Lista 6 - 2023-1

X-Y=0 e X=-2y-t => y= t/3, x= -t/3 Base: <(0), (-1/3)>, <(0), (-1/3)> (0) (0) (0) (1) Dimensao: 2 f) A x = x => (A-I)x = 0 => (0 2) (a b) =0 (0 0) => c = d = 0 Base: <(0 0) , (0 1)> (0 1) (0 0) Dimensao: 2 2) d) U = {(x,y,z,t) e R4 / x = y-t-z } Base(U) = (1 0 0), (0 1 0), (0 0 1) (1 1 0), (1 0 1) Dimensao : 3 W = { (x,y,z,t) e R4 } / x=-y+t-z) Base (W) = (1 1 0), (0 1 0), (0 0 1) (1 0 0), (0 0 1) Dimensao : 3 5. Determinar uma base e a dimensão do subespaço solução de cada um dos sistemas lineares homogêneos (a)    2x − 2y + z = 0 3x − y + 3z = 0 3y + 4z = 0 , (b)*      x − y = 0 2x − 3y = 0 3x − 1 2y = 0 6. Sejam U e W os seguintes subespaços vetoriais de R4 U = {(a, b, c, d)/b − 2c + d = 0} e W = {(a, b, c, d)/a = d, b = 2c} Ache uma base e a dimensão dos seguintes subespaços vetoriais de R4: (a) U (b) W (c) U ∩ W (d) U + W 7. Determine as coordenadas do vetor v = (1, 0, 0) em relação à base γ = {(1, 1, 1), (−1, 1, 0), (1, 0, −1)}. 8. Determine as coordenadas do vetor u = (4, 5, 3) de R3 em relação às seguintes bases: (a) Canônica; (b) {(1, 1, 1), (1, 2, 0), (3, 1, 0)}; (c) * {(1, 2, 1), (0, 3, 2), (1, 1, 4)}. 9. Considere a base ordenada γ = {v1, v2, v3} de R3 onde v1 = (1, 0, −1), v2 = (1, 1, 1) e v3 = (1, 0, 0). Encontre as coordenadas do vetor u = (a, b, c) ∈ R3 com relação á base ordenada γ. 10. * Considere as as seguintes bases de R2 S1 = {(1, −2), (3, −4)}, S2 = {(1, 3), (3, 8)} (a) Ache as coordenadas de um vetor arbitrário v = (a, b) em R2 em relação a base S1. (b) Encontre a matriz P de mudança da base S1 para a base S2. (c) Ache as coordenadas de um vetor arbitrário v = (a, b) em R2 em relação a base S2. (d) Encontre a matriz Q de mudança da base S2 para a base S1. (e) Verifique que Q = P −1. (f) Mostre que P[v]S1 = [v]S2, para qualquer vetor v = (a, b). (g) Mostre que P −1[v]S2 = [v]S1, para qualquer vetor v = (a, b). 11. Considere as bases S = {(1, 2, 0), (1, 3, 2), (0, 1, 3)}, T = {(1, 0, 1), (2, 1, 1), (3, 1, −1)} do espaço R3. Determine: 2 Lista 6 Álgebra Linear 1. Determine uma base e dimensão dos subespaços vetoriais: (a) W = {(x,y) e R²/2x-2y = 0} (b) W = {(x,y,z,t) e R⁴/2x-2y = 0 e t+x = z} (c) W = [(1,2,3),(0,0,2),(-2,-4,-2)] (d) W = {(x,y,z,t) e R⁴/x-y+t+z = 0} (e) * W = {(x,y,z,t) e R⁴/x-y=0 e x+2y+t=0} (f) * W = {X e M₂(R)/AX = X}, onde A = (1 2) (0 1) (g) W = {X e M₂(R)/AX = XA}, onde A = (1 0) (1 1) 2. Dados U, W subespaços do espaço vetorial V, determinar (i) uma base e a dimensão de U. (ii) uma base e a dimensão de W. (iii) uma base e a dimensão de U+W. (iv) uma base e a dimensão de U∩W. nos seguintes casos: (a) U = {(x,y,z) e R³/x+y+z = 0}, W = {(x,y,0)/x, y e R}, V = R³. (b) U = {(x,y,z,t) e R⁴/x+y-t-z = 0}, W = {(x,y,z,t) e R⁴/z = t = 0}, V = R⁴. (c) U = {(x,y,z) e R³/x = 0}, W = [(2,2,0),(1,2,3),(7,12,21),(-1,-2,-3)], V = R³. (d) * U = {(x,y,z,t) e R⁴/x-y+t+z = 0}, W = {(x,y,z,t)/x,y e R⁴/x+y-t+z = 0}, V = R⁴. 3. * Encontre bases para os subespaços W₁ = {(x,y,z) e R³/2x-3y+4z = 0} e W₂ = {(x,y,z) e R³/3x+2y-5z = 0} Quais são as dimensões dos subespaços W₁ e W₂? Ache um vetor v ∈ W₁ ∩ W₂. 4. Considere os seguintes subespaços de R³ S = [(1,-1,2),(2,1,1)] T = [(0,1,-1),(1,2,1)] U = {(x,y,z)/x+y=4x-z=0} V = {(x,y,z)/3x-y-z=0} Determine as dimensões de (a) S (b) T (c) U (d) V (e) S+T (f) S∩T (g) *T+U (h)* T∩U (a) A matriz P de mudança da base T para a base S. (b) Encontre a matriz Q de mudança da base S para a base T. (c) As coordenadas, nas duas bases, dos vetores z₁ = (1,1,1) e z₂ = (5,2,0). 12. * Considere a seguinte matriz P de mudança da base β para a base β' P_{β→β'} = (1 1 0) (0 -1 1) (1 0 -1) Encontre: (a) [v]_{β'}, sabendo que [v]_{β'} = (−1) 2 3 (b) [v]_{β'}, sabendo que [v]_{β} = (−1) 2 3 Se β é uma base de um espaço vetorial V, qual é a matriz de mudança da base B para a base B'? 13. Se B é uma base de um espaço vetorial V, qual é a matriz de mudança da base B para a base B? 14. Sejam B = {(1,0),(0,1)}, C = {(−1,1),(1,1)}, D = {(√3,1),(√3,−1)} bases de R². (a) Quais as coordenadas do vetor (3,2) em relação à base B? E em relação a C? E em relação a D? (b) * Encontre as matrizes de mudança da base B para a base C; da base C para a base D e da base B para a base D. (c) * Existe alguma relação entre as matrizes de mudança de bases encontradas no item (b)? Qual? 15. * Considere o espaço vetorial real R². A matriz de mudança da base γ = {(1,1),(−2,2)} para a base α = {v₁,v₂} é dada por (1 0) (4 −2) Determine a base α. Determine o elemento u ∈ R² tal que [u]_{α} = (1) 2 16. A matriz de mudança de uma base B do R² para a base C = {(1,1),(0,2)} desse mesmo espaço é (1 0) 2 3 Determine a base B. (iii) U∩W: x=y u-z, x=-y+z-3 (7) x=-z e y=z. Base: \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} Dimensão: 2 U+W: Por Grassmann, dim(U+W) = dim U + dim W - dim(U∩W) = 3 + 3 - 2 = 4 Como U+W ⊂ \mathbb{R}^4 e dim(U+W) = 4, U+W = \mathbb{R}^4 Assin: Dimensão: 4 Base: \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} 3) W_1: x=\frac{3}{2}y-2z Base: \begin{pmatrix} \frac{3}{2} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} Dimensão: 2 W_2: x=-\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}z Base: \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \frac{5}{3} \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} Dimensão: 2 v∈W1∩W2: x=\frac{3}{2}y-2z e x=-\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}z ⇒ (\frac{3}{2} y - 2z = \frac{-2}{3}y + \frac{5}{3}z), 13/6y=11/3z, y=\frac{22}{13}z 3) Seja z=13, y=22 e x=7 Assim, o vetor v=\begin{pmatrix} 7 \\ \frac{22}{13} \\ 18 \end{pmatrix} ∈ W1∩W2 4) T= 〈 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} 〉 V= 〈 \begin{pmatrix} 1/4 \\ -1/4 \\ 1 \end{pmatrix} 〉 Note que \begin{pmatrix} 1/4 \\ -1/4 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \frac{3}{4} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} (port) \infty U ⊂ T Assim, T+U=T , dim(T+U) = dim(T) = 2 h) Pelo item b, T∩U=V , dim(T∩U)=dim(V)=1 5) x-y=0 ⇒ x=y 2x-3y=0 ⇒ 2x-3x=0 ⇒ x=0, y=0 Base: {} Dimensão: 0 8) c) \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4/3 \\ 5/3 \end{pmatrix} x = \frac{| \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} |}{11} = \frac{41}{11} | \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} | y = \frac{| \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} |}{11} = -\frac{10}{11} z = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 1 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} = \frac{3}{11} Assim, os coordenados de v no referido base são: \begin{pmatrix} 41/11 \\ -10/11 \\ 3/11 \end{pmatrix} 10) a) (1,0) = (+7/3) (1,-2) +1 (3,-4) (0,1) = -3/2 (1,-2) +1/2 (3,-4) Assim (0,b) = (-2a -3b/2 , a + b/2) no base S1. b) (4,-2) = (-5/1) (1,3) +4 (3,7) (1,-2) = -14 (1,3) +5 (3,8) (3,-4) = -36 (1,3) +13 (3,8) P_{S1 -> S2} = [-14 -36 \5 13] c) (0,1) = +3 (1,3) + (+1) (3,8) (0,1) = -8 (1,3) + 3 (3,8) Assim, (0,1b) = (-8a + 3b , 3a - b) no base S2 d) (1 , 3) = -13/2 (1,-2) + 5/2 (3,-4) (3,8) = -18 (1,-2) + 7 (3,-4) Q_{S2 -> S1} = [+13/2 -18 \ 5/2 7] e) Q = P^{-1} <=> PQ = I <=> [-14 -36][-13/2 -18] = [1 0] \ [5 13]\5/2 7\ [0 1], que e' verdade. f) P [v_{S1}]_{S2} = [v]_{J_{S2}} <=7 [-14 -36][-2a -3b/2] = [-8a + 3b] \5 13 [a + b/2]\3a - b que e' verdade. g) P^{-1} [v]_{S2} = [v]_{J_{S1}} <=7 [-13/2 -18][8a + 3b] = [-2a -3b/2] \ 5/2 7 \3a - b\ [a + b/2] que e' verdade. 12) P_{2} = [1 1 0] , P^{-1}_{2} = 1/2 [1 1 1] \0 1 0 -1\ \1 -1 -1\ \1 0 -1\ \1 1 0\ a) [v]_{P_1} = P'^{-1}(-1/2 3) = (2)\(2)\(-3)\-1) b) [v]_{P1}: P(-1/2 3) = (1)\(1)\(-4) 14) b) (1,0) = -1/3 (√3, 1) + 1/3 (√3,-1), P_{B->C} = [1/√3 -1/√3]\1/√3 1/√3 \(0,1) = 1/2 (√3,1) + 1/2 (√3,-1) 1,1,1: (1/3 - 1/2√3) (√3,1) + (-1/3 - 1/2√3) (√3,-1) 1,1,1: (1/3 + 1/2√3) (√3,1) + (-1/3 + 1/2√3) (√3,-1) Q_{C->D} = 1/2√3 [√3+1 √3+1] \√3-1 √3-1 (1,0) = 1/√3 (√3, 1) 1/√3 (√3,-1) (0,1) = 1/2 (√3,1) - 1/2 (√3,-1) a) Sim, QP=J. 15) v1: = 1.(1,1) + 4 (-2,2) = (-7,9) v2: = 0.(1,1) -2(-2,2) = (4,-4) [vJ]_{x} = [1/3]\ => Vc = (-7,9) + 3 (4,-4) V = (1,-1)