 dada por [T] A_B = | 1 -1 | | 0 1 | |-2 3 | , onde A = {(1, 0),(0, 1)} é base de R^2, e B = {(1, 0, 1),(-2, 0, 1),(0, 1, 0)} é base de R^3. Queremos saber qual é a imagem do vetor v = (2, -3) pela aplicação T. A relação entre os dimensões do núcleo e da imagem de uma transformação linear e o posto de uma matriz a ela associada é dado no teorema abaixo: Teorema: Seja T: V -> W uma aplicação linear e A e B bases de V e W, respectivamente. Então: dim Im(T) = posto [T]^B_A dim Nuc(T) = nulidade [T]^B_A dim Nuc(T) = número de colunas - posto [T]^B_A. Exemplo: Calcule as dimensões do Núcleo e da Imagem da transformação do exemplo anterior, cuja matriz é: [T]^B_A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \\ -2 & 3 \end{bmatrix}. Teorema: Sejam T_1: V -> W e T_2: W -> U transformações lineares e A, B e C bases de V, W e U, respectivamente. Então a composta de T_1 com T_2, T_2 o T_1: V -> U, é linear e [T_2 o T_1]^A_C = [T_2]^B_C * [T_1]^A_B. T_2 o T_1(\overrightarrow{v}) = T_2(T_1(\overrightarrow{v})). Exercício: Mostre que T_2 o T_1 é linear. Exemplos: 1) T_1(x, y) = 2(x, y) e T_2(x, y) = (x + 2y, y). Vamos calcular T_2 o T_1. 2) Sejam T_1: R^2 -> R^3 e T_2: R^2 -> R^2 cujas matrizes são [T_1]^\beta_\gamma = \begin{bmatrix} \downarrow & 0 \ \downarrow & -1 \ 0 \downarrow \end{bmatrix} e [T_2]^\gamma_\alpha = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -1 \ 0 & 0 & 0 \ \end{bmatrix} em relação às bases A = \{(1,0), (0,2)\}, B = \{(1/3,0,-3), (1,1,15), (12,0,5)\} e K = \{(2,0), (1,1)\}. Queremos encontrar a transformação linear composta T_2 o T_1: R^2 -> R^2, ou seja, precisamos encontrar (T_2 o T_1)(x,y). 3) Seja T: R^3 -> R^3 dada por T(x, y, z) = (x - 2y, z, x + y). Vamos mostrar que T é um isomorfismo, e calcular sua inversa. Corolário: Se T: V -> W é uma transformação linear inversível (T é isomorfismo) e A e B são bases de V e W, respectivamente, então T^-1: W -> V é uma transformação linear e [T^-1]_B^A = ([T]_A^B)^-1. Autovalores e Autovetores Dada uma transformação linear de um espaço vetorial nele mesmo, ou seja, T: V -> V (opera linear), gostaríamos de saber que vetores serão levados neles mesmos por esta transformação. Isto é, dada T: V -> V, quais são os vetores v ∈ V tais que T(v) = v? Exemplos: 1) I : R^2 -> R^2 (aplicação identidade) (x, y) |-> I(x, y) = (x, y) Neste caso, todo R^2 é fixo uma vez que I(x, y) = (x, y) para todo (x, y) ∈ R^2. 2) R_x : R^2 -> R^2 (reflexão no eixo x) (x, y) |-> R_x(x, y) = (x, -y) ou [ x ] [ y ] |-> [ 1 0 ] [ x ] [ 0 -1 ] [ y ] R_x \\ R_x(\overrightarrow{u})=\overrightarrow{u} \\ R_x(\overrightarrow{v})=-\overrightarrow{v}. 2) T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \text{ (rotacao de 90\degree em torno da origem)} \\ (x,y) \mapsto (-y,x) 3) Seja A = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\\\\ Entao A.\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2x+2y \\ y \end{bmatrix}\\ e \ T_A(x,y) = (2x+2y, y).