Slide - Vetores Pt1 - Álgebra Linear e Geometria Analítica 2019 1

Vetores ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Daniel Leite FAENG - UFMT Setembro 2020 Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Sum´ario 1 Vetores Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Geom´etrico Existem dois tipos de grandezas: as escalares e as vetoriais. As escalares s˜ao aquelas que est˜ao completamente definidas por um n´umero real (acompanhadas de uma unidade de medida apropriada). Por exemplo, comprimento, ´area, volume, massa, temperatura, press˜ao, densidade, etc. No entanto, existem grandezas que n˜ao ficam completamente determinadas pelo seu m´odulo e a unidade de medida. Estas s˜ao as grandezas vetoriais. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Geom´etrico Para ficarem bem definidas precisamos informar o m´odulo (comprimento, norma, intensidade ou magnitude), a dire¸c˜ao e o sentido. Por exemplo, ao descrever o movimento de um objeto (carro, avi˜ao, etc), n˜ao ficamos satisfeitos apenas em saber qual ´e o m´odulo da sua velocidade. Isso porque queremos saber tamb´em para onde o objeto est´a se deslocando. Esta ´ultima informa¸c˜ao diz respeito `a dire¸c˜ao e o sentido do deslocamento. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Geom´etrico Os conceitos de dire¸c˜ao e sentido surgem a partir do conceito de retas. Abaixo, temos trˆes retas r1, r2 e r3. A reta r1 determina uma dire¸c˜ao. A reta r2 tamb´em determina uma dire¸c˜ao. As dire¸c˜oes definidas por estas duas retas s˜ao distintas. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Geom´etrico Agora, a reta r3 define a mesma dire¸c˜ao de r1 por ser paralela a ela. Assim, o conceito de dire¸c˜ao ´e dada por uma reta e por todas as que lhe s˜ao paralelas. Isto ´e, retas paralelas definem a mesma dire¸c˜ao. Para definir o conceito de sentido, suponha que sobre uma reta r marcamos dois pontos A e B. Ent˜ao, h´a duas maneiras de deslocar Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Geom´etrico sobre r: de A para B ou de B para A. Cada uma destas maneiras de deslocar ´e chamada de sentido. Assim, h´a dois sentidos de deslocamento sobre r. De modo geral, para cada dire¸c˜ao fixada, h´a exatamente dois sentidos de percurso. Vamos considerar o seguinte exemplo: suponha que um avi˜ao com velocidade de m´odulo igual a 400 km/h est´a se deslocando para nordeste sob um ˆangulo de 40◦ (usualmente medido `a partir do norte no sentido hor´ario). Esta grandeza (velocidade) seria representada Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Geom´etrico por um segmento de reta orientado (com flecha na extremidade), sendo o seu m´odulo igual ao comprimento do segmento (por exemplo, 4cm, na escala de 1cm para cada 100 km/h) e a dire¸c˜ao e o sentido dado pelo ˆangulo de 40◦ conforme figura abaixo. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Geom´etrico O exemplo acima declara que a velocidade ´e uma grandeza vetorial. Outros exemplos de grandezas vetoriais s˜ao: a for¸ca, o peso, a acelera¸c˜ao, etc. Abaixo ilustramos mais exemplos de vetores. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Geom´etrico Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Geom´etrico Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Geom´etrico Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Geom´etrico Vetores s˜ao representados por segmentos (de retas) orientados (segmentos de retas com um sentido de percurso) no plano ou no espa¸co. A ponta da seta do segmento orientado ´e chamada ponto final ou extremidade e o outro ponto extremo ´e chamado de ponto inicial ou origem do segmento orientado. Segmentos orientados com mesma dire¸c˜ao, mesmo sentido e mesmo comprimento representam o mesmo vetor. A dire¸c˜ao, o sentido e o comprimento do vetor s˜ao definidos como sendo a dire¸c˜ao, o sentido e o comprimento de qualquer um dos segmentos orientados que o representam. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Geom´etrico Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Geom´etrico Na figura abaixo temos 4 segmentos orientados, com origens em pontos diferentes, que representam o mesmo vetor, ou seja, s˜ao considerados como vetores iguais, pois possuem a mesma dire¸c˜ao, mesmo sentido e o mesmo comprimento. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Geom´etrico Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Geom´etrico Se o ponto inicial de um representante de um vetor v ´e A e o ponto final ´e B, ent˜ao escrevemos v = −→ AB (a nota¸c˜ao ⃗v tamb´em ´e usada). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Geom´etrico Opera¸c˜oes Com Vetores: Soma A soma de um vetor u com um vetor v, denotada por u + v, ´e definida assim: Tome um segmento orientado que represente u; Tome um segmento orientado que representa v, com origem na extremidade de u; O vetor u + v ´e representado pelo segmento orientado que vai da origem de u `a extremidade de v. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Geom´etrico Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Geom´etrico Propriedades da Soma A soma ´e comutativa: u + v = v + u; A soma de vetores ´e associativa: u + (v + w) = (u + v) + w; Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Geom´etrico Propriedades da Soma O vetor que tem a sua origem coincidindo com a sua extremidade ´e chamado vetor nulo e denotado por 0. Segue que v + 0 = v para todo vetor v. Todo vetor v possui um sim´etrico, denotado por −v, que tem mesmo comprimento, mesma dire¸c˜ao e sentido contr´ario ao de v. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Geom´etrico Propriedades da Soma Segue que v + (−v) = 0. Definimos a diferen¸ca u menos v, por u − v = u + (−v) Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Geom´etrico Propriedades da Soma Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Geom´etrico Opera¸c˜oes Com Vetores: Multiplica¸c˜ao Por Escalar A multiplica¸c˜ao de um escalar α por um vetor v, denotada por α v, ´e definida como sendo o vetor que satisfaz as seguintes condi¸c˜oes: ´E o vetor nulo, 0, se α = 0 ou v = 0; Caso contr´ario, Tem comprimento |α| vezes o m´odulo do vetor v; Tem a mesma dire¸c˜ao de v (dizemos que s˜ao paralelos); Tem o mesmo sentido de v se α > 0, e sentido contr´ario se α < 0. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Geom´etrico O vetor α v ´e chamado de m´ultiplo escalar do vetor v. Segue da defini¸c˜ao que dois vetores n˜ao nulos s˜ao paralelos se, e somente se, eles s˜ao m´ultiplos escalares um do outro. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Geom´etrico Exemplo Seja um triˆangulo ABC e sejam M e N os pontos m´edios de AC e BC, respectivamente. Vamos provar que MN ´e paralelo a AB e tem comprimento igual `a metade do comprimento de AB. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Geom´etrico Exemplo Vamos mostrar que as diagonais de um paralelogramo se intersectam no ponto m´edio de ambos. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Geom´etrico Exerc´ıcio Demonstre que o segmento que une os pontos m´edios dos lados n˜ao paralelos de um trap´ezio ´e paralelo `as bases, e sua medida ´e a m´edia aritm´etica das medidas das bases. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Geom´etrico Exerc´ıcio Considere o triˆangulo ABC e sejam M o ponto m´edio de BC, N o ponto m´edio de AC e P o ponto m´edio de AB. Mostre que as medianas (os segmentos AM, BN e CP) se cortam num mesmo ponto que divide as medianas na proporc˜ao 2/3 e 1/3. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Geom´etrico Exerc´ıcio No triˆangulo ABC tem-se −−→ BM = 1 2 −→ BC e −→ BN = 1 3 −→ BC. Expressar os vetores −−→ AM e −→ AN em fun¸c˜ao de −→ AB e −→ AC. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Geom´etrico Exerc´ıcio Em cada figura, expressar o vetor w em fun¸c˜ao dos vetores u e v. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Alg´ebrico Sistema de Coordenadas Retangulares no Plano As opera¸c˜oes com vetores podem ser definidas utilizando um sistema de coordenadas retangulares ou cartesianas. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Alg´ebrico Seja v um vetor no plano. Definimos as componentes de v como sendo as coordenadas (ν1, ν2) do ponto final do representante de v que tem ponto inicial na origem. Vamos identificar o vetor com as suas componentes e vamos escrever simplesmente v = (ν1, ν2). Assim, as coordenadas de um ponto P s˜ao iguais as componentes do vetor −→ OP, que vai da origem do sistema de coordenadas ao ponto P. Em particular, o vetor nulo, 0 = (0, 0). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Alg´ebrico Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Alg´ebrico Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Alg´ebrico Em termos das componentes, podemos realizar facilmente as opera¸c˜oes: soma de vetores e multiplica¸c˜ao de vetor por escalar. A soma de dois vetores u = (u1, u2) e v = (ν1, ν2) ´e dada por u + v = (u1 + ν1, u2 + ν2). a multiplica¸c˜ao de um vetor v = (ν1, ν2) por um escalar α ´e dada por α v = (α ν1, α ν2). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Alg´ebrico Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Alg´ebrico Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Alg´ebrico Sistemas de Coordenadas Retangulares no Espa¸co Definimos as componentes de um vetor no espa¸co de forma an´aloga a que fizemos com vetores no plano. Vamos inicialmente introduzir um sistema de coordenadas retangulares no espa¸co. Para isto, escolhemos um ponto como origem O e como eixos coordenados, trˆes retas orientadas (com sentido de percurso definido), passando pela origem, perpendiculares entre si, sendo uma delas vertical orientada para cima. Estes ser˜ao os eixos X, Y e Z. O eixo Z ´e o eixo vertical. Os eixos X e Y s˜ao horizontais e satisfazem a regra da m˜ao direita: Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Alg´ebrico Sistemas de Coordenadas Retangulares no Espa¸co Suponha que giramos o eixo X pelo menor ˆangulo at´e que coincida com o eixo Y. Se os dedos da m˜ao direita apontam na dire¸c˜ao do semieixo X positivo de forma que o semieixo Y positivo esteja do lado da palma da m˜ao, ent˜ao o polegar aponta no sentido do semieixo Z positivo. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Alg´ebrico Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Alg´ebrico Cada par de eixos determina um plano chamado de plano coordenado. Portanto, os trˆes planos coordenados s˜ao: Plano Coordenado XY (ou plano XY) Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Alg´ebrico Plano Coordenado YZ (ou plano YZ) Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Alg´ebrico Plano Coordenado XZ (ou plano XZ) Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Alg´ebrico A cada ponto P no espa¸co associamos um terno de n´umeros (x, y, z), chamado de coordenadas do ponto P como segue. Trace uma reta paralela ao eixo z, passando por P; A interse¸c˜ao da reta paralela ao eixo z, passando por P, com o plano xy ´e o ponto P′. As coordenadas de P, (x, y), no sistema de coordenadas xy s˜ao as duas primeiras coordenadas de P′. A terceira coordenada ´e igual ao comprimento do segmento PP′, se P estiver acima do plano xy e igual a menos o comprimento do segmento PP′, se P estiver abaixo do plano xy. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Alg´ebrico Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Alg´ebrico Agora, estamos prontos para utilizarmos um sistema de coordenadas cartesianas de vetores no espa¸co. Seja v um vetor no espa¸co. Como no caso de vetores do plano, definimos as componentes de v como sendo as coordenadas (ν1, ν2, ν3) do ponto final do representante de v que tem ponto inicial na origem. Tamb´em vamos identificar o vetor com as suas componentes e vamos escrever simplesmente v = (ν1, ν2, ν3). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Alg´ebrico Assim, as coordenadas de um ponto P s˜ao iguais as componentes do vetor −→ OP que vai da origem do sistema de coordenadas ao ponto P. Em particular, o vetor nulo, 0 = (0, 0, 0). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Alg´ebrico Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Alg´ebrico Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Alg´ebrico Assim, como fizemos para vetores no plano, para vetores no espa¸co a soma de vetores e a multiplica¸c˜ao de vetor por escalar podem ser realizadas em termos das componentes. A soma de dois vetores u = (u1, u2, u3) e v = (ν1, ν2, ν3) ´e dada por u + v = (u1 + ν1, u2 + ν2, u3 + ν3). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Alg´ebrico a multiplica¸c˜ao de um vetor v = (ν1, ν2, ν3) por um escalar α ´e dada por α v = (α ν1, α ν2, α ν3). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Alg´ebrico Quando um vetor v est´a representado por um segmento orientado com ponto inicial fora da origem, digamos em P = (x1, y1, z1), e ponto final em Q = (x2, y2, z2), ent˜ao as componentes do vetor v s˜ao dadas por v = −→ PQ = −→ OQ − −→ OP = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1). Portanto, as componentes de v s˜ao obtidas subtraindo-se as coordenadas do ponto Q (extremidade) das do ponto P (origem). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Alg´ebrico Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Alg´ebrico O mesmo se aplica a vetores no plano: o vetor v que est´a representado por um segmento orientado com ponto inicial em P = (x1, y1) e ponto final em Q = (x2, y2) tem suas componentes dadas por v = −→ PQ = −→ OQ − −→ OP = (x2 − x1, y2 − y1). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Alg´ebrico Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Um vetor no espaco v = (11, 2,3) pode ser escrito na forma V4 matricial como uma matriz coluna v = | yy | ou uma matriz linha V3 v= A) |: Nesse caso, as operacdes de soma de vetores e multiplicacdo de vetor por escalar, sao identificados naturalmente como soma de matrizes e multiplicacdo de matriz por escalar. Vetores Tratamento Alg´ebrico u + v =   u1 u2 u3   +   ν1 ν2 ν3   =   u1 + ν1 u2 + ν2 u3 + ν3   α v = α   ν1 ν2 ν3   =   α ν1 α ν2 α ν3   Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica utv=|u u2 us| +[n1 V2 v3|=[m + uz + V2 us + v5 av=al V2 1, |=[an QaV2 avs | Vetores Tratamento Alg´ebrico Observa¸c˜ao A mesma identifica¸c˜ao de vetores com matrizes linha ou coluna se faz inteiramente an´aloga para vetores no plano. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Alg´ebrico Teorema 1 (Propriedades das Opera¸c˜oes com vetores) Sejam u, v e w vetores (no plano ou no espa¸co), α e β escalares. Valem as seguintes propriedades. (a) u + v = v + u (b) (u + v) + w = u + (v + w) (c) u + 0 = u (d) u + (−u) = 0 Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Alg´ebrico Teorema 1 (Propriedades das Opera¸c˜oes com vetores) (e) α (β v) = (α β) v (f) α (u + v) = α u + α v (g) (α + β) v = α v + β v (h) 1 v = v Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Alg´ebrico Exerc´ıcio Determine uma equa¸c˜ao para a reta no plano que ´e paralela ao vetor v = (2, 3) e passa pelo ponto P = (1, 2). Exerc´ıcio Determine as coordenadas da extremidade do segmento orientado que representa o vetor v = (3, 0, −3), sabendo-se que sua origem est´a no ponto P = (2, 3, −5). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Alg´ebrico Exerc´ıcio Quais s˜ao as coordenadas do ponto P, sim´etrico do ponto P = (1, 0, 3), em rela¸c˜ao ao ponto M = (1, 2, −1)? (Sugest˜ao: o ponto P ´e tal que o vetor −−→ MP = −−−→ MP) Exerc´ıcio Verifique se os pontos dados a seguir s˜ao colineares, isto ´e, pertencem a uma mesma reta: (a) A = (5, 1, 3), B = (0, 3, 4) e C = (0, 3, 5); (b) A = (−1, 1, 3), B = (4, 2, −3) e C = (14, 4, −15). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Alg´ebrico Exerc´ıcio Sabendo que A = (1, −1), B = (5, 1) e C = (6, 4) s˜ao v´ertices de um paralelogramo, determinar o quarto v´ertice de cada um dos paralelogramos poss´ıveis de serem formados. Exerc´ıcio Dados os pontos A = (−3, 2) e B = (5, −2), determinar os pontos M e N pertencentes ao segmento AB tais que −−→ AM = 1 2 −→ AB e −→ AN = 2 3 −→ AB. Construir o gr´afico marcando os pontos A, B, M, N e P, devendo P ser tal que −→ AP = 3 2 −→ AB. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Alg´ebrico Exerc´ıcio Sendo A = (−2, 3) e B = (6, −3) extremidades de um segmento, determinar (a) os pontos C, D e E que dividem o segmento em quatro partes de mesmo comprimento; (b) os pontos F e G que dividem o segmento em trˆes partes de mesmo comprimento. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Vetores Tratamento Alg´ebrico Exerc´ıcio Dados os pontos A = (1, −2, −3), B = (−5, 2, −1) e C = (4, 0, −1). Determine o ponto D tal que A, B, C e D sejam v´ertices consecutivos de um paralelogramo. Exerc´ıcio Verifique se o vetor u ´e combina¸c˜ao linear (soma de m´ultiplos escalares) de v e w: (a) v = (9, −12, −6) , w = (−1, 7, 1) e u = (4, 6, 2); (b) v = (5, 4, −3), w = (2, 1, 1) e u = (−3, −4, 1). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica