Exercícios 1 - 2023-1

Lista 1 Álgebra Linear 2. * Determine a ordem das matrizes A, B, C, D e E, sabendo-se que AB^T tem ordem 5 \times 3, (C^T + D)B tem ordem 4 \times 6 e E^TC tem ordem 5 \times 4. 4. * Sejam as matrizes A, B, C, D e E que verificam ABCDE = EDCBA. Sabendo que C é uma matriz de ordem 3 \times 2, quais são as ordens das outras quatro matrizes? 5. * Sejam as matrizes A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 4 & -3 \\ 1 & 2 & -1 & 5 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 0 & 3 & 2 \\ -2 & 1 & 4 \\ -1 & 2 & 1 \\ 4 & 3 & 1 \end{bmatrix}, C = AB e D = BA. Determine os elementos c_{32} e d_{43}, sendo (c_{ij}) = C e (d_{ij}) = D. 7. Seja a matriz A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}. Determine: (c)* A^{31}; 8. * Sejam A = (a_{ij})_{7\times5} e B = (b_{ij})_{5\times27} matrizes definidas por: \[ a_{ij} = \begin{cases} i, & \text{se } i = j \\ i + j + 2, & \text{se } i \neq j \end{cases} \quad e \quad b_{ij} = \begin{cases} j - 2, & \text{se } i < j \\ i/j, & \text{se } i \geq j \end{cases} \] Se D = AB, calcule o elemento d_{35,2}, sendo D = (d_{ij}). 10. Determine em cada um dos casos abaixo, x, y e z números reais tais que a matriz A seja simétrica. (b)* B = \begin{bmatrix} 8 & x^2 + 3 & -5 \\ 7 & -9 & 4 \\ y + x & z + 3x & 11 \end{bmatrix}. 11. Considere as matrizes: \[ A = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ -1 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, C = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 3 & 1 & 5 \end{bmatrix}, \] \[ D = \begin{bmatrix} 1 & 5 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \qquad E = \begin{bmatrix} 6 & 1 & 3 \\ -1 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 3 \end{bmatrix} \] Quando possível, calcule o que s (c)* (2E^T - 3D^T)^T; 13. Sejam A, B matrizes em M_n(\mathbb{R}). Se AB = BA, mostre que: (b)* (A - B)(A + B) = A^2 - B^2 14. * Seja A a matriz em M_n(\mathbb{R}). Mostre que: (a) As matrizes A.A^T e \frac{1}{2}(A + A^T) são simétricas; (b) A matriz \frac{1}{2}(A - A^T) é antissimétrica; (c) Toda matriz quadrada é a soma de uma matriz simétrica com uma matriz antissimétrica. 16. * Determine o número real m de modo que a matriz M = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & m \end{bmatrix} seja ortogonal. 18. Dado um número real \alpha, considere a matriz T_{\alpha} = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sen \alpha \\ \sen \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}. (a) * Calcule T_{\frac{\pi}{2}}. (d) * Mostre que, para todo número \alpha, a matriz T_{\alpha} é ortogonal. 20. * Verifique que se A é uma matriz m \times n, então os traços de AA^T e A^TA estão definidos. Em seguida prove que \text{tr}(AA^T) = \text{tr}(A^TA). 21. * Mostre que se A^TA = A, então A é simétrica e A = A^2. 23. Prove que se A é invertível e AB = AC, então B = C. 24. É possível ter AB = I e B não ser inversa de A? Justifique sua resposta. 25. Seja A uma matriz quadrada de ordem n, mostre que: (a) * Se A satisfaz a igualdade A2 − 3A + I = 0, então A−1 = 3I − A. (b) Se A é tal que An+1 = 0, então (I − A)−1 = I + A + A2 + . . . + An. 26. Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo. (a) ( ) Se a primeira coluna de A for constituída somente de zeros, o mesmo ocorre com a primeira coluna de qualquer produto AB. (b) ( ) Se a primeira linha de A for constituída somente de zeros, o mesmo ocorre com a primeira linha de qualquer produto AB. (c) ( ) Se a soma de matrizes AB + BA estiver definida, então A e B devem ser matrizes quadradas. (d) ( ) Se A é uma matriz quadrada com duas linhas idênticas, então A2 tem duas linhas idênticas. (e) ( ) Se A é uma matriz quadrada e A2 tem uma coluna constituída somente de zeros, então necessariamente A tem uma coluna constituída somente de zeros. (f) ( ) Se AAT é uma matriz singular (não invertível), então A não é inver- tível. (g) ( ) Se A é invertível e AB = 0, então necessariamente B é a matriz nula. (h) ( ) A soma de duas matrizes invertíveis é sempre uma matriz invertível. (i) ( ) Se A é uma matriz quadrada tal que A4 = 0, então (I − A)−1 = I + A + A2 + A3. 27. Seja A uma matriz quadrada de ordem 5, cujo determinante é igual a −3, pede-se: (a) * O determinante da matriz P dada por P = 4A−1AT. (b) Decidir se P é ou não invertível. (c) * O determinante da matriz B obtida de A após serem realizadas as seguintes operações: L3 ←→ L2; L1 −→ L1 + 2L5; L4 −→ −3L4. (d) Decidir se a matriz Q = AAT é ou não invertível. 28. Calcule o determinante da matriz A =   4 −5 3 2 −1 0 3 0 1 2 −1 3 2 1 0 4  ; (a) Desenvolvendo-o pela segunda linha (usando cofatores). 4 29. Dadas as matrizes A = \begin{bmatrix} 1 & -5 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -3 & 4 \\ 0 & 0 & 4 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} e B = \begin{bmatrix} -3 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & -4 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & -2 \end{bmatrix} , determine: (e)* \ det(C), 32. * Seja a matriz A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} (a) Determine o polinômio p(x) = \det(xI_3-A), onde I_3 é a matriz identidade de ordem 3 e x \in \mathbb{R}. (b) Verifique que p(A) = 0, onde 0 é a matriz nula de ordem 3. (c) Use o item anterior para calcular a inversa de A. 33. Calcule os seguintes determinantes: (c)* \left| \begin{array}{ccc} 4 & -5 & 3 & 2 \\ -1 & 0 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & 0 & 4 \end{array} \right| 34. Resolva as seguintes equações: (a)* \left| \begin{array}{ccc} 2 & x-2 & 3 \\ 2x+3 & x-1 & 4 \\ 5 & 1 & 0 \end{array} \right| = 16 36. Nos casos abaixo, pede-se: - Verificar se A é invertível. - Encontra a matriz de cofatores de A. - A^{-1}, se esta existir. (b)* A = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sen \theta & 0 \\ - \sen \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} 37. Nos casos abaixo, determine A^{-1}, utilizando operações elementares, se esta existir. (d)* \ A = \begin{bmatrix} -3 & -6 & -12 \\ 0 & 3 & -3 \\ -6 & -9 & 24 \end{bmatrix} 38. Sendo A e B matrizes invertíveis de ordem n, isolar a matriz X de cada equação abaixo: (d)* \ (A+X)^T = B (b) ( ) det(I + A) = 1 + det(A). (c) ( ) Não existe matriz real quadrada A tal que det(AAT) = −1. (d) ( ) Se det(AAT) = 4, então det(A) = 2. (e) ( ) Se det(A) ̸= 0 e AB = 0, então B é invertível. (f) ( ) Se A ∈ Mn(R) e n é par, então det(A) = det(−A). (g) ( ) Se A100 é invertível, então 3A também o é. (h) ( ) Se a diagonal principal da matriz quadrada A consiste de zeros, então det(A) = 0 7 Se 𝐴𝐵𝑇 tem ordem 5x3, isso significa que a matriz A tem ordem 5xn e a transposta de B tem ordem mx3, 𝐴5×𝑛 × 𝐵𝑛×3 𝑇 = 𝐴𝐵5×3 𝑇 . Usando a mesma ideia nas expressões restantes: (𝐶𝑇 + 𝐷)4×𝑚 × 𝐵𝑚×6 = (𝐶𝑇 + 𝐷)𝐵4×6 e 𝐸5×𝑘 𝑇 × 𝐶𝑘×4 = 𝐸𝑇𝐶5×4. Se B tem ordem mx6 e sua transposta tem ordem nx3, isso significa que m = 3 e n = 6. Então, 𝐵3×6 e, portanto, 𝐴5×6. Também descobrimos que (𝐶𝑇 + 𝐷)4×3. Como é uma soma, as matrizes precisam ter a mesma ordem 𝐶4×3 𝑇 e 𝐷4×3. Assim, 𝐶3×4 , k = 3 e 𝐸𝑘×5 = 𝐸3×5. Podemos escrever 𝐴𝛼×𝛽𝐵𝛽×𝛾𝐶𝛾×𝛿𝐷𝛿×𝜇𝐸𝜇×𝜀 E também, 𝐸𝜇×𝜀𝐷𝛿×𝜇𝐶𝛾×𝛿𝐵𝛽×𝛾𝐴𝛼×𝛽 Usando os valores da ordem da matriz C dados no enunciado, temos 𝐴𝛼×𝛽𝐵𝛽×3𝐶3×2𝐷2×𝜇𝐸𝜇×𝜀 𝐸𝜇×𝜀𝐷𝛿×3𝐶3×2𝐵2×𝛾𝐴𝛼×𝛽 Observando as duas expressões, podemos concluir que 𝛾 = 𝜇 = 3, 𝛿 = 𝛽 = 2 Observe 𝐴𝛼×2𝐵2×3𝐶3×2𝐷2×3𝐸3×𝜀 𝐸3×𝜀𝐷2×3𝐶3×2𝐵2×3𝐴𝛼×2 Da última expressão, é possível ver que para que a multiplicação dê certo precisamos ter também 𝜀 = 2, 𝛼 = 3 . Assim, 𝐴, 𝐶, 𝐸 tem ordem 3x2 e 𝐵, 𝐷 tem ordem 2x3. 𝑐32 = 18, 𝑑43 = 23 Precisamos calcular 𝐴31 = 𝑃(𝐷31)𝑃−1 𝐷31 é a matriz diagonal dos autovalores elevados a 31ª potência. 𝑃, 𝑃−1 são as matrizes dos autovetores e sua inversa, respectivamente. Calculando os autovalores: Autovetores Agora, temos Vamos calcular a inversa de P, O resultado é a própria matriz A. A matriz resultante tem o número de linhas de A e o número de colunas de B. Podemos escrever 𝑑35,2 = (𝑎35,1 × 𝑏1,2) + (𝑎35,2 × 𝑏2,2) + (𝑎35,3 × 𝑏3,2) + (𝑎35,4 × 𝑏4,2) + (𝑎35,5 × 𝑏5,2) 𝑑35,2 = ([𝑖 + 𝑗 + 2] × [𝑗 − 2]) + ([𝑖 + 𝑗 + 2] × [𝑖 𝑗]) + ([𝑖 + 𝑗 + 2] × [𝑗 − 2]) + ([𝑖 + 𝑗 + 2] × [𝑖 𝑗]) + ([𝑖 + 𝑗 + 2] × [𝑖 𝑗]) 𝑑35,2 = ([35 + 1 + 2] × [2 − 2]) + ([35 + 2 + 2] × [2 2]) + ([35 + 3 + 2] × [3 2]) + ([35 + 4 + 2] × [4 2]) + ([35 + 5 + 2] × [5 2]) 𝑑35,2 = (0) + (39) + (60) + (82) + (105) = 286 Como a matriz é diagonal, devemos ter as seguintes igualdades entre os elementos: 𝑥2 + 3 = 7, 𝑦 + 𝑥 = −5, 𝑧 + 3𝑥 = 4 A primeira equação diz que 𝑥2 + 3 = 7 → 𝑥2 = 7 − 3 = 4 → 𝑥 = 2 Vamos substituir na segunda equação para calcular y, 𝑦 = −5 − 𝑥 = −5 − 2 = −7 A terceira equação nos dá o valor de z, 𝑧 = 4 − 3𝑥 = 4 − 3(2) = −2 ******** Não dá p ver o último elemento da matriz D. Vou colocar um 𝑋 no lugar, aí é só substituir esse valor no resultado final. ****************************************** Vamos calcular o produto notável, (𝐴 − 𝐵)(𝐴 + 𝐵) = 𝐴2 + 𝐴𝐵 − 𝐴𝐵 − 𝐵2 Se 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 , (𝐴 − 𝐵)(𝐴 + 𝐵) = 𝐴2 + 𝐵𝐴 − 𝐴𝐵 − 𝐵2 = 𝐴2 + 0 − 𝐵2 = 𝐴2 − 𝐵2 Logo, (𝐴 − 𝐵)(𝐴 + 𝐵) = 𝐴2 − 𝐵2 (a) Vamos supor uma matriz de ordem 3x3 e sua transposta: De fato, ambas são simétricas. (b) Vamos calcular, De fato, é antissimétrica. (c) Vamos somar as matrizes simétrica e antissimétrica que calculamos acima: Para que seja ortogonal, a inversa de M precisa ser igual sua transposta. Vamos usar a fórmula para inversas 2x2 que já usamos para a matriz P da questão (7). Nesse caso, a transposta de M é igual a própria matriz M: Para que a matriz seja ortogonal, precisamos ter 1 𝑚 = 𝑚 → 𝑚2 = 1 → 𝑚 = ±1 (a) Basta substituirmos o valor do ângulo nos elementos da matriz, (b) Novamente, vamos usar A transposta é O traço de uma matriz m x n é dado pela soma dos elementos de sua diagonal principal: 𝑡𝑟(𝐴) = ∑ 𝑎𝑖𝑖 𝑛 𝑖=1 Sendo 𝐴 uma matriz quadrada de diagonal não-nula, sua transposta também o será. Logo, os traços dessas operações estão definidos. Assim, 𝑡𝑟(𝐴𝐴𝑇) = ∑ ∑ 𝑎𝑖𝑗 𝑛 𝑗=1 𝑛 𝑖=1 𝑎𝑗𝑖 Porém, os elementos das diagonais principais de 𝐴𝑇 e 𝐴 são os mesmos. Assim, 𝑡𝑟(𝐴𝐴𝑇) = ∑ ∑ 𝑎𝑖𝑗 𝑛 𝑗=1 𝑛 𝑖=1 𝑎𝑗𝑖 ′ = ∑ ∑(𝑎𝑖𝑗) 2 𝑛 𝑗=1 𝑛 𝑖=1 Da mesma forma, 𝑡𝑟(𝐴𝑇𝐴) = ∑ ∑ 𝑎𝑗𝑖 ′ 𝑎𝑖𝑗 𝑛 𝑗=1 𝑛 𝑖=1 = ∑ ∑(𝑎𝑖𝑗) 2 𝑛 𝑗=1 𝑛 𝑖=1 Vamos usar as matrizes abaixo para ilustrar os cálculos. Para que ocorra o que é pedido no enunciado, podemos fazer 𝑎 = 𝑏 = 1, 𝑐 = 0 Também, Podemos reescrever a expressão como 𝐴(𝐴 − 3)𝐴 + 𝐼 = 0 Subtraindo a matriz identidade de ambos os lados, 𝐴(𝐴 − 3)𝐴 + 𝐼 − 𝐼 = 0 − 𝐼 → 𝐴(𝐴 − 3) = −𝐼 → − 𝐴(𝐴 − 3) = 𝐼 Multiplicando o sinal dentro dos parênteses, 𝐴(3 − 𝐴) = 𝐼 Vamos multiplicar o escalar 3 pela matriz identidade e, em seguida, multiplicar ambos os lados da expressão pelo inverso de A, 𝐴−1𝐴(3𝐼 − 𝐴) = 𝐴−1𝐼. 𝐴−1𝐴 = 𝐼, 𝐼(3𝐼 − 𝐴) = 𝐴−1𝐼 → 3𝐼 − 𝐴 = 𝐴−1. (a) O determinante da transposta é igual ao determinante da própria matriz. det(𝐴) = det(𝐴𝑇) = −3 No caso da inversa, temos det(𝐴−1) = 1 det(𝐴) = − 1 3 Como o determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes, temos det(𝑃) = 4 det(𝐴−1) det(𝐴𝑇) = 4 (− 1 3) (−3) = 4 (c) 𝐿3 ↔ 𝐿2 : o determinante muda de sinal, det(𝐵) = − det(𝐴). 𝐿1 → 𝐿1 + 2𝐿5: o determinante não é afetado por essa operação. 𝐿4 → −3𝐿4: o determinante fica multiplicado pelo escalar –3, (−3) det(𝐵) = (−3)(− det(𝐴)) = 3 det(𝐴) Vamos usar o Método de Laplace por colunas para a matriz A. A primeira coluna só tem um elemento não nulo. Assim 𝑎11, det(𝐴) = (𝑎11)1+1 det[𝐴3×3 ′ ] O determinante da matriz 3x3 restante também pode ser calculado usando redução e o elemento 2. det(𝐴) = (−1)1+1𝑎11[(−1)1+1𝑎11 det[𝐴2×2 ′′ ]] = (1)(1)[(1)(2)[(4)(3) − (0)(−2)]] det(𝐴) = [2[12 − 0]] = 24 O processo para matriz B é semelhante: det(𝐵) = (−1)4+4𝑎44[(−1)3+3𝑎33 det[𝐵2×2 ′′ ]] = (1)(−2)[(1)(−1)[(−3)(−4) − (0)(3)]] det(𝐵) = −2[−[12 − 0]] = 24 det(𝐴) = 24, det(𝐵) = 24 *****O enunciado não diz o que representa a matriz C. (a) Podemos escrever 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 1)[𝑥(𝑥 − 1) − 1] + (−1)[0 + (𝑥 − 1)] + (1)[1 − 0] 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 1)[𝑥(𝑥 − 1) − 1] + [1 − 𝑥] + 1 𝑝(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 − 𝑥 + 3 (b) 𝑝(𝐴) = det(𝐴𝐼 − 𝐴) = det(𝐴 − 𝐴) = det(0) = 0 (c) 𝑝(𝐴) = 𝐴3 − 2𝐴2 − 𝐴 + 3𝐼 = 0 𝐴3 − 2𝐴2 − 𝐴 = −3𝐼 𝐴(𝐴2 − 2𝐴 − 𝐼) = −3𝐼 𝐴−1𝐴(𝐴2 − 2𝐴 − 𝐼) = −3𝐴−1𝐼 𝐼(𝐴2 − 2𝐴 − 𝐼) = −3𝐴−1𝐼. −3𝐴−1 = 𝐴2 − 2𝐴 − 𝐼 = 𝐴2 − 2𝐴 − 𝐼2 = (𝐴 − 𝐼)(𝐴 + 𝐼) 𝐴−1 = − 1 3 (𝐴 − 𝐼)(𝐴 + 𝐼) A^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \left( \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \right) A^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} A^{-1} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1/3 & 0 & 1/3 \\ -1/3 & -1/3 & 0 \\ -1/3 & -1/3 & -1/3 \end{bmatrix} Vamos usar Laplace por colunas usando a primeira coluna, det(𝐴) = 𝑎11(−1)1+1 det[𝐴3×3 ′ ] + 𝑎21(−1)2+1 det[𝐴3×3 ′′ ] + 𝑎31(−1)3+1 det[𝐴3×3 ′′′ ] +𝑎41(−1)4+1 det[𝐴3×3 ′′′′ ] det(𝐴) = 4 det[𝐴3×3 ′ ] − (−1) det[𝐴3×3 ′′ ] + det[𝐴3×3 ′′′ ] − 2 det[𝐴3×3 ′′′′ ] det(𝐴) = 4 det[𝐴3×3 ′ ] + det[𝐴3×3 ′′ ] + det[𝐴3×3 ′′′ ] − 2 det[𝐴3×3 ′′′′ ] Matrizes 3x3, det[𝐴3×3 ′ ] = 0 + 3[3 − 8] + 0 = −15 det[𝐴3×3 ′′ ] = −5[−4 − 0] + 3[3 − 8] + 2[0 + 1] = 20 − 15 + 2 = 7 det[𝐴3×3 ′′′ ] = −5[12 − 0] + 3[0 − 0] + 2[0 − 3] = −60 − 6 = −66 det[𝐴3×3 ′′′′ ] = −5[9 − 0] + 3[0 − 0] + 2[0 − 6] = −45 − 12 = −57 det(𝐴) = 4[−15] + [7] + [−66] − 2[−57] = −5 O determinante da matriz acima é igual a 16. Vamos escrever, (2)[(𝑥 − 1)(0) − (1)(4)] + (𝑥 − 2)[(4)(5) − (0)(2𝑥 + 3)] + (3)[(2𝑥 + 3)(1) − (5)(𝑥 − 1)] = 16 −8 + 20(𝑥 − 2) − 9𝑥 + 24 = 16 11𝑥 = 40 → 𝑥 = 40 11 Se o determinante for diferente de zero, a matriz será invertível. det(𝐴) = cos(𝜃) [cos(𝜃) − 0] + sin(𝜃) [0 + sin(𝜃)] + 0[… ] = cos2(𝜃) + sin2(𝜃) = 1 Matriz de Cofatores: o processo segue a mesma ideia do método de Laplace, 𝐶11 = (−1)1+1[cos(𝜃) − 0] = cos(𝜃) 𝐶21 = (−1)2+1[sin(𝜃) − 0] = − sin(𝜃) 𝐶31 = (−1)3+1[… ] = 0 𝐶12 = (−1)1+2[− sin(𝜃) − 0] = sin(𝜃) 𝐶22 = (−1)2+2[cos(𝜃) − 0] = cos(𝜃) 𝐶32 = (−1)3+2[… ] = 0 𝐶13 = (−1)1+3[… ] = 0 𝐶23 = (−1)2+3[… ] = 0 𝐶33 = (−1)3+3[cos2(𝜃) + sin2(𝜃)] = 1 A matriz adjunta é a transposta da matriz de Cofatores. E a inversa é 𝐴−1 = 1 det(𝐴) 𝐴𝑑𝑗(𝐴) Vamos usar o método de redução de Gauss, 𝐿1 → 𝐿1 (−3) 𝐿3 → 𝐿3 + 6𝐿1 𝐿2 → 𝐿2 3 𝐿3 → 𝐿3 − 3𝐿2 𝐿3 → 𝐿3 51 𝐿2 → 𝐿2 + 𝐿3 e 𝐿1 → 𝐿1 − 4𝐿3 𝐿1 → 𝐿1 − 2𝐿2 Podemos escrever, (𝐴 + 𝑋)𝑇 = 𝐵 A transposta da transposta da soma A+X é a própria soma, [(𝐴 + 𝑋)𝑇]𝑇 = 𝐵𝑇 𝐴 + 𝑋 = 𝐵𝑇 𝑋 = 𝐵𝑇 − 𝐴