Slide - Vetores Pt2 - Álgebra Linear e Geometria Analítica 2019 1

Vetores ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Daniel Leite FAENG - UFMT Setembro 2020 Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Sum´ario 1 Vetores Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Norma e ˆAngulo Introduzimos esta se¸c˜ao com dois exemplos em sequˆencia: (i) Suponha que um avi˜ao de passageiros, voando para leste a 500 mi/h sem vento, encontra um vento de popa de 70 mi/h atuando no sentido 60◦ norte de leste. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Norma e ˆAngulo Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Norma e ˆAngulo O avi˜ao mant´em-se seguindo rumo a leste, mas, por causa do vento, adquire uma nova rapidez em rela¸c˜ao ao solo e uma nova dire¸c˜ao. Como determinar estas novas dire¸c˜ao e rapidez em rela¸c˜ao ao solo? Vamos denotar as intensidades de um vetor qualquer w por ||w||. Assim, ||u|| = 500 e ||v|| = 70. Pela figura, a nova dire¸c˜ao ´e dada pela soma u + v dos vetores u e v, cuja rapidez ´e a norma ||u + v||. Ainda pela figura, Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica u=(jlul|,0) e v= ({|v|| cos (60°), ||v|| sen (60°). Isto é, 1 3 u=(500,0) e v= [7 5°70 ) = (35, 35V3). Por calculos simples, é possivel concluir que a nova rapidez é de 538 mi/h e a direcao 6 = 6,5° norte de leste, aproximadamente. Vetores Produtos de vetores: Norma e ˆAngulo (ii) Suponha, agora que um peso de 75 N ´e suspenso por dois fios, conforme demonstrado na figura a seguir. Encontre as for¸cas F1 e F2 que agem em ambos os fios. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Norma e ˆAngulo Os vetores de for¸ca F1 e F2 possuem magnitudes ||F1|| e ||F2|| e componentes mensurados em newtons. A for¸ca resultante ´e a soma F1 + F2 e deve ser igual em magnitude e atuar no sentido oposto (ou para cima) ao vetor de peso w. Segue da figura que F1 = (−||F1|| cos(55◦), ||F1|| sen(55◦)) F2 = (||F2|| cos(40◦), ||F2|| sen(40◦)) . Por compara¸c˜ao com as componentes de F1 + F2, se conclui que ||F1|| ≈ 58 N e ||F2|| ≈ 43 N. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica O comprimento do vetor v também é chamado de norma de v e é denotado(a) por ||v||. Segue do Teorema de Pitagoras que a norma de um vetor pode ser calculada usando as suas componentes por @ |\v|| = 4/v2 + v3, quando v = (4, v2) € um vetor no plano; @ |iv|| = \/v2 + vs + v3, quando v = (11, 12,13) € um vetor no espaco; Vetores Produtos de vetores: Norma e ˆAngulo Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Norma e ˆAngulo Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Norma e ˆAngulo Um vetor v ´e chamado de unit´ario quando ||v|| = 1. Al´em disso, se v ´e um vetor n˜ao nulo, ent˜ao o vetor u = v ||v|| ´e unit´ario e ´e chamado de versor do vetor v (ou de qualquer m´ultiplo escalar positivo de v). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica A distancia entre dois pontos no espaco P = (x1, y1,Z1) € Q = (x2, y2, Z2) € igual 4 norma do vetor PO, dist(P,Q)=||PO|| = IIe — x.» - ue a) | dist(P, Q) = V(x2— x1)? + (2 -— 1)? + (22 - 21)? De modo semelhante, a distancia entre dois pontos no plano P=(x1,y¥1) € Q = (x2, y2) € igual a norma do vetor PO, dist(P, Q) = |PO = || — x1, ¥2 — y1)]| dist(P, Q) = J/(x2— x1)? + (v2 — 1)? Vetores Produtos de vetores: Norma e ˆAngulo Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Se v = (1, 12,3) e a € um escalar, entdo da defini¢ado da multiplicacao de vetor por escalar e da norma de um vetor segue-se que lla v|| = ||(ar1,av2,a3)|| = (an)? + (ave)? + (avs)? = oe? (UE + v3 + 3) = la|\/v2 +3 +3 = a] |Iv]| Vetores Produtos de vetores: Norma e ˆAngulo Portanto, ||α v|| = |α| ||v|| A mesma equa¸c˜ao ´e v´alida para multiplica¸c˜ao de vetores no plano por escalar. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Norma e ˆAngulo O ˆangulo entre dois vetores n˜ao nulos, v e w, ´e definido pelo ˆangulo θ determinado por v e w que satisfaz 0 ≤ θ ≤ π, quando eles est˜ao representados com a mesma origem. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Norma e ˆAngulo Quando o ˆangulo θ entre dois vetores v e w ´e reto (θ = 90◦), ou um deles ´e o vetor nulo, dizemos que eles s˜ao ortogonais ou perpendiculares entre si. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Norma e ˆAngulo Vamos definir, agora, um produto entre dois vetores, cujo resultado ´e um escalar (n´umero real). Por isso ele ´e chamado produto escalar. Antes, por´em, vamos ilustrar uma situa¸c˜ao em que o produto escalar ´e indispens´avel. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Norma e ˆAngulo Se uma for¸ca F ´e aplicada a uma part´ıcula que se move ao longo de uma trajet´oria, precisamos frequentemente conhecer a magnitude da for¸ca na dire¸c˜ao do movimento. Se v aponta no sentido da trajet´oria no ponto em que F ´e aplicada, ent˜ao queremos a magnitude de F na dire¸c˜ao de v. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Norma e ˆAngulo Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Norma e ˆAngulo A Figura acima mostra que a quantidade escalar que procuramos ´e o comprimento ||F|| cos(θ), em que θ ´e o ˆangulo entre os dois vetores F e v. O produto escalar que ser´a definido adiante, permitir´a que o ˆangulo seja determinado quando se conhece as componentes dos vetores. Por´em, se o ˆangulo ´e conhecido, como no exemplo a seguir, a componente ´e facilmente encontrada. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Norma e ˆAngulo Suponha que um carrinho est´a sendo puxado ao longo de uma superf´ıcie horizontal lisa com uma for¸ca F de 20 lb que forma um ˆangulo de 45◦ com a superf´ıcie. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Norma e ˆAngulo Qual ´e a for¸ca efetiva que move o carrinho para a frente? Pelo visto acima, a for¸ca efetiva ´e igual a (||F|| cos(45◦), 0) cuja magnitude vale 70 × √ 2 2 = 35 √ 2. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Produto Escalar e Proje¸c˜ao Ortogonal Defini¸c˜ao O produto escalar ou produto interno de dois vetores v e w ´e definido por v • w =      0, se v ou w ´e o vetor nulo ||v|| ||w|| cos(θ), caso contr´ario em que θ ´e o ˆangulo entre eles. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Produto Escalar e Proje¸c˜ao Ortogonal Como desejamos usar o produto escalar para calcular o ˆangulo, precisamos de outra equa¸c˜ao que permita calcular o produto escalar independente do ˆangulo. Isso ser´a poss´ıvel conhecendo as componentes dos vetores v e w. Se v e w s˜ao dois vetores n˜ao nulos e θ ´e o ˆangulo entre eles, ent˜ao pela lei dos cossenos no triˆangulo determinado pelos vetores v, w e v − w: Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Produto Escalar e Proje¸c˜ao Ortogonal Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica I|v — w||? = |lv||? + |lwl|? — 2 |IvI| lw] cosa) eucq~ vew segue que 1 vew == ((jvil? + {lw|l? = lv — w|/) Se v = (11,2) € w = (Wy, W2) sdo vetores no plano, entao substituindo na ultima equa¢do, obtemos explicitamente 1 2,,2,,2,.2 12 2 2 ve w= 54 +5 +wy +ws —vpt+2yvywy— wy — 5 +222 —W5) que apos cancelamentos resulta simplesmente na equacao Vew=Mwy + Low. Em trés componentes chega-se a um resultado semelhante, de modo que temos o seguinte teorema Vetores Produtos de vetores: Produto Escalar e Proje¸c˜ao Ortogonal Teorema 2 Se v = (ν1, ν2) e w = (w1, w2) s˜ao vetores no plano, ent˜ao v • w = ν1w1 + ν2w2. Se v = (ν1, ν2, ν3) e w = (w1, w2, w3) s˜ao vetores no espa¸co, ent˜ao v • w = ν1w1 + ν2w2 + ν3w3. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Produto Escalar e Proje¸c˜ao Ortogonal Tendo em vista o teorema acima, podemos retornar `a defini¸c˜ao de produto escalar e definir uma equa¸c˜ao que permita determinar o ˆangulo entre dois vetores v e w. O cosseno do ˆangulo entre v e w ´e, ent˜ao, dado por cos(θ) = v • w ||v|| ||w|| onde θ ´e ˆangulo entre eles. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Produto Escalar e Proje¸c˜ao Ortogonal Se v e w s˜ao vetores n˜ao nulos e θ ´e o ˆangulo entre eles, ent˜ao (a) θ ´e agudo (0◦ ≤ θ < 90◦) se, e somente se, v • w > 0; (b) θ ´e reto (θ = 90◦) se, e somente se, v • w = 0; (c) θ ´e obsusˆangulo (90◦ < θ ≤ 180◦) se, e somente se, v • w < 0. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Produto Escalar e Proje¸c˜ao Ortogonal Teorema 3 Sejam u, v e w vetores e α um escalar. S˜ao v´alidas as seguintes propriedades: (a) Comutatividade: v • w = w • v (b) Distributividade: u • (v + w) = u • v + u • w (c) Associatividade: α (v • w) = (α v) • w = v • (α w) (d) Positividade: v • v = ||v||2 ≥ 0 e ||v|| = 0 se, e somente se, v = 0. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Produto Escalar e Proje¸c˜ao Ortogonal Exemplo Mostre que A = (3, 0, 2), B = (4, 3, 0) e C = (8, 1, −1) s˜ao v´ertices de um triˆangulo retˆangulo. Em qual dos v´ertices est´a o ˆangulo reto? Exemplo Determine a equa¸c˜ao da reta no plano que ´e perpendicular ao vetor N = (2, 3) e passa pelo ponto P0 = (−1, 1). Exemplo Se v • u = v • w e v ̸= 0, ent˜ao u = w? Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Produto Escalar e Proje¸c˜ao Ortogonal Dados dois vetores v e w a proje¸c˜ao ortogonal de v sobre w, denotada por projw v, ´e o vetor que ´e paralelo a w e tal que v − projw v ´e ortogonal a w. Geometricamente, Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Produto Escalar e Proje¸c˜ao Ortogonal Pela defini¸c˜ao, projw v = α w (pois ´e paralelo a w) (v − projw v) • w = 0 (pois v − projw v ´e ortogonal a w) Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Da ultima equa¢ao, substituindo proj, v = aw, temos (v-awjew=0 > vew—awew=0 > vew-—al|w||? =0 => a= vew I|w||? Portanto, voltando em proj, v = aw, concluimos que . vow proj,V = | >> } w. ||w]| Vetores Produtos de vetores: Produto Escalar e Proje¸c˜ao Ortogonal Observa¸c˜ao Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Produto Escalar e Projecao Ortogonal Se escrevermos a projecdo ortogonal na forma - vew Ww ProjywV= | !] 7, wil 7 [lw | entdo a projecdo ortogonal é vista como um miultiplo escalar do vetor unitdrio Tw Define-se 0 componente escalar do vetor v sobre w como sendo o numero vew I|w |] Vetores Produtos de vetores: Produto Escalar e Proje¸c˜ao Ortogonal Se uma for¸ca F move um objeto ao longo de um deslocamento −→ PQ, o trabalho (W) realizado pelo componente de F na dire¸c˜ao de −→ PQ ´e definido por W = F • −→ PQ, onde θ ´e o ˆangulo entre F e −→ PQ. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Produto Escalar e Proje¸c˜ao Ortogonal Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Produto Escalar e Proje¸c˜ao Ortogonal Exerc´ıcios Uma tubula¸c˜ao de ´agua ser´a constru´ıda com um desn´ıvel de 20% na dire¸c˜ao norte e um desn´ıvel de 10% na dire¸c˜ao leste. Determine o ˆangulo θ necess´ario na tubula¸c˜ao de ´agua para o cotovelo de norte para leste. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Produto Escalar e Proje¸c˜ao Ortogonal Exerc´ıcios Na figura a seguir parece que v1 + v2 e v1 − v2 s˜ao ortogonais. ´E mera coincidˆencia ou existem circunstˆancias nas quais podemos esperar que a soma de dois vetores seja ortogonal `a sua diferen¸ca? Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Produto Escalar e Proje¸c˜ao Ortogonal Exerc´ıcios Suponha que AB seja o diˆametro de um c´ırculo com centro O e que C seja um ponto sobre um dos dois arcos que unem A e B. Mostre que −→ CA e −→ CB s˜ao ortogonais (“Todo triˆangulo inscrito numa semicircunferˆencia ´e retˆangulo”). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Produto Escalar e Proje¸c˜ao Ortogonal Exerc´ıcios Mostre que as diagonais de um losango (paralelogramo com lados de comprimento igual) s˜ao perpendiculares. Exerc´ıcios Mostre que os quadrados s˜ao os ´unicos retˆangulos com diagonais perpendiculares. Exerc´ıcios Prove que um paralelogramo ´e um retˆangulo se, e somente se, suas diagonais s˜ao iguais em comprimento. (Esse fato ´e explorado com frequˆencia por carpinteiros.) Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Produto Escalar e Proje¸c˜ao Ortogonal Exerc´ıcios Mostre que a diagonal indicada no paralelogramo determinado pelos vetores u e v ´e a bissetriz do ˆangulo entre u e v se ||u|| = ||v||. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Produto Escalar e Proje¸c˜ao Ortogonal Exerc´ıcios Suponha que uma caixa esteja sendo carregada sobre um plano inclinado, conforme mostra a figura. Encontre a for¸ca F necess´aria para fazer que o componente da for¸ca paralela ao plano inclinado seja igual a 2,5 lb. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Produto Escalar e Proje¸c˜ao Ortogonal Exerc´ıcios Copie os eixos e o vetor mostrados aqui. Em seguida, sombreie os pontos (x, y) para os quais (x, y) • v ≤ 0. Justifique sua resposta. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Produto Escalar e Proje¸c˜ao Ortogonal Exerc´ıcios O vento passando sobre a vela de um barco exerce uma for¸ca F de magnitude de 1.000 lb (figura). Quanto trabalho ´e realizado pelo vento para mover o barco para a frente 1 milha (5280 p´es)? Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Produto Escalar e Proje¸c˜ao Ortogonal Exerc´ıcios Decomponha w = (−1, −3, 2) como a soma de dois vetores u e v, com u paralelo ao vetor ϑ = (0, 1, 3) e v ortogonal a este ´ultimo. Exerc´ıcios Ache o vetor unit´ario da bissetriz do ˆangulo entre os vetores v = (2, 2, 1) e w = (6, 2, −3). (Sugest˜ao: observe que a soma de dois vetores est´a na dire¸c˜ao da bissetriz se, e somente se, os dois tiverem o mesmo comprimento). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Produto Vetorial e Produto Misto Agora, vamos definir um produto entre dois vetores, cujo resultado ´e um vetor. Por isso, ele ´e chamado produto vetorial. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Produto Vetorial e Produto Misto Defini¸c˜ao Sejam v e w dois vetores no espa¸co. Definimos o produto vetorial, denotado por v × w, como sendo o vetor com as seguintes caracter´ısticas: (a) Tem comprimento dado numericamente por ||v × w|| = ||v|| ||w|| sen(θ), ou seja, a norma de v × w ´e numericamente igual `a ´area do paralelogramo determinado por v e w. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Produto Vetorial e Produto Misto Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Produto Vetorial e Produto Misto Defini¸c˜ao (b) Tem dire¸c˜ao perpendicular a v e a w. (c) Tem o sentido dado pela regra da m˜ao direita (Figura abaixo): Se o ˆangulo entre v e w ´e θ, giramos o vetor v de um ˆangulo θ at´e que coincida com w e acompanhamos este movimento com os dedos da m˜ao direita, ent˜ao o polegar vai apontar no sentido de v × w. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Produto Vetorial e Produto Misto Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Produto Vetorial e Produto Misto Precisamos de uma f´ormula que ensina o c´alculo de v × w em termos das componentes dos vetores. Isso ser´a poss´ıvel atrav´es das propriedades a seguir. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Produto Vetorial e Produto Misto Teorema 4 Sejam u, v e w vetores no espa¸co e α um escalar. S˜ao v´alidas as seguintes propriedades: (a) Anti-comutatividade: v × w = −w × v. (b) v × w = 0 se, e somente se, v e w s˜ao paralelos. (c) (v × w) • v = 0 e (v × w) • w = 0. (d) α (v × w) = (α v) × w = v × (α w). (e) Distributividade: v × (w + u) = v × w + v × u e (v + w) × u = v × u + w × u. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Produto Vetorial e Produto Misto Os vetores canˆonicos do espa¸co tridimensional s˜ao ⃗i = (1, 0, 0), ⃗j = (0, 1, 0) e ⃗k = (0, 0, 1). Eles s˜ao vetores unit´arios paralelos aos eixos coordenados que apontam no sentido de crescimento dos eixos x, y e z. Qualquer vetor v = (ν1, ν2, ν3) no espa¸co pode ser escrito como ”combina¸c˜ao linear“ dos vetores ⃗i, ⃗j e ⃗k (soma de m´ultiplos escalares desses vetores): v = ν1⃗i + ν2⃗j + ν3 ⃗k. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Produto Vetorial e Produto Misto De fato, seguindo as propriedades de opera¸c˜oes com vetores v = (ν1, ν2, ν3) = (ν1, 0, 0) + (0, ν2, 0) + (0, 0, ν3) = ν1 (1, 0, 0) + ν2 (0, 1, 0) + ν3 (0, 0, 1) = ν1⃗i + ν2⃗j + ν3 ⃗k Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Produto Vetorial e Produto Misto Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Produto Vetorial e Produto Misto Observa¸c˜ao Temos as seguinte rela¸c˜oes entre os vetores canˆonicos ⃗i, ⃗j, ⃗k com rela¸c˜ao ao produto vetorial: ⃗i ×⃗i = 0 ⃗j ×⃗i = −⃗k ⃗k ×⃗i =⃗j ⃗i ×⃗j = ⃗k ⃗j ×⃗j = 0 ⃗k ×⃗j = −⃗i ⃗i × ⃗k = −⃗j ⃗j × ⃗k =⃗i ⃗k × ⃗k = 0 Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Produto Vetorial e Produto Misto Teorema 5 Sejam v = (ν1, ν2, ν3) e w = (w1, w2, w3) vetores no espa¸co. Ent˜ao, o produto vetorial v × w ´e dado por v × w =  det   ν2 ν3 w2 w3   , −det   ν1 ν3 w1 w3   , det   ν1 ν2 w1 w2     . Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Produto Vetorial e Produto Misto Observa¸c˜ao Para obter as componentes do produto vetorial v × w, procedemos como segue: Escreva a matriz   v w   =   ν1 ν2 ν3 w1 w2 w3   Para calcular a primeira componente de v × w, elimine a primeira coluna da matriz acima e calcule o determinante da sub-matriz Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Produto Vetorial e Produto Misto Observa¸c˜ao resultante. A segunda componente ´e obtida, eliminando-se a segunda coluna e calculando o determinante da sub-matriz resultante com o sinal trocado. A terceira ´e obtida como a primeira, mas eliminando-se a terceira coluna. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Produto Vetorial e Produto Misto Observa¸c˜ao As componentes de v × w tamb´em podem ser obtidos tomando a expans˜ao do determinante simb´olico: v × w = det   ⃗i ⃗j ⃗k ν1 ν2 ν3 w1 w2 w3   Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Produto Vetorial e Produto Misto Exemplo Encontre a ´area do triˆangulo com v´ertices A = (1, −1, 0), B = (2, 1, −1) e C = (−1, 1, 2). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Produto Vetorial e Produto Misto Torque Quando giramos um parafuso aplicando uma for¸ca F a uma chave inglesa (Figura abaixo), produzimos um torque que faz o parafuso girar. O vetor torque aponta na dire¸c˜ao do eixo do parafuso, de acordo com a regra da m˜ao direita (de forma que a rota¸c˜ao acontece em sentido anti-hor´ario quando visualizada a partir da ponta do vetor). A magnitude do torque depende da distˆancia na chave inglesa em que a for¸ca ´e aplicada e do quanto de for¸ca ´e perpendicular `a chave no ponto de aplica¸c˜ao. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Produto Vetorial e Produto Misto Torque Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Produto Vetorial e Produto Misto Torque O n´umero que utilizamos para medir a magnitude do torque ´e o produto do comprimento do bra¸co da alavanca r e do componente escalar de F perpendicular a r: magnitude do vetor torque = ||r|| ||F|| sen(θ), ou magnitude do vetor torque = ||r × F||. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Produto Vetorial e Produto Misto Exemplo A magnitude do torque gerado pela for¸ca F no ponto pivˆo P de acordo com a Figura abaixo ´e: ||−→ CA × F|| = ||−→ CA|| ||F|| sen(70◦) = (3) (20) (0, 94) ≈ 56, 4 p´es-lb Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Produto Vetorial e Produto Misto Defini¸c˜ao Dados trˆes vetores no espa¸co u, v e w, chamamos de produto misto ao produto (v × w) • u Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Produto Vetorial e Produto Misto Teorema 6 Dados os vetores u = u1⃗i + u2⃗j + u3 ⃗k, v = ν1⃗i + ν2⃗j + ν3 ⃗k e w = w1⃗i + w2⃗j + w3 ⃗k, o produto misto ´e dado pela equa¸c˜ao (v × w) • u = det   ν1 ν2 ν3 w1 w2 w3 u1 u2 u3   Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Produto Vetorial e Produto Misto Temos a seguinte interpreta¸c˜ao geom´etrica para o produto misto: Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Produto Vetorial e Produto Misto Teorema 7 Dados trˆes vetores no espa¸co u, v e w, o valor absoluto | (v × w) • u| ´e numericamente igual ao volume do paralelep´ıpedo determinado por u, v e w. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Produto Vetorial e Produto Misto Teorema 8 Trˆes vetores espaciais u = u1⃗i+u2⃗j+u3 ⃗k, v = ν1⃗i+ν2⃗j+ν3 ⃗k e w = w1⃗i+w2⃗j+w3 ⃗k s˜ao coplanares se, e somente se, (v × w) • u = det   ν1 ν2 ν3 w1 w2 w3 u1 u2 u3   = 0 Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Produto Vetorial e Produto Misto Teorema 9 Sejam u, v e w vetores espaciais n˜ao nulos. Ent˜ao, (a) a equa¸c˜ao vetorial x u + y v + z w = 0 tem solu¸c˜ao n˜ao trivial nas vari´aveis x, y e z. (b) um dos vetores u, v ou w ´e combina¸c˜ao linear (soma de m´ultiplos escalares) dos outros dois. (c) se v e w s˜ao n˜ao paralelos, ent˜ao u ´e combina¸c˜ao linear de v e w. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Produto Vetorial e Produto Misto Exerc´ıcios Mostre que os pontos A = (4, 0, 1), B = (5, 1, 3), C = (3, 2, 5), D = (2, 1, 3) s˜ao v´ertices de um paralelogramo. Calcule a sua ´area. Exerc´ıcios Dado o triˆangulo de v´ertices A = (0, 1, −1) , B = (−2, 0, 1) e C = (1, −2, 0), determine a medida da altura relativa ao lado BC. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Produto Vetorial e Produto Misto Mostre que a area do tridngulo com vértices (x1, yi), (x2, y2) e .-) » [det(A)| (x3, y3) no plano xy é igual a — 7 onde x Mw i A=] x. yo 1 |- x3 y3 1 (Sugestao: Marque os pontos Py = (x1, ¥1, 1), P2 = (%2, yo, 1), P3 = (x3, y3, 1) e P} = (x1, y1,0). O volume do paralelep/pedo determinado por Pi, Po, P3 e P; é dado por |PLPi e Pi Po x P,P3}. Vetores Produtos de vetores: Produto Vetorial e Produto Misto Exerc´ıcios Mas, a altura deste paralelep´ıpedo ´e igual `a 1. Assim, o seu volume ´e igual `a ´area da base que ´e o paralelogramo determinado por P1, P2 e P3. Observe que −−→ OP′ 1, −−−→ P1P2 e −−−→ P1P3 s˜ao paralelos ao plano xy.) Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Produto Vetorial e Produto Misto Exerc´ıcios Se v × u = v × w e v ̸= 0, ent˜ao u = w? Exerc´ıcios Mostre que (v × w) • u = (u × v) • w = (u × w) • v. Exerc´ıcios Verifique se os seguintes pontos pertencem a um mesmo plano: (a) A = (2, 2, 1), B = (3, 1, 2), C = (2, 3, 0) e D = (2, 3, 2); (b) A = (2, 0, 2), B = (3, 2, 0), C = (0, 2, 1) e D = (10, −2, 1). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Produto Vetorial e Produto Misto Exerc´ıcios Calcule o volume do paralelep´ıpedo que tem um dos v´ertices no ponto A = (2, 1, 6) e os trˆes v´ertices adjacentes nos pontos B = (4, 1, 3), C = (1, 3, 2) e D = (1, 2, 1). Exerc´ıcios Calcule a ´area do triˆangulo com v´ertices A = (1, 2, 1), B = (3, 0, 4) e C = (5, 1, 3). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Produto Vetorial e Produto Misto Exerc´ıcios Encontre a magnitude do torque exercido por F sobre o parafuso em P se ||−→ PQ|| = 8 pol. e ||F|| = 30 libras (Obs.: resposta em p´es/libras). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Produto Vetorial e Produto Misto Exerc´ıcios Os pontos m´edios dos lados do triˆangulo ABC s˜ao M = (0, 1, 3), N = (3, −2, 2) e P = (1, 0, 2). Determine a ´area do triˆangulo ABC. Exerc´ıcios Calcular a ´area do paralelogramo determinado pelos vetores v e w sabendo que as suas diagonais s˜ao v + w = (−1, 3, 4) e v − w = (1, −1, 2). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Produto Vetorial e Produto Misto Exerc´ıcios Calcular o volume do tetraedro de base ABC e v´ertice P, sendo A = (2, 0, 0), B = (2, 4, 0), C = (0, 3, 0) e P = (2, −2, 9). Qual a altura do tetraedro relativa ao v´ertice P? Exerc´ıcios Mostre que os vetores u = (2, −1, 3), v = (3, 1, −2) e w = (7, −1, 4) s˜ao coplanares. Encontre escalares α, β e γ tal que α u + β v + γ w = 0. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Produtos de vetores: Produto Vetorial e Produto Misto Exerc´ıcios Se u • (v × w) = 2, calcule: (a) u • (w × v) (b) v • (w × u) (c) (v × w) • u (d) (u × w) • (3v) (e) u • (2w × v) (f) (u + v) • (u × w) Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica